“真”之功能與說謊者悖論*

2023-03-21 13:15:10趙震

江淮論壇 2023年6期

趙震

（安徽大學哲學學院，合肥 230039）

“真” 這個概念在日常生活中的用法和含義有很多，“真”還有一些社會歷史意義。這里并不是在此意義上討論“真”之功能，即不討論“真”在實際生活中的功用。這里討論的是“真”這個詞在邏輯-語言學（logico-linguistic）意義上的功能及其與說謊者悖論之間的關系。通過區分“真”的兩種功能并使之分別與“真”的兩種用法匹配，既可以保留“真”的功能，又可以避免說謊者悖論之類的悖論，同時也沒有削弱邏輯推理能力和語言表達力。為了方便討論，下文統一用“句子”當作真之載體（1）。

一、“真”理論與“真理”論

日常談論的“真理論”這個詞有兩種不同的理解方式，一種是“真”理論，一種是“真理”論。一個句子有兩個“真”：一是“說”這個句子是“真的”，一是這個句子確實是“真的”。兩個“真”并不是一回事，前者“說”一個句子為真并不等于這個句子確實為真，而后者是明確給一個句子的賦值為真；前者是語形方面的言說，后者是語義層面的賦值。

為了方便討論，需要引入 “廣義語義值”概念。廣義語義值是相對狹義語義值而言的，我們為某個特定的形式語言提供一個嚴格的形式語義賦值，根據該語義賦值，就可以確定該形式語言中每個句子的（狹義）語義值。針對形式語言而作的嚴格賦值就是狹義語義值。為了避免混淆，分別用“1”和“0”來表示狹義語義值為“真”或“假”。 “狹義語義值”概念可以推廣到自然語言，得到一個不太嚴格的“廣義語義值”概念。自然語言，通常以某種全體“事物”或“事實”為定義域，然后根據某種理論或者方法確定自然語句的真值。為了避免混淆，用“T”表示一個自然語言中語句的（廣義）語義值為“真”，用“F”表示一個自然語言中語句的（廣義）語義值為“假”。（2）

在形式語言中，通常不會給一個語義值為“1”的句子再賦值為“0”（3），反之亦然。同樣，在自然語言中，通常也不會給一個被斷定為“T”的句子再賦值為“F”，反之亦然。但是不論在形式語言還是自然語言中，都可以隨便“說”一個句子是“真的”，而不管其語義值是“1”還是“0”，或是“T”還是“F”。比如“烏鴉是黑的”和“烏鴉不是黑的”這兩個句子，通常只能有一個句子的語義賦值為“T”，不可能兩個句子的語義賦值都是“T”。如果“烏鴉是黑的”的語義值為“T”，通常不會再給“烏鴉是黑的”賦值“F”，“烏鴉不是黑的” 也類似。但是可以隨便說“‘烏鴉是黑的’是真的”和“‘烏鴉是黑的’不是真的”，也可以隨便說“‘烏鴉不是黑的’是真的”和“‘烏鴉不是黑的’不是真的”，只不過這兩組句子的語義值不能同時為“T”。關于如何確定自然語言語句的廣義語義值是否為“T”的理論稱作“真理”論，關于語形上“真”這個詞的功能及其一致性使用的理論稱作“真”理論。

傳統上常見的一些實質真理論（substantial theory of truth），比如符合論、融貫論、實用主義真理論等都是關于“真理”的理論。它們討論的是“真（理）的本質”，關心的是“真（理）是什么”，即如何找到或確定自然語言中語句的廣義語義值是否為“T”。比如，符合論認為一個真之載體是“真的”在于其與使真者相符合。（4）這里所說“真的”就是在“真理” 意義上說的自然語言語句的廣義語義值為“T”。

“真”理論主要研究“真”這個詞的功能及其一致性使用，這種一致性使用主要體現就是T-模式或其變形。關于一致性的證明有證明論和模型論兩類方法，因此也可以從語形和語義兩個角度討論“真”的一致性使用。公理化真理論主要是從語形方面討論“真”的一致性；另外一些形式真理論，比如弗完備真理論、弗協調真理論、修正真理論等，雖然也討論形式語言中狹義的語義模型賦值，但目的是從語義方面保證“真”這個詞的一致性使用，因此也可以看作關于“真”這個詞的理論，只不過是從語義方面保證“真”的一致性。

塔斯基的真理論是從傳統的“真理”論到“真”理論研究的轉折點，尤其是他提出的T-模式，被后來的“真”理論研究者奉為圭表。所以，有人把這種轉向稱作“塔斯基轉向”。 “塔斯基的理論根本上完全不同于所有之前的理論且完全不可比較……塔斯基是第一個提出完全精確說明的真理論的人，這個理論不同于之前的理論。”［1］15塔斯基關心的不再是“真是什么（或者真的本質是什么）”，相反他關心的是“真如何使用”“真如何發揮功能”以及“如何描述其功能”等。［1］15-16由于20 世紀哲學史上發生了著名的語言學轉向，也有人把這種從“真理”論到“真”理論的研究轉向稱作“在真理論研究的基礎上，發生了從本體論或認識論到語言學的轉向”［2］。

“真”與“真理”當然是有關系的。 “真理”是對客觀事物及其規律的正確認識，而“真”是一個詞，是對“真理”（或真值）的一種言說。雖然“說”一個句子為“真”時的動機可能是想說這個句子所表達的是對客觀事物及其規律的某種正確認識，但動機與實際所表達的并不一定完全一致：（1）動機本身并不可靠，很多人說一個句子為真的動機可能并不是表達對客觀事物及其規律的正確認識，他完全可能出于別的動機說一個句子為真，比如，有人可能為了欺騙或戲謔而故意說“‘雪是黑的’是真的”。（2）即使說一個句子為“真”的動機確實是要表達對客觀事物及其規律的正確認識，但客觀上所能表達的也不一定如此。比如古代很多人都認為太陽圍著地球轉，因此當他們說“‘太陽圍著地球轉’是真的”時確實是認為“太陽圍著地球轉”是正確的認識，但事實上這并不是真的。（3）還有人說一句話為“真”的時候并沒有任何動機。比如，一個不懂中文的外國人跟一個中國人學說了一句話“‘雪是白的’是真的”，但他并不懂這句話的意思是什么，只是鸚鵡學舌般說出了一串文字符號，沒有任何動機。如果是看動機的話，這幾種情況下說一個句子是“真的”是什么意思呢？是想表達這些句子是對客觀事物及其規律的正確認識嗎？所以，從動機上討論說一個句子為“真”并不客觀。正確的討論方式不是看說一個句子為“真”時想要表達什么，而是看其實際上能夠表達什么，即“真”這個詞實際表現出來的功能。

二、“真”與T-模式

當“說”某個句子為“真”的時候，實際能表達什么功能呢？人們可以說任何一個句子是真的，比如可以說“‘雪是白的’是真的”，也可以說“‘雪是黑的’是真的”。說這些句子是“真的”的并沒有斷定這些句子的語義值，但是，顯然說一個句子是真的與這個句子的語義值有關系。不論出于什么動機，也不論一個句子的語義值是“T”還是“F”，當說這個句子為“真”的時候，這個句子與這個句子為真具有相同的語義值。比如，“雪是白的”的語義值為“T”，“‘雪是白的’是真的”的語義值也是“T”，因此，“雪是白的”與“‘雪是白的’是真的”具有相同的語義值。對一個語義值為“F”的句子來說也一樣，比如，“雪是黑的”語義值為“F”，“‘雪是黑的’是真的”的語義值也是“F”，因此，“雪是黑的”與“‘雪是黑的’是真的”也有相同的語義值。也就是說，任給一個句子p，即使不知道其語義值，也可以知道，如果p的語義值為“T”，說“p是真的”這個句子的語義值也是“T”；如果p的語義值為“F”，說“p是真的”這個句子的語義值也是“F”。換句話說，任給一個句子p，p的語義值與“p是真的”的語義值始終相等，不論出于什么動機，也不論是否知道p的語義值，更不論如何斷定p的語義值。這對形式語言來說也適用。

因此，“說”一個句子為“真”，所表達的就是在語形中刻畫其語義值。對形式語言來說，“真”是在形式語言中刻畫其狹義語義值；對自然語言來說，“真” 是在自然語言中刻畫其廣義語義值。所以，“真”的第一個功能就是語義刻畫功能。所謂語義刻畫，有弱刻畫和強刻畫之分：

一個一元謂詞F 弱刻畫一個語義值Δ，當且僅當：任給句子φ：F（“φ”）取值為1，當且僅當φ取值為Δ。其中“φ”是句子φ的名字

一個一元謂詞F 強刻畫一種語義值Δ，當且僅當：任給句子φ：F（“φ”）取值為1，如果φ取值為Δ；否則，⊙（φ）取值為0。其中“φ”是句子φ的名字

在二值情況下，弱刻畫與強刻畫是等價的。弱的語義刻畫概念可以用塔斯基的T-模式來表達：

塔斯基的T-模式中，右邊的p是一個句子，左邊的X是這個句子的名字。有人認為塔斯基的T-模式表達的是符合論思想，但這顯然是誤解。塔斯基一再強調，T-模式表達的是當斷定或否定一個句子p的時候，也斷定或否定這個句子是真的。所以，T-模式是在“真”理論意義上討論“真”這個詞的使用，而不是在“真理”論意義上討論如何確定一個句子的語義值是否為“T”。當然，嚴格來說，塔斯基討論的是形式語言中的“真”，相對應的是形式語義中的語義值為“1”。但是可以把塔斯基的T-模式推廣到自然語言中，在自然語言中說一個句子為真與這個句子具有相同的語義值。

根據“真”不可定義性定理，在不修改相關條件的情況下，只要語言表達力和邏輯推理能力達到一定程度，表示語義刻畫的“真”會導致悖論。所以對“真”的一致性研究主要就是在避免悖論的基礎上，盡可能多地保留T-模式或者其變體。

既然“真”的語義刻畫功能表達的是說一個句子為真與這個句子本身等值，而通常情況下等值可以相互置換，那么，通常“真”這個詞出現的句子可以用不包含“真”這個詞的句子置換。比如可以用“雪是白的”置換“‘雪是白的’是真的”。所以，有人據此認為這種功能的“真”是冗余的。

但是，等值可置換并不意味著被置換一方是冗余的。第一，這種置換只能在外延語境中適用，在內涵語境中并不能進行置換，因此并非在所有情況下都可以等值置換。第二，這種觀點只看到了句子之間的邏輯等值關系，而忽略了“真”作為一個語義刻畫詞的哲學意義。使用“真”這個詞，是在語言中“說”一個句子的語義值，而單純地說一個句子并不能表達刻畫語義值這種意思。比如“p?p”只簡單的同一句，只需要有基本的邏輯思維就可以在兩個p之間加上等值符號。但“‘p’是真的?p”并不是簡單的同一句，需要對“真”這個詞有所理解，需要知道“真”有語義刻畫功能，然后才能在“‘p’是真的”和p之間加上等值符號。第三，語言中有很多等值句，但這并不意味著其中的任何一個是多余的，總有它們適用的場合，不能因為他們具有相同的語義值就認為任何一個句子是多余的。第四，如果認為等值可置換就是冗余的，那么最后只能剩下兩個句子，一個是語義值為“T”的句子p，一個是語義值為“F”的句子q，其他句子都因為或者語義值為“T”而與p等值，因而可被p置換；或者因為語義值為“F”而與q等值，因而可被q置換，從而所有其他句子都是冗余的，這顯然是不能接受的。說“真”是冗余的只是從兩個句子等值的角度談論的，但是，一個句子除了等值之外，還有其他意義和功能。從公理化真理論的角度看，一些關于真謂詞的真理論系統（比如CT、FSN 等）有非保守性，即它們可以推出其基礎理論（base theory）自身無法推出的基礎理論中不含真謂詞的定理。［4］106，161因而不能用不含真謂詞的句子等值置換真謂詞。第五，有的情況只能使用帶有真謂詞的句子表達，而無法找到可與之等值置換的句子，因此在很多情況下“真”有其不可被替代的功能。

當然，對T-模式有不同的理解方式，比如真理緊縮論者認為，T-模式是一種不被定義的公理或原則［5］［6］。它不是“真”的功能，但決定著“真”的功能。但是，這里不把T-模式當作初始公理或原則，而認為它體現的是“真”的語義刻畫功能。之所以不像緊縮真理論者那樣把T-模式當作初始公理或原則，理由如下：

第一，如果把T-模式當作一個公理或原則，則很難說明為什么“真”有這樣一個模式，以及這個模式表達了什么意思。把“真”理解為語義刻畫詞并不是要去定義“真”，而只是去解釋“真”的意思。換句話說，這只是從內涵的角度解釋關于“真”的T－模式表達了什么意思、為什么能實現這種意思（功能）。

第二，把T-模式當作公理或原則在一定條件下無法實現，否則會導致說謊者悖論等悖論。但是如果把它理解為一種功能，則可以有不同的實現方式。一種實現方式會導致問題不代表所有的實現方式都會導致問題，可以通過不同的實現方式來實現語義刻畫功能，因而不用限制或修改這種功能，而且不用改變或修改其他邏輯推理能力和語言表達能力。所以，把T-模式理解為一種語義刻畫功能有助于解決相關問題。

三、“真”與概括

“真”除了語義刻畫這個功能之外，還有另一類功能：概括。用“真”表示概括有幾種不同的情況。

第一種情況是對無窮合取進行概括。比如斷定所有PA 定理，但是PA 定理有無窮多個，無法知道所有PA 定理都是什么；即使知道所有這些PA 定理，也無法把它們分別都表達出來，因為這需要無窮多個句子；日常語言以及通常的邏輯都無法表達無窮合取語句，但是可以用“所有PA 定理都是真的” 這個有窮長的句子來表達這種無窮多個句子的情況。

這種用有窮長語句表達無窮長語句的合取是如何實現的呢？一種觀點認為有窮長語句是無窮長語句的縮寫。［7］3形式的說，如果把所有句子用p1，p2，p3……來表示，然后用φ（x）表示“x是PA 定理”，就可以用如下無窮合取句表達上述無窮多個句子：

這里的“”是句子“pi”的名字。進而利用T-模式，任給i，都有pi?T。所以，上述無窮合取可等值置換為：

然后，可以用下面這個句子表達上述無窮合取：

即可認為這個有窮長的全稱概括語句與上述無窮長語句是等價的。

但是把帶真謂詞的有窮長語句與無窮長（合取）語句之間這種“表達”關系理解為縮寫關系，將面臨如下幾個問題：第一，一個語言中有窮長句子的基數小于該語言中無窮合取或析取句子的基數，因為（在不考慮等值的情況下）無窮長語句的基數等于該語言中有窮長句子的冪集的基數，因此無法用有窮長概括語句表達所有無窮長語句。［5］第二，認為有窮長概括語句與無窮長語句是等價的，意味著二者能夠互相推出。但是在有些情況下二者卻不能互相推出，比如在非標準模型下，由于ω-不一致性，不能從表示每個對象都具有某種性質的無窮長語句推出所有對象都有某種性質的全稱語句。第三，用有窮長概括語句作為無窮長語句的縮寫還會產生一些新問題，比如無窮長語句不能（作為子公式）成為自身的一部分，而概括語句卻可能（作為代入例）成為自身的一部分。因此，用有窮長概括語句作為無窮長語句的縮寫導致了原先無窮長語句不具有的某些新特性。［8］331

哈爾巴赫（Halbach）認為，用帶真謂詞的有窮長語句表達無窮合取的意思是二者能推出相同的不含真謂詞的語句，即任給某個語言L中一個不含真謂詞的句子φ，如果它能從該語言中某個無窮合取語句推出，則它也能從該語言中與該無窮長語句相對應的含有真謂詞的有窮長語句推出，反之亦然。［4］57－62［5］但是這種觀點也有一些問題，比如它所涉及的后承只是不含真謂詞的語句，而不涉及含有真謂詞的語句，否則，一個包含真謂詞的有窮長的語句也是其自身的后承，但是由于ω-不一致性，它不能從與其對應的無窮合取語句推出。［8］331

所以，不能把帶有真謂詞的有窮長語句與無窮合取語句的表達關系理解為等價關系，把二者的關系理解為能推出相同的不含真謂詞的語句后承也有局限性。有人認為，它們之間是概括關系，以上述無窮合取為例，每一個合取支都是如下形式：

利用T-模式可以把它等值置換為“φ（）→T”。因為“”是句子的名字（即項）而不是句子，可以把“”用變項x代換，再對其概括就可以得到：

這種概括關系是全稱概括語句與其代入例之間的關系，而不是無窮合取語句與其合取支之間的關系。［8］332

第二種情況是真謂詞可以表達不確定的情況。比如有人想斷定蘇格拉底說的第一句話，但是無法知道他說的第一句話是哪句話，要想直接表達就只能用如下方式：首先把所有句子用p1，p2，p3……來表示，用φ（x）表示“x是蘇格拉底說的第一句話”，然后用下面的無窮析取語句表達：

這里的“”是句子pi的名字。由于通常情況下無窮長語句不是合式公式，所以要改用有窮長語句表達，因此可以用“蘇格拉底說的第一句話是真的” 這句話來表達對蘇格拉底說的第一句話的斷定。有人把“真”的這種功能叫做盲目歸屬（blind ascription）。［9］與前一種情況類似，不能把這句話當作對無窮析取的縮寫，而應理解為對個別語句的概括。每一個析取支都是如下形式：

利用T-模式（任給i，pi?T）對上式進行等值置換可得：

因為“”是項，可以用變項x代換，再對其進行存在概括就可以得到：

所以，真謂詞的盲目歸屬功能也可以看作概括功能。

還有人認為“真” 的另一種功能是盲目演繹（blind deduction）。比如考慮下面這個有效論證：

艾米說的都是真的。艾米否定了貝絲的主張（即，艾米的一個主張是否定貝絲的主張）。凱西認為黛比的主張蘊涵著貝絲的主張。貝絲、凱西和黛比每個人都恰好只說了一句話。因此，如果凱西的主張是真的，那么黛比的主張就不是真的。［10］

這個例子只使用邏輯推理就可以給出最后一個句子的演繹論證，而無需具體表達這些句子是什么。這種演繹推理就是所謂的盲目演繹，有效的盲目演繹稱作盲目論證（blind argument）。［10］換句話說，盲目論證是包含盲目歸屬的論證，而不需要精確刻畫它們是什么。［10］

盲目演繹其實也可以理解為多個盲目歸屬之間的關系，因為上述例子中包含“真”的句子都可以用無窮合取句或無窮析取句來表達，也可以用前面提到的方式對其概括。因此，也可以把這種演繹或論證理解為“真”的概括功能。

蒯因也討論過類似的問題：“我們不需要談論句子的真就可以對‘湯姆是有死的’‘迪克是有死的’ 等進行概括，我們可以說‘所有人都是有死的’。我們同樣可以對‘湯姆是湯姆’，‘迪克是迪克’，‘0 是0’等進行概括，得到‘所有事物都是其自身’。但是當我們想要對‘湯姆是有死的或者湯姆不是有死的’‘雪是白的或雪不是白的’ 等進行概括時，我們上升到談論句子和真，說‘每一個“形如p或非p”的句子都是真的’。”［11］11那么，這種概括是如何實現的呢？以下面這個句子為例：

雪是白的或者雪不是白的

從這個句子如何得到：

每一個“形如p或非p”的句子都是真的

概括這個句子最簡單的方式是直接概括“雪是白的”，得到

任給一個X，X或者并非X（5）

但是這種對句子的直接概括是二階邏輯的處理方式，而二階邏輯有很多問題，因而通常在一階邏輯中討論問題。實現概括的方法是借助“真”，通過T-模式先對“雪是白的”這個句子進行語義上升（semantic ascent），得到下面這個句子：

“雪是白的”是真的

這時“‘雪是白的’”就是“雪是白的”這個句子的名字，即它變成一個項而不再是句子。然后用一階變項x來代替這個句子，得到下面的開語句：

x是真的或者x不是真的

再通過全稱概括得到：

任給一個x，x是真的或者并非x是真的

這個句子恰好表達了“每一個‘形如p或非p’的句子都是真的”。有人把“真”的這種功能叫做“模擬語句量化”（mimicking sentential quantification）［8］333，但其實這也是利用“真”進行的概括。

受此影響，有人認為“真”不僅可以模擬語句量化，還可以模擬謂詞量化（mimic quantification into predicate position），即“真”可以實現對謂詞的概括。考慮下面的句子：

湯姆是有死的

一階邏輯無法實現對這個句子中的謂詞進行概括。通常情況下要想概括謂詞需要用到二階邏輯，將其表示為：存在一個X，湯姆具有X這種性質（即?X X（湯姆））。但是借助“真”可以在一階邏輯中對其概括，根據T-模式，“湯姆是有死的” 等價于“‘湯姆是有死的’是真的”。因為“湯姆是有死的”是由主語“湯姆”和謂語“是有死的”結合而成的，因此，“湯姆是有死的”就等價于下面的句子：

“湯姆”與“是有死的”的結合是真的

這里的“‘是有死的’”是被提到而不是被用到，因此是一個項。進而可以用變項x替換，然后用量詞概括得到：

存在一個x，使得“湯姆”與之的結合是真的這個句子就是上面二階邏輯所表達的意思 “存在一個X，湯姆具有X這種性質（?X X（湯姆））”［8］333-334。當然，與前面的討論類似，這也是利用“真”的概括功能。

四、“真”與說謊者悖論

在一定的邏輯推理能力和語言表達能力條件下，“真” 作為語義刻畫詞的一致性使用會導致說謊者悖論及相關悖論。以最經典的說謊者悖論為例，考慮下面這個說謊者語句L：

L導致悖論的推理過程如下：首先假設“L”，由T-模式可得“‘L’是真的”；但是“L”就是“L是不真的”的縮寫，矛盾。假設“并非L”，因為“L”就是“L是不真的”的縮寫，替換可得“并非L是不真的”，即“L是真的”；根據T-模式，代入“并非L”可得“并非L是真的”，矛盾。

類似的推理還可以推廣到其他一些與“真”這個詞的使用相關的語義悖論，比如卡片悖論、庫里悖論、雅布羅悖論等。說謊者悖論的構造步驟或者與語言構造（即語言表達力）有關，或者與邏輯推理相關，或者與“真”的語義刻畫功能（表現為T-模式）有關。對說謊者悖論及其相關悖論有很多種理解和處理方式，這里不討論它們之間的優劣。但是，如果一種處理方案能夠同時保留語言表達力和經典邏輯的推理能力，同時還能保留和實現“真”的主要功能，那么這個方案應該是一種不錯的方案。是否有這樣一種能不錯地處理說謊者悖論及相關悖論的方案呢？

為了更好地說明這個問題，先要討論一下“真”之功能的實現方式問題。上文提到，“真”主要有兩類功能，一是語義刻畫，一是概括。那么“真”的這兩個主要功能是如何實現的呢？傳統的“真”理論認為這都是真謂詞的功能，也就是通過真謂詞來實現的，比如T-模式是用真謂詞表達的模式，概括是真謂詞實現的概括。但是，在日常語言中“真”這個詞有謂詞用法也有算子用法，比如，英語中有“‘Snow is white’ is true”和“It is true that snow is white”（6）。前者中的“is true”是謂詞用法，因為從語法上說，其前面主語部分是作為主語的項；后者中的“It is true that”是算子用法，因為從語法上說，其后面跟的是句子（that 從句）。一般情況下，“真”的謂詞用法與算子用法可以等價轉換，比如 “It is true that snow is white” 與 “‘Snow is white’ is true”這兩個句子可以等價轉換。但在有些情況下，這兩種用法并不等價，一種用法不可歸約為另一種用法。（7）

首先，不是所有謂詞用法都可以歸約為算子用法，比如“Every PA theorem is true”這個句子無法等價轉換為算子用法 “It is true that every PA theorem”，因為作為算子的“It is true that”后面跟的是句子而不是短語。

其次，通常認為所有真算子用法都可以歸約為真謂詞用法，但其實并非如此。利用上面提到的說謊者語句（1），可以構造下面的句子：

如果認為真算子用法都可以歸約為真謂詞用法，則下面的句子與（2）等價：

但是，因為L是“‘L’ is not true”的縮寫，對（2）和（3）分別做同一代入之后可得：

和

（5）與（1）形式上是矛盾的。但是，在不預設真謂詞等價于真算子的情況下，（4）與（1）在形式上并不矛盾（因為（4）中是真算子，而（1）中是真謂詞）。在二值邏輯下，（5）與（1）不可能取相同值，但是（4）與（1）卻有可能取相同值。因此，真算子并不能歸約為真謂詞，至少這是可能的。因而，真算子與真謂詞不可互相歸約。

通常把“真”之功能都理解為真謂詞的功能。但是，如前所述，“真”有兩種語法形式，為什么要把真謂詞當作“真”的兩種功能的實現方式呢？既然真謂詞與真算子不能相互歸約，真謂詞的語義刻畫功能又可以導致悖論，那么是否可以通過讓“真”的兩種功能與“真”的兩種語法形式分別對應，即用“真”的算子用法來承擔語義刻畫功能、用“真”的謂詞用法來承擔概括功能，以此來處理說謊者悖論及相關悖論呢？

為了討論方便，用To表示真算子，用Tp表示真謂詞。作為語義刻畫詞，用真算子的To模式替代真謂詞的Tp-模式（即塔斯基的T-模式）來表達語義刻畫功能。算子意義上的語義刻畫可以定義如下：

一個一元邏輯算子⊙弱刻畫一個語義值Δ，當且僅當：任給句子φ：φ取值為1，當且僅當⊙（φ）取值為1

一個一元邏輯算子⊙強刻畫一種語義值Δ，當且僅當：任給句子φ：⊙（φ）取值為1，如果φ取值為1；否則，⊙（φ）取值為0

易見在二值情況下，弱刻畫與強刻畫是等價的。由此，真算子的語義刻畫功能可以表達如下：

這里的φ是句子本身而不是句子的名字。用算子表達語義刻畫功能可以實現對任意句子的語義刻畫，即任給一個句子φ，φ的語義值與To（φ）的語義值相同。

在通常條件下，（To）模式不會導致悖論，因為在經典邏輯中，（To）中的真算子等價于雙重否定。如果（To）模式可以導致悖論，那么經典邏輯中雙重否定也可以導致悖論，但是經典邏輯是一致的，所以（To）模式不會導致悖論。

另外，“真”的謂詞用法被保留了，因此真謂詞的表達力也得以保留，說謊者語句依然可以構造出來。那么，“真”的語法概括功能可以實現嗎？前面提到對句子的概括需要用到謂詞意義上的Tp-模式，現在把這個模式變成了算子意義上的模式，是否還可以進行語法概括呢？這里需要一個導出模式：

易見，只需假設等值傳遞規則，（Top）就可以從（To）推出。（Top）表達的是，真謂詞語句與真算子語句的等價是謂詞意義上的（Tp）模式成立的充分必要條件。有了（Top）模式就可以實現對句子的概括，以下面的概括句為例：

每一個“形如p或非p”的句子都是真的

如何才能得到這個句子呢？首先有“雪是白的或雪不是白的”，令φ表示“雪是白的”，因為To（φ）等價于Tp（<φ>）（即對于“雪是白的”這個句子來說，真謂詞與真算子是等價的），所以可以使用謂詞意義上的（Tp）模式，進而可以先對“雪是白的”這個句子進行語義上升，得到“‘雪是白的’是真的”。這里的“‘雪是白的’”是一個項，進而可以用變項x代換“‘雪是白的’”這個項，得到“x是真的或者并非x是真的”，然后對其量化概括得到：

任給一個x，x是真的或者并非x是真的

而這個句子表達的恰好就是“每一個‘形如p或非p’的句子都是真的”。

所以，從“真”之功能的角度來理解“真”會發現，“真”有兩種主要功能，恰好“真”也有兩種不同的語法形式，完全可以把“真”的兩種功能拆分開并分別與“真”的兩種語法形式匹配。這樣既可以保留和實現“真”的功能，還可以避免說謊者悖論及相關悖論，同時還沒有修改邏輯推理能力和語言表達能力。一種同時包含真算子與真謂詞的“混合”真理論是理解“真”以及解決說謊者悖論及相關悖論的不錯方案。（8）

五、結語