開展探究式教學 提升整體性認知
——以“平行四邊形的判定”教學設計為例

深圳市寶安區海樂實驗學校 高 宇

廣東省深圳市教科院舉辦的數學教研活動中，筆者有幸執教北師大版八年級下冊“平行四邊形的判定” 第一課時，現將本節課的教學實錄與大家分享.

1 教材分析

學生已經完整地學習了三角形的內容，三角形的研究方法和研究路徑為四邊形的學習奠定了理論基礎，找準了研究方向,同時滲透了類比、轉化、化歸、分類討論等數學思想，培養了學生數學推理能力和圖形遷移能力.

平行四邊形的判定既是對前面所學平行線、三角形和平行四邊形等相關知識的運用和深化，也為后面學習特殊平行四邊形積累了基本活動經驗.

2 學情分析

學生已經有了三角形、平行四邊形定義和性質的知識儲備，經歷了從一般到特殊、從定義到性質到判定再到應用的探究過程.學生在學習等腰三角形、直角三角形中積累了幾何圖形判定的學習經驗，但學生思維的嚴密性和邏輯性還不夠.因此在教學過程中，教師需要做好引導作用，引導學生進行合作學習和自主探究，從而讓學生通過實驗、猜想、驗證發現平行四邊形判定定理，進一步培養學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力.

3 教學目標

(1)掌握平行四邊形的判定定理，發展學生的數學抽象、空間觀念，幾何直觀；

(2)通過剪、拼的方法探索平行四邊形的判定條件，在實踐探究活動中將幾何直觀和簡單推理相結合，發展推理能力；

(3)滲透類比、化歸、轉化、分類討論等數學思想，提升表達交流能力、分析問題和解決問題的能力，體驗成功的喜悅，增強自信心.

4 教學重難點

重點：探索并證明平行四邊形判定定理.

難點：平行四邊形判定定理的應用.

5 教學過程設計

教科書設計了用細木條拼擺平行四邊形的情境，兩個判定定理的探究情境雖然都用到了細木條，但不是同一個情境，而且每個情境都只是呈現了判定定理的已知條件，并沒有提供由已知條件到結論的思路來源.

實際教學中，很多教師忽略了通過探索發現結論的過程，而是根據定理之間呈現互逆性這一普遍規律，直接帶領學生走上了驗證平行四邊形逆命題的道路，從而將學生的思維限定在性質定理上.

《教師教學用書》也建議創設更現實、更有趣的問題情境，讓學生進行自主探索，通過探索發現結論，得出猜想，然后再進行證明，從而讓學生體會到證明活動是探索活動的自然延續和必要發展.

5.1 情境導入，自主探究

探究活動1：如圖1，首先畫出一個平行四邊形，沿著對角線把它剪成兩個三角形，能否把這兩個三角形拼成不同的平行四邊形？

圖1

教學說明：學生通過剪、拼活動直觀感知，平行四邊形的研究總是利用到三角形的知識.事實上，平行四邊形可以看作是由兩個全等三角形的相等邊重合在一起構成的，為后續證明平行四邊形的判定定理找準路徑、提供方法.

學生在動手拼圖前，學生因此會聯想回顧平行四邊形的性質，由平行四邊形邊的性質尋找兩個三角形相等的邊.從拼圖中自然聯想到性質，用學過的知識作為解決問題的引擎，在探究活動中復習以前學過的概念，比直接提問效果更好.

5.2 循序漸進，發現問題

問題1根據研究等腰三角形和直角三角形的經驗知道，定義是探索判定的起點，驗證判定定理最終都是要回歸到定義，這種轉化的思想在幾何圖形的探究中一以貫之.平行四邊形的判定要研究的問題是什么？

教學說明：教師啟發學生溫顧過往學習幾何圖形的研究路徑和經驗，“明晰判定定理要探究的問題是一個四邊形具備怎樣的條件就可以推出它的兩組對邊分別平行”[1]， 驗證平行四邊形的判定條件最終都是要回歸到平行四邊形的定義.

面對圖2中兩個新四邊形，學生自然好奇四邊形的邊之間的位置關系和數量關系，激發了學生進一步探索的欲望.

圖2

5.3 觀察分析，提出猜想

問題2從等腰三角形、直角三角形的性質和判定之間的邏輯關系，看性質和判定有怎樣的內在聯系，平行四邊形的判定定理是什么？你能證明嗎？

教學說明：在四邊形的學習過程中，深化幾何圖形的基本路徑“定義—性質—判定—應用”，利用判定與性質的邏輯關系，通過探索性質定理的逆命題是否成立而得出判定定理.

5.4 邏輯推理，證明猜想

平行四邊形判定定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

很多學生在推理驗證過程中連接四邊形ABCD的對角線AC或BD，這樣四邊形的問題就轉化為三角形的問題.在剪拼活動中學生已經有了直觀感受，再利用三角形的全等回歸到平行四邊形的定義，從而判定定理得證.從探究到驗證前后一致，借助幾何直觀，發展了學生推理意識，讓學生的在數學課堂中感受行而知之，知行合一.

探究活動2：對于四邊形ABCD,給出①AB∥CD，②AD∥CB，③AB=CD，④AD=CB四個條件.其中①和② 構成平行四邊形定義的條件組合， ③和④構成判定定理1的條件組合.

問題3回顧兩個三角形全等判定定理的探究經驗，思考判定一個四邊形是平行四邊形至少需要幾個條件？引導學生寫出其他的組合情況.

教學說明：七年級下學期探索三角形全等的條件運用了分類討論思想，從1個條件逐步增加條件的數量進行分析.學生積累的幾何學習經驗為探究活動2奠定了基礎.判定一個四邊形是平行四邊形至少需要兩個條件，而四個條件共有6種組合形式，除了構成定義和判定定理1的兩種組合，剩余4種又可以分為“一組對邊平行，另一組對邊相等”“一組對邊平行且相等”這兩類.對于命題“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形”，引導學生首先嘗試舉例驗證進行直接猜想，容易舉出等腰梯形作為命題不成立的反例.而命題“一組對邊平行且相等的四邊形”，學生無法列舉該命題不成立的反例，教師繼續引導學生根據之前積累的探究經驗，通過證明三角形全等進行驗證，從而得到平行四邊形的判定定理2.至此，兩個判定定理經過實驗、猜想、驗證的基本幾何路徑進入運用階段.

5.5 應用創新，解決問題

例1如圖3，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別是BC，AD的中點.

求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖3

變式1如果將例1中“點E，F分別在BC，AD的中點”改為“點E，F分別在邊BC，AD上，且BE=DF”，那么結論是否仍然成立？請說明理由.

變式2如果將例1中“點E，F分別在BC，AD的中點”改為“線段AE，FC分別是∠BAD，∠BCD的角平分線”，那么結論是否仍然成立？請說明理由.

教學說明：例1是對平行四邊形性質和判定的綜合應用.在條件不變的情況下，根據本節課所學的兩個判定定理探求一題多解.改變題目條件的情況下，通過漸進式的拓展探求一題多變.一題多解、一題多變有助于培養學生思維的深度和廣度.

例2由兩個完全相等的三角尺可以拼成幾個平行四邊形？請說出理由.

設計意圖：此題是根據探究活動1改編而成，兩個完全相等的三角尺可以看作是由一個平行四邊形沿對角線剪出的兩個全等三角形，從而讓學生在實踐活動中提升學科核心素養.

5.6 布置作業.

選取教材相關習題作為本課時作業，略.

6 教學反思

本節課以探究活動的形式呈現，讓學生經歷“實驗—猜想—驗證—運用”的幾何研究方法.“研究判定，就是在探索‘兩組對邊分別平行’的等價條件的指引下，利用‘判定’與‘性質’的邏輯關系，通過探索性質定理的逆命題是否成立而得出判定定理.”[1]從研究幾何方法和路徑來講，四邊形和三角形有著很大的相似性，但是單憑三角形的學習很難讓學生建立起對幾何圖形的整體認知，而四邊形的學習實現了三角形和四邊形的有效融合，形成了幾何思維和能力的遷移.

構建關于幾何圖形的整體性認知結構，突破平面幾何圖形的界限，是學生形成和發展系統性思維的“腳手架”，是發展學生幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養的必經途徑.

因此，教師在幾何教學中應當引領學生把知識縱向鏈接起來，形成幾何整體性思維的認知框架，為核心素養切實有效的落實提供有力踐行渠道.