概率統計中決策性問題的解題策略及技巧

浙江省湖州市行知中學 孫平

概率統計作為高考考查的重要知識點,是高考命題的熱點與重點。解答題主要涉及三個方面:一是統計圖表與分布列的綜合性解答題;二是統計數據的數字特征與回歸分析、獨立性檢驗等的綜合性解答題;三是統計圖表與函數內容的結合,包括函數解析式的求解與應用等。以上三類問題的重心均在決策上,不同背景僅僅是為給出決策所進行的數據收集、數據分析和必要的數據處理。本文從兩個類型的決策問題來分析如何在概率統計問題中給出合理的決策結果,并總結了一些答題策略及技巧,希望對同學們的復習有所幫助。

題型一、用回歸分析來決策

統計圖表與回歸分析是高考常考的一類問題,常對具有現實情境的統計圖表與回歸分析問題進行創新性命題。解決這類問題的方法離不開靈活運用相關系數公式、經驗回歸方程等分析與計算,最后對實際問題作出合理的決策性選擇。

例12020 年1 月15 日教育部制定出臺《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》,也稱“強基計劃”。《意見》宣布:2020 年起不再組織開展高校自主招生工作,改為實行強基計劃,強基計劃主要選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生,據悉強基計劃的校考由試點高校自主命題,校考過程中通過筆試后才能進入面試環節。

(1)為了更好地服務于高三學生,某研究機構對隨機抽取的5名高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計,得到表1中的數據。

表1

請用相關系數說明該組數據中y與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合,并求y關于x的線性回歸方程

(2)現有甲、乙兩所大學的筆試環節都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立,若某考生報考甲大學,每門筆試科目通過的概率均為,該考生報考乙大學,每門筆試科目通過的概率依次為,其中0＜m＜1,根據規定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校,若以筆試過程中通過科目數的數學期望為依據作出決策,求該考生更希望通過乙大學筆試時m的取值范圍。

參考公式:①線性相關系數r=一般地,相關系數r的絕對值在0.95以上(含0.95)認為線性相關性較強;否則,線性相關性較弱。

點評:回歸分析問題經常用大量文字和數據來說明實際現象和解讀生活規律。解題時需要注意以下幾個方面:①把握相關概念的本質,掌握基本模型;②在解題中重點關注數據的感悟、統計思維、統計語言;③多了解一些新興科技技術,如“大數據”“人工智能”“云計算”等,將會越來越多地用到概率統計方面的知識,今后很可能在這方面出題;④與其他知識的組合(數列、導數、函數)。

題型二、用獨立性檢驗來決策

獨立性檢驗的問題是高考重點考查的一類問題,一般是中檔題。解決獨立性檢驗問題的基本方法是代入相關公式求解,查表比較與臨界值的大小,從而判斷兩個變量是否有關系。

例2為落實十三五規劃節能減排的國家政策,某職能部門對市場上兩種設備的使用壽命進行調查統計,隨機抽取A型和B型設備各100 臺,得到如圖1 和圖2 所示的頻率分布直方圖。

(1)估算A型設備的使用壽命的第80百分位數。

圖1

(2)將使用壽命超過2 500 小時和不超過2 500 小時的臺數填入表2所示的列聯表:

圖2

表2

根據上面的列聯表,能否有99%的把握認為使用壽命是否超過2 500小時與型號有關?

(3)已知用頻率估計概率,現有一項工作需要10臺同型號設備同時工作2 500 小時才能完成,工作期間設備損壞立即更換同型號設備(更換設備時間忽略不計),A型和B型設備每臺的價格分別為1 萬元和0.6 萬元,A型和B型設備每臺每小時耗電分別為2度和6度,電價為0.75元/度。只考慮設備的成本和電費,你認為應選擇哪種型號的設備? 請說明理由。

表3

解析：(1)前三組的頻率之和為(0.000 2+0.000 4+0.000 6)×500=0.6,前四組頻率之和為(0.000 2+0.000 4+0.000 6+0.000 5)×500=0.85,所以第80 百分位數一定位于[3 000,3 500)內,故第80百分位數為(小時)。

(2)由頻率分布直方圖可知,A型設備超過2 500小時的有100×(0.000 6+0.000 5+0.000 3)×500=70(臺),則A型設備不超過2 500小時的有100-70=30(臺),B型設備超過2 500小時的有100×(0.000 6+0.000 3+0.000 1)×500=50(臺),則B型設備不超過2 500小時的有100-50=50(臺),故可得到完整的2×2列聯表,如表4所示:8.333＞6.635,所以有99%的把握認為使用壽命是否超過2 500小時與型號有關。

表4

(3)A型設備每臺變換的頻率為0.3,所以10臺A型設備估計要更換3臺,B設備每臺變換的頻率為,所以10臺B型設備估計要更換5臺,選擇A型設備的總費用y1=(10+3)×1+10×2×0.75×2 500×10-4=16.75(萬元),選擇B型設備的總費用y2=(10+5)×0.6+10×6×0.75×2 500×10-4=20.25(萬元),故選擇A型設備。

點評:求解獨立性檢驗問題的基本步驟:①依據樣本數據整理出列聯表;②將列聯表中的數據代入相關公式求出隨機變量的觀測值;③查臨界值表,根據概率的大小給出相應的決策。

總之,處理概率統計中決策性問題的求解策略和步驟簡稱為“定、算、判”,即先定統計量:根據題設所問,如利潤最大,合理性判斷或估值等,確定需要計算的統計量,如平均數,方差或期望,概率等;再算統計量:根據第一步確定的方向,利用定義及公式準確計算出所需統計量的數值;最后判斷作出決策:根據第二步計算出的數值的大小,將其進行比較,得出所需的結論,作出合理的決策。