加強數(shù)理融合思維考查　凸顯高考評價體系內(nèi)涵

韓玥 曹海霞

［摘 要］高考的核心功能是立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)。高考試題的命制要充分發(fā)揮育人功能，考查學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展情況與解決跨學(xué)科問題的能力，以適應(yīng)高校選拔、新時代卓越創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的要求。文章以2023年新高考全國卷數(shù)學(xué)、物理試題為例，基于跨學(xué)科理念對高考試題進行分析，以期對高中數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的教學(xué)提供借鑒。

［關(guān)鍵詞］數(shù)理融合思維；跨學(xué)科；高考

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0040-04

［基金項目］本文系江蘇省高等教育學(xué)會資助課題“新工科背景下大學(xué)物理課程思政的實踐與探索”（項目編號： 2020JDKT038 ）、蘇州大學(xué)東吳學(xué)院重點培育課題“‘新工科背景下數(shù)理深度融合的教學(xué)實踐與探索”的研究成果。

［通信作者］曹海霞，女，江蘇人，教授，博士，主要研究方向為物理教學(xué)研究和凝聚態(tài)物理理論研究。

黨的二十大報告把教育、科技、人才作為一個整體進行論述，賦予教育以崇高的時代使命。提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量是踐行為國育才使命的必然路徑。我國新一輪課程改革的目標(biāo)指向落實核心素養(yǎng)，促進學(xué)生全面發(fā)展。《義務(wù)教育物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新增了“跨學(xué)科實踐”一級主題，旨在提升學(xué)生運用跨學(xué)科知識的能力及分析和解決問題的能力。高中數(shù)學(xué)、物理新課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)數(shù)學(xué)、物理與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，強調(diào)基于真實情境培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)、物理知識解決實際問題的能力，從而促進學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的全面提升。《中國高考評價體系》明確“一核四層四翼”的高考考查要求，強調(diào)高考試題的命制要注重基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性。在這樣的背景下，物理、數(shù)學(xué)高考試題注重考查學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)、分析和解決跨學(xué)科問題的能力，特別是加強創(chuàng)設(shè)真實問題情境，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)、物理知識解決問題的能力，以適應(yīng)高校選拔、新時代卓越創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的要求。

無論是從學(xué)科的發(fā)展歷史來看，還是從現(xiàn)代學(xué)科的特點來看，物理與數(shù)學(xué)都存在著巨大的交叉空間。在當(dāng)前大中學(xué)貫通式教育的大背景下，加強學(xué)生數(shù)理融合思維的培養(yǎng)尤為重要。數(shù)理融合是指教師在承認數(shù)學(xué)、物理差異的前提下，有意識地應(yīng)用貫通兩學(xué)科概念原理的教學(xué)內(nèi)容、情境素材、思維方法，幫助學(xué)生實現(xiàn)知識體系、學(xué)科技能的多元化融合，促進數(shù)學(xué)、物理學(xué)科核心素養(yǎng)的共同發(fā)展［1-2］。數(shù)理融合強調(diào)打破學(xué)科界限，依據(jù)數(shù)學(xué)與物理的思維互通性，提煉出數(shù)學(xué)與物理交融的知識點，發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，以此為基礎(chǔ)整合數(shù)學(xué)與物理的學(xué)科教學(xué)。本文以2023年新高考全國卷數(shù)學(xué)、物理試題為例，基于跨學(xué)科理念對高考試題進行分析，以期對高中數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的教學(xué)提供借鑒。

一、運用物理知識巧解數(shù)學(xué)高考題

創(chuàng)設(shè)情境是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑。設(shè)計及運用情境化問題，有利于提升學(xué)生在真實情境下解決學(xué)科問題和跨學(xué)科問題的能力，促進學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的全面提升。設(shè)計情境化試題可以考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，這也是當(dāng)前高考各學(xué)科命題的必然趨勢。數(shù)學(xué)高考題中的情境化問題為數(shù)學(xué)建模提供了背景材料，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于社會、生活、科技和工程技術(shù)的發(fā)展，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的功能性和應(yīng)用價值，彰顯了數(shù)學(xué)的魅力。2023年新高考全國卷數(shù)學(xué)試題具有兩個顯著特點：一是體現(xiàn)了新課程改革、新高考改革的要求，深化考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性與綜合性，凸顯了跨學(xué)科理念；二是注重與真實情境融合，重在落實“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任”核心素養(yǎng)。例如全國Ⅰ卷第10題以噪聲污染為問題情境，利用對數(shù)函數(shù)研究噪聲聲壓級；全國Ⅱ卷第12題通過通信工程領(lǐng)域中信號處理時發(fā)出、接收信號的0或1的概率來考查概率問題。

［例1］（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)第10題）噪聲污染問題越來越受到重視，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級[Lp=20×lgpp0]，其中常數(shù)[p0（p0>0）]是聽覺下限閾值，[p]是實際聲壓，下表為不同聲源的聲壓級：

[聲源 與聲源的距離/m 聲壓級/dB 燃油汽車 10 60～90 混合動力汽車 10 50～60 電動汽車 10 40 ]

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車[10 m]處測得實際聲壓分別為[p1、p2、p3]，則（）。

A. [p1≥p2]B. [p2>10p3]

C. [p3=100p0] D. [p1≤100p2]

解析：根據(jù)題干中給出的聲壓級定義式[Lp=20×lgpp0]，可得[p=10LP20p0]。燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車的聲壓級為：[60≤Lp1≤90]、[50≤Lp2≤60]、[Lp3=40]，由此可求得對應(yīng)的聲壓為：[103p0≤p1≤104.5p0]、[102.5p0≤p2≤103p0]、[p3=102p0]。由[p1≥103p0≥p2]可知選項A正確；因為[10p3=103p0]，所以[10p3≤p2]，選項B錯誤；因為[p3=102p0]，選項C正確；因為[105p0≥100p2≥104.5p0] ，所以[p1≤100p2]，選項D正確。

點評：本題以噪聲污染為問題情境，引入度量聲音強弱的物理量聲壓級，是一道考查學(xué)生綜合運用物理、數(shù)學(xué)知識解決問題的能力的好題。解題時學(xué)生需要結(jié)合實際情境建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，再運用數(shù)學(xué)知識進行解題。難點在于將題目給出的物理模型等轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，即“解?！?。汽車噪聲污染取材于現(xiàn)實生活情境，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題中的重要作用。我國大力提倡發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)，電動汽車不僅具有對環(huán)境無污染這一特點，相較于其他汽車還具有噪聲小的優(yōu)點，充分展現(xiàn)出了電動汽車的優(yōu)勢，順應(yīng)了綠色經(jīng)濟的潮流。本題貼近社會熱點話題，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新能源的應(yīng)用和培養(yǎng)學(xué)生保護環(huán)境的社會責(zé)任感，真正實現(xiàn)了“立德樹人”目標(biāo)。

本題的原型源自人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊（A版）第141頁第10題，是一道非常典型的數(shù)理融合題。

聲強級[LI]（單位：dB）由公式[LI=10lgI10-12]給出，其中I為聲強（單位：[W/m2]）。

（1）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為1[ W/m2]，能聽到的最低聲強為[10-12 W/m2]。求人聽覺的聲強級范圍。

（2）平時常人交談時的聲強約為[10-6 W/m2]，求其聲強級。

聲強級是一個物理概念。高中物理雖未介紹聲波的知識，但學(xué)生在初中已掌握了相關(guān)的物理背景知識。以蘇科版初中物理教材為例，學(xué)生在初二就學(xué)習(xí)了“聲現(xiàn)象”一章的知識，本章的“生活·物理·社會”欄目拓展介紹了有關(guān)聲強級的內(nèi)容，列出了不同聲強級的聲音對人的影響。這也充分顯示了初高中物理教材的編寫注重體現(xiàn)跨學(xué)科理念及教材內(nèi)容的貫通性和銜接性，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理融合思維提供了可能。物理教材中的“聲強級”與高考數(shù)學(xué)試題中的“聲壓級”有何區(qū)別？要弄清楚這一問題，首先需要理解機械波中的能流密度（又稱“波的強度”，用I表示）的定義：單位時間內(nèi)通過垂直于波線方向的單位面積上的平均能流，可表示為[I=12ρω2A2u]，其中[ρ]為介質(zhì)的密度，[ω]為振動頻率，A為振幅，[u]為波速。聲波的能流密度稱為聲強，人耳對聲音強弱的主觀感覺稱為響度。實驗表明，響度近似地與聲強的對數(shù)成正比，聲強級[LI]用聲強的對數(shù)來表示：[LI=10lgII0]，式中[I0]是頻率為1000 Hz時人耳能感覺到的最低聲強（聞域的聲強），[I0=10-12? W/m2]，聲強級的單位是分貝（dB）。聲壓（用p表示）是指介質(zhì)中有聲場時的壓強與無聲場時的壓強之差，聲壓級[Lp]用聲壓的對數(shù)來表示：[Lp=20×lgpp0]。一般可認為聲壓級與聲強級的數(shù)值近似相等，推導(dǎo)過程如下：當(dāng)聲波以平面波或球面波的形式進行傳播時， [p2=Iρu]，由題干給出的聲壓級定義式[Lp=20×lgpp0]，[p0=2×10-5 N/m2]，計算可得[LI=Lp+10lgp20ρuI0]，[ρu=ρc]為介質(zhì)的聲阻抗率，隨介質(zhì)的溫度與氣壓發(fā)生改變［3］。在20 ℃和1 atm條件下（[ρ=1.2 kg/m3]，[u=340 m/s]），[10lgp20ρuI0=10lg400408=-0.09 dB]，聲壓級與聲強級相差0.09 dB，可近似認為兩者數(shù)值相等，但兩者的物理意義并不相同。在日常生活中表示噪聲大小時常用聲壓級，而表示聲音的能量時則用聲強級。

［例2］（2023年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)第16題）已知函數(shù)[f（x）=sin（ωx+φ）]，如圖1所示，A、B是直線[y=12]與曲線[y=f（x）]的兩個交點，若[AB=π6]，則[f（π）=]? ? ? ? ? ? 。

解法1：設(shè)A、B點的橫坐標(biāo)分別為[x1]、[x2]，則[ωx1+φ=π6]，[ωx2+φ=5π6]，又因為[x2-x1=π6]，解得[ω=4]。曲線[y=f（x）]過[2π3，0]，則[4×2π3+φ=2π]，即[φ=-2π3]，解得函數(shù)[f（x）=sin4x-2π3]，可得[f（π）=-32]。

解法2：從物理視角運用簡諧運動的矢量表示法（又稱“簡諧運動的參考圓方法”）求解。如圖2（a）所示，A是一個長度不變的矢量，起點在[x]軸的原點處。[t=0]時，[A]與[x]軸的夾角為[φ]，矢量[A]以角速度[ω]繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向做勻速圓周運動。矢量[A]在任意時刻[t]與[x]軸的夾角為[ωt+φ]。矢量[A]在[y]軸上的投影可表示為[y=Asin（ωt+φ）]，代表一個簡諧運動。[A、ω、φ]分別表示簡諧運動的振幅、角速度和初相位。本題中將[f（x）=sin（ωx+φ）]的圖像轉(zhuǎn)換到半徑為1的參考圓中，[x、ω、ωx+φ]分別表示運動時間、角速度、相位。由[y=12]圖像對應(yīng)的[A]、[B]兩點可標(biāo)出對應(yīng)在參考圓上的位置，如圖2（b）所示。經(jīng)過時間[Δx=π6]，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過角度[Δφ=2π3]，故矢量旋轉(zhuǎn)的角速度[ω=ΔφΔx=4（rad/s）]。由圖1可知運動時間[x=2π3]時，[y=0]，對應(yīng)圖2（b）的[C]點，相位[ωx+φ=4×2π3+φ=2π]，則初相位[φ=-2π3]。

? ? ? ? ?

（a）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （b）

圖2

點評：質(zhì)點的勻速圓周運動模型是一個典型的物理運動模型，高中生已掌握勻速圓周運動的相關(guān)基本概念和質(zhì)點的運動規(guī)律，運用參考圓方法，可以讓學(xué)生更直觀地體會數(shù)學(xué)中的正余弦函數(shù)與物理中的勻速圓周運動的緊密聯(lián)系以及數(shù)學(xué)建模與物理建模之間的關(guān)系，真正實現(xiàn)學(xué)科間的深度融合，促進學(xué)生高階思維能力的提升。

二、運用數(shù)學(xué)方法速解物理問題

數(shù)學(xué)與物理密不可分，物理是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識最為廣泛和最為充分的學(xué)科。高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的運用，運用數(shù)學(xué)知識與方法解決物理問題的能力是高考物理考查的能力之一。常見的數(shù)學(xué)方法有圖像法、極值法、幾何法和微元法等［4］。2023年高考全國甲卷與乙卷物理試題中的“數(shù)理融合”題凸顯了兩大特點：（1）數(shù)學(xué)知識范圍廣，涉及“圓”的平面幾何、三角函數(shù)、相似三角形等；（2）數(shù)學(xué)方法應(yīng)用難度大。這要求學(xué)生不僅要會運用數(shù)學(xué)知識，還要能夠運用數(shù)學(xué)思想方法解決物理問題。從具體的試題來看，全國甲卷計算題第2題運用微元法，通過對微元進行求和從而得到完整的運動過程；全國乙卷選擇題第5題，利用角度關(guān)系找出粒子運動半徑是解題的關(guān)鍵；全國乙卷選擇題第8題，巧妙地利用物塊與木板的[v-t]圖像，能快速比較位移的大小關(guān)系。

［例3］（2023年高考全國乙卷物理選擇題第8題）如圖3所示，一質(zhì)量為[M]、長為[l]的木板靜止在光滑水平桌面上，另一質(zhì)量為[m]的小物塊（可視為質(zhì)點）從木板上的左端以速度[v0]開始運動。已知物塊與木板間的滑動摩擦力大小為[f]，當(dāng)物塊從木板右端離開時（）。

A. 木板的動能一定等于[fl]

B. 木板的動能一定小于[fl]

C. 物塊的動能一定大于[12mv20-fl]

D. 物塊的動能一定小于[12mv20-fl]

解法1：規(guī)定[v0]方向為正方向，假設(shè)從木板右端離開時物塊與木板的速度分別為[v1、v2]，[v1>v2]，位移分別為[x1、x2]，[x1=x2+l]。如圖4所示，物塊與木板在運動中水平方向上都只受到摩擦力的作用，它們之間的這對摩擦力為相互作用力，大小相等，方向相反。對物塊、木板分別運用動能定理有：[-fx1=12mv21-12mv20] ， [fx2=12Mv22]。物塊做初速度為[v0]，加速度為[-fm]的勻變速直線運動；木板做初速度為0，加速度為[fM]的勻變速直線運動。當(dāng)物體做勻變速直線時位移[x=v初+v末2t]，可知[x1=v0+v12t]，[x2=v22t]，因為[v0>v1>v2]，所以[x1>2x2]，有[x2

解法2：從物塊與木板的[v-t]圖像中快速獲取運動信息，如位移大小的關(guān)系。規(guī)定[v0]方向為正方向，物塊的初速度為[v0]，加速度為[-fm]，物塊運動到木板最右端時速度為[v1]。木板的初速度為0，加速度為[fM]，當(dāng)物塊運動到木板最右端時木板的速度為[v2]，根據(jù)已知條件作出[v-t]圖像（如圖5）。

圖5中的線段與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體運動的位移。物塊運動的位移[x1]等于[SABDO]，木板運動的位移[x2]等于[SCOD]，物塊與木板運動的位移差l等于[SABDO-SCOD=SABCO]，觀察圖像可知[x1>l]，[x2

點評： 圖像法是處理物理問題時常用的數(shù)學(xué)方法，它具有簡潔、直觀的特點，適當(dāng)運用圖像法可以避免煩瑣的計算過程。將物理過程表征為圖像中的線段，理解圖像各個部分對應(yīng)的物理意義是運用圖像法處理問題的關(guān)鍵。本題畫出物塊與木板的[v-t]圖像，圖像中面積大小對應(yīng)的物理意義是物體運動的位移大小，據(jù)此可從圖像中快速提取出有關(guān)位移大小的信息。

三、教學(xué)啟示

（一）更新教育理念，增強數(shù)理融合的教學(xué)意識

長期以來，傳統(tǒng)的分科教學(xué)模式讓教師更專注于對所授知識的研究，對學(xué)生所學(xué)的其他課程內(nèi)容了解較少。而無論是從立德樹人根本任務(wù)出發(fā)，還是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)與物理的學(xué)科特點來看，當(dāng)代教師都需要打破分科教學(xué)的思維定式，樹立更為開放的學(xué)科觀念，重視學(xué)科的交叉與融合，特別要增強數(shù)理融合的教學(xué)意識。為了更好地實施數(shù)理融合教學(xué)，教師可主動和其他學(xué)科教師進行交流，積極參與“共同備課、協(xié)商上課”的跨學(xué)科聯(lián)合教研活動；組建跨學(xué)科專項研究小組，共同開展數(shù)理融合教研課題研究，確保跨學(xué)科活動設(shè)計的科學(xué)性和創(chuàng)新性；將現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合，建設(shè)數(shù)學(xué)、物理等課程群虛擬教研室，以便于不同學(xué)科、不同學(xué)校的一線教師討論與交流。

（二）充分挖掘數(shù)理融合教學(xué)的鏈接點，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理融合思維

教師應(yīng)充分挖掘數(shù)學(xué)與物理融合教學(xué)的鏈接點，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理融合思維。首先，教師應(yīng)熟悉課程標(biāo)準(zhǔn)中對學(xué)科融合的要求與建議，并在教學(xué)實踐中參考使用。例如，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分需要借助物理背景與幾何背景理解導(dǎo)數(shù)的意義；借助實例（如光學(xué)模型、自由落體、邊際效應(yīng)）了解二次曲線模型的含義和特征；借助具體實例理解一類波動問題（如光波、聲波、電磁波）等周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)刻畫［5］?！镀胀ǜ咧形锢碚n程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求學(xué)生能運用科學(xué)思維方法，從定性和定量兩個方面對相關(guān)問題進行科學(xué)推理、找出規(guī)律、形成結(jié)論［6］，而對問題進行定量處理時難免會用到數(shù)學(xué)這一工具。其次，教師應(yīng)挖掘教材中的數(shù)理融合案例。數(shù)學(xué)教材與物理教材中都有值得運用的數(shù)理融合案例，教師應(yīng)對此進行挖掘，并結(jié)合新課標(biāo)和新教材重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化課程設(shè)計，適當(dāng)增加專題模塊或以項目式學(xué)習(xí)的形式加強數(shù)學(xué)、物理知識在現(xiàn)代工程技術(shù)中的運用，拓寬學(xué)生的學(xué)科視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。最后，教師要對數(shù)理融合教學(xué)的鏈接點進行挖掘，采用滲透式教學(xué)、移植式教學(xué)、主題項目式教學(xué)等數(shù)理融合教學(xué)模式進行教學(xué)。數(shù)理融合教學(xué)并不是簡單的“在數(shù)學(xué)課堂科普物理知識”或“在物理課堂補充數(shù)學(xué)知識”，而是要引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)理融合的鏈接點把握數(shù)學(xué)與物理知識內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，實現(xiàn)知識與思維的深度融合。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)在物理概念和規(guī)律形成發(fā)展中的作用，以及數(shù)學(xué)知識和思想方法在分析與解決科學(xué)研究、工程技術(shù)問題方面的價值。教師在數(shù)理融合教學(xué)中要處理好“變”與“不變”、“跨出”與“回來”的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理知識解決實際問題，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 黃翔，童莉，史寧中.談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維［J］.課程·教材·教法，2021，41（7）：106-111.

［2］.? 徐志剛.數(shù)理融合背景下思維可視化應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略研究［J］.高考，2022（27）：111-114.

［3］? 劉光枚.淺析聲強級與聲壓級的關(guān)系［J］.環(huán)境工程，1991，9（4）：62.

［4］? 王祥斌，黎承忠.常見數(shù)學(xué)方法在高中物理解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2020（8）：36-38.

［5］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)： 2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］? 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)： 2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃春香）