審清題意，辨明模型
——備考概率與統計解答題

四川省綿陽實驗高級中學 黃芹

概率與統計知識主要考查同學們的數學建模、數據分析等核心素養,在新高考背景下,概率與統計解答題常常通過構建真實的情境將數學的各個知識點串聯貫通,注重同學們的實踐體驗,并常常會出現合理決策的問題,呈現考題應用化的特點。從題目呈現形式上來看,大致為以下三種類型。

類型一、模型分析類——通過對問題情境的分析轉化,得出概率模型,利用概率知識解決實際問題

例1深受廣大球迷喜愛的某支足球隊,在對球員乙的使用上需要進行數據分析,根據以往的數據統計,乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛及守門員四個位置,且出場率分別為0.2、0.5、0.2、0.1,當出任前鋒、中鋒、后衛及守門員時,球隊輸球的概率依次為0.4、0.2、0.6、0.2。

(1)當他參加比賽時,求球隊某場比賽輸球的概率;

(2)當他參加比賽時,在球隊輸了某場比賽的條件下,求乙球員擔當前鋒的概率;

(3)如果你是教練員,請應用概率統計有關知識,分析該如何使用乙球員?

解析：(1)設A1表示“乙球員擔當前鋒”;A2表示“乙球員擔當中鋒 ”;A3表示“乙球員擔當后衛”;A4表示“乙球員擔當守門員”;B表示“球隊輸掉某場比賽”,則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32。

所以應該多讓乙球員擔當守門員,來擴大贏球場次。

點睛：本題主要考查條件概率模型及決策性問題。

類型二、數據分析處理類——用圖形或者表格給出數據,通過數據分析,構建模型解決實際問題

例2為了保護學生的視力,讓學生在學校專心學習,促進學生身心健康發展,教育部于2021年1 月15 日下發文件《關于加強中小學生手機管理工作的通知》,對中小學生的手機使用和管理作出了相關的規定。某中學研究型學習小組調查研究“中學生每日使用手機的時間”,從該校學生中隨機選取了100名學生,調查得到表1中的統計數據。

表1

(1)從該校任選1名學生,估計該學生每日使用手機的時間小于36 min的概率;

(2)估計該校所有學生每日使用手機的時間t的中位數;

(3)以頻率估計概率,若在該校學生中隨機挑選3人,記這3人每日使用手機的時間在[48,72]內的人數為隨機變量X,求X的分布列和數學期望E(X)。

解析：(1)由題表知,該校學生每日使用手機的時間t小于36 min的有6+30+35=71(人),所以從該校任選1名學生,估計該學生每日使用手機的時間小于36 min 的概率

(2)設中位數為x0,因為該校所有學生每日使用手機的時間t小于24 min 的頻率為,每日使用手機的時間t小于36 min 的頻率為,所以x0∈[24,36)。

用樣本估計總體,所以可估計該校所有學生每日使用手機的時間t的中位數為28.8 min。

(3)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3。

所以X的分布列為表2。

表2

故X的數學期望

點睛：本題主要考查用樣本的數字特征估計總體的數字特征及二項分布。

例3某興趣小組為了解某城市不同年齡段的市民每周的閱讀時長情況,在市民中隨機抽取了300 人進行調查,并按市民的年齡是否低于45 歲及周平均閱讀時間是否少于5小時將調查結果整理成如表3所示的列聯表。現統計得出樣本中周平均閱讀時間少于5小時的人數占樣本總數的50%;45歲以上(含45 歲)的樣本占樣本總數的歲以下且周平均閱讀時間少于5小時的樣本有120人。

表3

(1)請根據已知條件將上述列聯表補充完整,并依據小概率值α=0.01 的獨立性檢驗,分析周平均閱讀時間長短與年齡是否有關聯。如果有關聯,解釋它們之間如何相互影響。

(2)現從45 歲以上(含45 歲)的樣本中按周平均閱讀時間是否少于5小時用分層抽樣法抽取8人做進一步訪談,然后從這8 人中隨機抽取3 人填寫調查問卷,記抽取的3人中周平均閱讀時間不少于5小時的人數為X,求X的分布列及數學期望。

表4

解析：(1)因為樣本中周平均閱讀時間少于5小時的人數占樣本總數的50%,所以樣本中周平均閱讀時間少于5 小時的人數為300×50%=150(人),則其中年齡在45歲以上(含45歲)的人數為150-120=30(人)。

所以45歲以下周平均閱讀時間不少于5小時的人數為300-80-120=100(人)。

補充完整的列聯表如表5所示:

表5

假設H0:周平均閱讀時間長短與年齡無關聯,因為≈6.818＞6.635,所以依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗分析判斷H0不成立,即周平均閱讀時間長短與年齡有關聯。

在45歲以下的樣本人群中,周平均閱讀時間不少于5 小時的頻率為,在45歲以上(含45歲)的樣本人群中周閱讀時間不少于5小時的頻率為,用頻率估計概率,可以認為,隨著年齡的增長,周平均閱讀時間也會有所增長。

(2)由題意可知,抽取的8 人中,周平均閱讀時間少于5小時的有(人),不少于5小時的有(人)。

由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,所以

所以X的分布列為表6。

表6

點睛：本題主要考查樣本的獲取、獨立性檢驗、古典概型及超幾何分布。

例4為鍛煉學生的綜合實踐能力,長沙市某中學組織學生對雨花區一家奶茶店的營業情況進行調查統計,得到表7中的數據:

表7

(2)從相關系數的角度確定哪一個模型的擬合效果更好,并據此預測次年2月(記x=14)的凈利潤(保留1位小數)。

因為r1更接近1,所以模型y=2.5lnx-0.95的擬合效果更好,據此估計次年2月凈利潤為y≈2.5ln 14-0.95≈5.6(萬元)。

點睛：本題主要考查兩個變量的線性相關關系,以及相關關系強與弱的判定。

類型三、綜合應用類——通過對問題情境的分析轉化,得出數學模型,綜合利用概率統計、函數、數列、不等式等知識解決實際問題

例5隨著互聯網的快速發展和應用,越來越多的人開始選擇網上購買產品和服務。某網購平臺為提高2022年的銷售額,組織網店開展“秒殺”搶購活動,甲,乙,丙三人計劃在該購物平臺分別參加A,B,C三家網店各一個訂單的“秒殺”搶購,已知三人在A,B,C三家網店訂單“秒殺”成功的概率均為p,三人是否搶購成功互不影響。記三人搶購到的訂單總數為隨機變量Z。

(1)求Z的分布列及數學期望E（Z）;

(2)已知每個訂單由k（k≥2,k∈N*）件商品構成,記三人搶購到的商品總數量為T,假設,求E（T）取最小值時正整數k的值。

解析：(1)由題意知Z的所有可能取值為0,1,2,3,則Z～B(3,p)。

所以P(Z=0)=(1-p)3;

所以Z的分布列為表8。

表8

所以E(Z)=1×3p(1-p)2+2×3p2×(1-p)+3×p3=3p。

則當k=2時,S3＜S2;

當k=3時,S3=S4;

當k＞3時,Sk+1＞Sk。

所以E(T)取最小值時正整數k的值為3或4。

點睛：本題主要考查二項分布、數學期望的概念理解及數列的單調性。

概率與統計解答題,常考的知識點有古典概型、條件概率、正態分布、獨立事件概率、二項分布、超幾何分布、回歸直線方程、獨立性檢驗、概率與統計的綜合等,在備考中需要厘清概率、統計的有關概念,理解相關公式,熟練掌握經典模型,提高閱讀理解能力、識圖能力、數據處理能力等,同時要關注近幾年高考題中很少涉及的冷門考點。在做概率統計題目時,需要仔細審題,明確已知與待求之間的內在聯系,構建合適的模型,問題便可迎刃而解。