在探究中培養學生幾何直觀能力
——以“全等三角形”教學為例

江蘇省常熟市外國語初級中學 濮 維

幾何直觀能力主要是指通過圖形來描述問題并進行分析的能力，即通過圖形將復雜的、晦澀的數學問題簡化為具象的、清晰的幾何問題，從而促進對問題解決思路的探索，實現對結果的預估.對學生幾何直觀能力的培養，不僅可以幫助學生對數學知識有更加直觀的理解，更有利于提高學生的創新意識，培養學生的發散性思維，這在整個數學教與學過程中都非常重要.

全等三角形的研究本質是平面幾何問題中對兩個封閉的圖形關系研究的第一步，它是兩個三角形之間最簡單、最直觀的關系.它不僅是后面平面幾何知識的基礎，更是表示線段相等、角度相等這兩種數量關系的重要理論依據.因此，教師在這一章節的教學中必須要求學生熟練掌握全等三角形的判定定理，并能靈活應用，以解決平面幾何中相關的三角形問題.

1 培養學生幾何直觀能力的思路

正如我國著名數學家華羅庚所說“形缺數時難入微，數缺形時少直觀”，幾何直觀正是揭示現代數學本質的重要工具.要想培養和發展學生的幾何直觀能力，必須結合實際的數學教材內容，以本班具體學情為依據，靈活編排課程設計和教學內容，并落實在課堂實踐和教學細節中.

(1)重視概念、定理，夯實幾何基礎

幾何概念是幾何學的基礎，在幾何的概念教學中，僅講授概念的意義，再要求學生記憶定理公式是遠遠不夠的.教師應該從公式的本質和內在聯系出發，對概念進行全面分析，這樣才能幫助學生切實理解概念本質和內涵.幾何學的特點是概念多、易混淆，概念教學極大地影響學生對幾何學的學習能否入門.因此，在實際教學活動中，教師必須講授定理內在的聯系以及本質，讓學生能真正地理解概念、分析概念、應用概念.

(2)多媒體輔助教學，豐富學生體驗

自新課程標準實施以來，教師要改變教學觀念，豐富課堂教學形式，以充實學生的課堂體驗.教師要注重以學生綜合素質的培養為教學目標，表現在具體的教學實踐中，就是不斷提高學生的思維能力，激發學生的自主能動性，讓學生成為課堂主體，主動開展學習活動.多媒體教學是指在課堂上運用先進的多媒體技術，將影像、圖片、聲音結合，這種輔助模式不僅可以充分吸引學生的注意力，生動表現課堂內容，更能打破傳統教學以老師為主體這種單一的教學模式，讓學生的課堂體驗更豐富.在多媒體輔助下，開展幾何教學活動能夠充分調動學生積極性，激發學生想象力和創造力，從而切實達到提高學生的幾何直觀能力這一教學目標.

(3)培養數感能力，讓學生學會數形結合

數感能力是指學生對數字的敏感和接受能力，它也是新課程標準提出的有關核心素養的十大概念之一.培養學生的數感能力，不僅可以提高學生對數據的敏感度，更能鍛煉學生對圖形的觀察力，提高學生的看圖能力.在數學學習的過程中很多問題都可以通過圖形加以解決，數形結合思想的使用場合不只局限于函數與方程，在幾何問題上也有很大的應用空間.例如，通過數據尋找等量關系、倍數關系等，以此來判斷幾何圖形的性質、特點，以及圖形之間全等或相似關系等.

2 培養學生幾何直觀能力的實踐

在數學教學中，教師不僅要針對學生幾何直觀能力的培養來設計教學內容，還要設計合理的教學方案，通過在教學方法中融入對學生幾何直觀能力的培養來達到預期的教學目標.接下來，以“全等三角形”為例，簡述如何在指導學生認識全等三角形以及證明三角形全等的過程中提高學生的幾何直觀能力，從而達到學生數學能力的提升.

教學目標：

(1)知識與技能目標：

1)能夠通過圖形給出的信息大致判斷三角形全等及全等的類型，并學會用數學符號來表示兩個三角形全等的條件；

2)知道全等三角形的相關概念，能夠在兩個三角形中找到相對應的頂點、邊和角，培養證明三角形全等的能力；

3)經歷探究三角形全等的過程，學會添加輔助線來為全等三角形的證明增加有效條件.

(2)過程與方法目標：

1)在學習三角形全等的過程中針對三角形的頂點、角、邊培養一一對應的數學原則，養成嚴謹的解題習慣；

2)在證明三角形全等時，可以通過判定方法來倒推條件，并為證明創造條件，培養逆向思維.

(3)情感與技能目標：

1)在認識兩個完全重合的三角形時，通過將三角形旋轉、平移，理解體會這一過程中圖形變換的思想，養成動態思維.

2)在創造條件證明三角形全等時訓練創造思維，并感知幾何圖形的奧妙.

教學重難點：

教學重點：學會尋找證明全等三角形所需的對應元素，理解全等三角形的概念以及全等的性質并將其運用在實際解題過程中.

教學難點：能夠正確辨認三角形全等條件中對應的角與邊，并采用正確的判定來證明全等.

教學步驟：

(1)知識回顧，鞏固基礎

在全等三角形教學之前，教師要帶領學生有針對性地復習三角形這個板塊的知識，設計一些與三角形概念性質等相關的問題，考查學生對三角形的熟悉程度.

問題1關于三角形我們學習了哪些概念？

問題2三角形的內角有什么特征？關于三角形內角有什么定理以及推論？

問題3以往學過的概念是針對單個的三角形還是針對多個三角形？

設計意圖：在這個環節中，通過對三角形相關概念的回顧幫助學生建立學習三角形全等的基礎.在三角形這樣的幾何圖形的教學過程中，教師要注重對概念知識的深化，通過加深對概念的理解來提高學生的幾何直觀能力，這樣學生在見到幾何圖形時能夠一眼挖掘其中隱藏的性質，從而提高解決問題的效率.

(2)創設情境，引出概念

在學生回顧了有關三角形的概念之后，教師可以通過多媒體播放兩個一模一樣的三角形(如圖1)，然后將其中一個三角形以動畫的形式旋轉、平移、放大以及縮小，讓學生在觀察動畫的過程中思考這兩個三角形的區別.比如，當其中一個三角形縮小旋轉之后，它們之間是否具有相同的幾何性質？這個三角形的邊與角發生了什么變化？從而引出形狀相同、大小相等的兩個三角形，并給出它們所有相等的條件.

圖1

設計意圖：在這個環節中，借助多媒體等教學工具展示圖形的變換，比傳統的概念教學更能吸引學生的興趣，且學生能夠在動畫的引導下，在腦海中針對圖形的變換有一個直觀的印象，有利于學生對圖形性質的學習.最后讓學生針對兩個形狀、大小都相同的三角形進行相等條件的挖掘，為學生后續學習三角形的判定奠定了基礎.

(3)自主探究，總結規律

最后，教師要結合課本給出的數學符號讓學生針對三角形全等的條件進行探索.已知兩個三角形有三條對應邊和三個對應角，那么滿足幾個條件就可以證明兩個三角形全等呢？教師可以讓學生以這個問題為切入點，尋找三角形的判定原理，并通過畫圖等方式來證明自己判斷的正誤.

設計意圖：在這個環節中，教師選擇讓學生自主提出三角形全等的判定條件，然后通過畫圖等方式自主證明，提高學生的探究能力.教師還可以指導學生通過添加輔助線來完成三角形全等的證明，通過設想、推理、驗證的過程訓練學生解決幾何問題的思維邏輯性，同時達到對學生幾何直觀能力的培養.

總的來說，幾何直觀能力就是指將復雜的數學問題用簡單的圖形表示出來，并能通過對圖形的分析解決問題.培養學生的幾何直觀能力可以增強學生的邏輯思維能力、圖形分析能力，更能激發學生的創新思維和探索精神，為后續長期的數學學習打下基礎.上文針對初中數學教學過程中培養學生幾何直觀能力的幾條思路，希望能給教育工作者帶來一點啟示.