一題多變，變中求道
——以平行線中的拐點問題為例

西華師范大學 陳星穎

教師可以立足于一個知識點，通過改變某些條件或者結論等一題多變的方式演變成多道題.通過對多道題的探索，引導學生從“變”中找“不變”，在“不變”中找到解決問題的方法，提高學生的解題能力.下面筆者結合教材中的一道練習題進行論述.

1 原題呈現

圖1

(新人教A版七年級下冊第五章第三節的習題)如圖1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( ).

分析：該題是一個典型的平行線中的拐點問題，其中C是拐點.圖1已經給出了平行線中拐點問題作輔助線的方法，學生能夠很容易根據平行線的性質得出答案.但在各類測試中，對該類問題的考查比教材中的題目更加復雜，因此筆者通過改變提問、改變拐點的位置、改變拐點的個數、改變題目條件、改變問題情境、結論與條件互換的變式來提高學生的解題能力.

2 原題變式

2.1 改變提問

問題是數學的心臟，改變提問的方式可以充分挖掘題目的內涵.通過一題多問，延伸題目的外延，發散學生的思維.

變式1條件不變，∠ACE與∠BAC，∠CEF有什么數量關系？

變式2條件不變，∠ACE與∠BAC的補角和∠CEF的補角有什么數量關系？

變式3條件不變，能否用∠ACE表示∠BAC與∠CEF的和？

分析：若直接提問角的度數之和為多少，學生很容易得出，可能不會思考題中未提及的角之間有什么關系？通過提問角的數量關系是什么，以及∠ACE與其他兩角的補角關系如何，讓學生牢固掌握這道題所涉及到的知識點.不管問題怎么變，先抓住平行線的性質，然后找到這三條平行線所涉及的角的關系，最后解決問題.

2.2 改變拐點的位置

平行線中的拐點不僅可以在兩平行線之內，也可以在兩平行線之外.雖然拐點位置靈活多變，但解題也是有規律可尋的.

變式4在圖2～5中，已知AB∥CD，那么∠B，∠D和∠E的數量關系是什么？

圖2

圖3

圖4

圖5

分析：通過拐點位置的變化，讓學生明確平行線中拐點問題的輔助線添加規律以及解題的一般步驟.不管拐點是在平行線的內部，還是在平行線的外部，添加輔助線的規律都是過拐點作已知直線的平行線.解題時，都是將拐點涉及的∠E，運用平行線的性質，轉換為用∠B，∠D或與∠B，∠D相關的角表示，最后找到∠B，∠D和∠E的關系.

2.3 增加拐點的個數

拐點不僅位置靈活，其個數也可變化.增加拐點個數可促進學生深入探究各拐點間的關系.

變式5在圖6(或圖7)，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，若∠E=80°，求∠F的度數.

變式6如圖8，已知AM∥CN，∠MBE和∠NDE的平分線相交于點F，若∠E=80°，求∠F的度數.

變式8如圖10，已知AB∥CD，則∠E1+……+∠En與∠B+∠F1+……+∠Fn-1+∠D的數量關系是什么？

變式9如圖11，已知AB∥CD，則∠1+∠2+……+∠n等于多少度？

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

2.4 改變題目中的條件

2.4.1 改變題目中的非本質條件

改變題目中的非本質條件，把題目條件減弱，可以提高題目的難度，讓學生在找到解題辦法后深化解題思路.

分析：將條件從特殊變換到一般，輔助線的作法與解題思路不變.條件弱化后，學生將注意力放在解題過程中的方法，梳理這類題型的解法，進而形成解題體系.

2.4.2 改變題目的本質條件

平時的練習題大多屬于結構良好的問題，而在具體的考題中，學生可能會遇到結構不良的問題，改變題中的本質條件可促使學生拓寬解題思路.

變式11如圖12，當AB與CD不平行時，連接MN，且MN同時平分∠BME和∠DNE，則∠AME，∠CNE，∠MEN的數量關系是什么？

變式12如圖13，AB∥CD，∠BED，∠ABE，∠CDE之間有什么數量關系？若E在OM射線上運動時，∠BED，∠ABE，∠CDE又有什么數量關系？

圖12

圖13

2.5 改變問題情境

改變問題的情境，可以讓學生在復雜的情境中識別拐點模型.

變式13如圖14，將一塊含30°的直角三角板放置在平行四邊形中，求∠1+∠2的度數.

圖14

圖15

變式14將一副三角板的兩直角邊和一張對邊平行的紙條按圖15擺放，求∠1的度數.

圖16

變式15如圖16，小刀的刀柄外形是一個直角梯形(挖去一個半圓)，刀片上下平行，轉動刀片時形成∠1與∠2，求∠1+∠2的度數.

分析：改變情境會增加對學生的干擾，增加線段會隱藏拐點.首先引導學生觀察題中的平行關系，如AB∥CD，平行的紙條或刀片.其次，找到拐點，抽離出其中的拐點模型，利用對應的角度關系解決問題.

2.6 結論與條件互換

將條件與結論互換也可以讓學生深度挖掘題目蘊涵的知識點.教材中的題是根據平行求角度，考查平行線的性質.我們還可以根據角度大小運用平行線的判定定理，證明直線的平行關系.同樣地，上述有些變式也可以將條件與結論互換，引起學生的深入思考.

平行線中的“拐點”問題是有難度的，特別是其形式多變，通過一題多變的形式可以幫助學生找到解決“拐點”問題的方法.解決拐點問題最重要的是找到輔助線的添加規律以及涉及的角度關系，輔助線的添加一般是過拐點作已知直線的平行線，平行線有可能不是水平放置，需要自己識別.沒有平行條件時，則需要觀察思考，構造出平行線.找角度關系時，不僅要考慮題干中提到的角，還要思考這個角的余角、補角以及特殊的平角、周角等.本文中通過層層遞進的變式提升學生的解題能力，形成解題的體系.