利用函數圖象求不等式解集

王益琴

［摘 要］利用函數圖象求不等式的解集是初中數學教學中的難點。文章結合幾道典型例題，探討如何利用函數求解不等式解集，以拓寬學生的思維，提升學生靈活處理問題的能力。

［關鍵詞］函數圖象；不等式；解集

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0024-04

利用函數圖象求不等式的解集是初中數學教學中的難點，處理這一類問題，要運用轉化思想、數形結合思想，通過將不等式轉化為函數，作出函數的圖象，在觀察中獲取不等式的解集。下面筆者結合幾道典型例題，從五個方面進行分析探討。

一、觀察兩個一次函數圖象得不等式解集

畫出一次函數[y=k1x+b]和[y=k2x+b]的圖象，通過觀察可以得到不等式[k1x+b>k2x+b]和[k1x+b0，k2x+b<0]和[k1x+b<0，k2x+b>0]的解集。

［例1］如圖1所示，在同一個坐標系中，一次函數[y=k1x+b1]和[y=kx+b]的圖象分別與[x]軸交于點[A]、[B]，兩直線相交于點[C]，已知點[A]的坐標為（-1，0），點[B]的坐標為（2，0），觀察圖象并回答下列問題：（1）關于[x]的不等式[kx+b<0]的解集是? ? ? ；（2）直接寫出關于[x]的不等式組[kx+b>0，k1x+b1>0]的解集是? ?；（3）若點[C]的坐標為（1，3），關于[x]的不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是? ? ?。

分析：（1）不等式[kx+b<0]的解集，就是函數[y=kx+b]，當[y<0]時，對應[x]的取值范圍，據此可得到答案；（2）觀察兩個函數圖象在[x]軸上方部分對應的自變量的取值范圍的公共部分，可以得到不等式組的解集；（3）觀察函數[y=k1x+b1]的圖象在函數[y=kx+b]圖象的上方時，對應的自變量的取值范圍，可以得到不等式的解集。

解：（1）觀察[y=kx+b]的圖象，當[x>2]時，[y<0]，所以關于[x]的不等式[kx+b<0]的解集為[x>2]。

（2）點[A]的坐標為（-1，0），點B的坐標為（2，0），觀察函數圖象，得[-10，k1x+b1>0]的解集[-1

（3）觀察函數圖象，可知當[x>1]時，一次函數[y=k1x+b1]的圖象在一次函數[y=kx+b]圖象的上方，所以不等式[k1x+b1>kx+b]的解集是[x>1]。

二、觀察一次函數與絕對值函數的圖象得不等式的解集

對于含有絕對值的不等式，如何求其解集呢？可以將不等式化為絕對值與一個代數式的不等關系，然后畫出絕對值函數與一次函數的圖象，觀察函數圖象求解。

［例2］［問題提出］如何解不等式[x-1+x-3>x+2]？

預備知識1：圖2中給出了函數[y=x+1]和[y=2x+3]的圖象，觀察圖象，我們可得：當[x>-2]時，函數[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]圖象的上方，由此可知：不等式[2x+3>x+1]的解集為? ?。

預備知識2：函數[y=x=x（x≥0），-x（x<0），]稱為分段函數，其圖象如圖3所示，實際上對帶有絕對值的代數式的化簡，通常采用“零點分段”的辦法，將帶有絕對值符號的代數式在各“取值段”化簡，即可去掉絕對值符號。比如化簡[x-1+x-3]時，可令[x-1=0]和[x-3=0]，分別求得[x=1]和[x=3]（稱1、3分別是[x-1]和[x-3]的零點值），這樣可以就[x<1]，[1≤x<3]，[x≥3]三種情況進行化簡，得[4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3）。]

預備知識3：函數[y=b]（[b]為常數）稱為常數函數，其圖象如圖4所示。

［知識遷移］如圖5所示，直線[y=x+1]與直線[y=ax+b]相交于點A（[m]，3），則關于[x]的不等式[x+1≤ax+b]的解集是? ? ?。

［問題解決］結合前面的預備知識，我們來研究怎樣解不等式[x-1+x-3>x+2]。在平面直角坐標系內作出函數[y=x-1+x-3]的圖象，如圖6所示。在同一直角坐標系內再作出直線[y=x+2]的圖象，如圖7所示，可以發現函數[y=x-1+x-3]與[y=x+2]的圖象有兩個交點，這兩個交點坐標分別是? ? ?， ? ? ；通過觀察圖象，便可得到不等式[x-1+x-3>x+2]的解集。這個不等式的解集為 ? ? ? ?。

? ? ? ? ?

圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7

分析：

［問題提出］當[x>-2]時，函數[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]的圖象上方，也就是[x>-2]時，[2x+3>x+1]。

［知識遷移］由點A（[m]，3）在[y=x+1]上，可求出m的值，觀察函數[y=ax+b]的圖象在[y=x+1]的圖象的上方時，對應[x]的取值范圍，即可得到不等式的解集。

［問題解決］將絕對值函數化為[y=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]觀察圖象，求直線[y=4-2x]與[y=x+2]的交點坐標，直線[y=2x-4]與[y=x+2]的交點坐標，觀察[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方時對應自變量的取值范圍。

解：［問題提出］如圖2所示，∵當[x>-2]時，函數[y=2x+3]的圖象在[y=x+1]的圖象上方，∴不等式[2x+3>x+1]的解集為[x>-2]。

［知識遷移］如圖5所示，∵點A（[m]，3）在[y=x+1]上，∴[m+1=3]，解得[m=2]，∴A（2，3），∵當[x≤2]時，函數[y=ax+b]的圖象在[y=x+1]的圖象的上方，∴不等式[ax+b≥x+1]，即[x+1≤ax+b]的解集為[x≤2]。

［問題解決］如圖6、圖7所示，設[y=x-1+x-3]，根據題意得[y=x-1+x-3=4-2x（x<1），2（1≤x<3），2x-4（x≥3），]由函數圖象得[y=4-2x]與[y=x+2]有交點，則[y=4-2x，y=x+2，]解得[x=23，y=83，][y=2x-4]與[y=x+2]有交點，則[y=2x-4，y=x+2，]解得[x=6，y=8，]

∴[y=x-1+x-3]與[y=x+2]的兩個交點坐標分別為[23，83]和（6，8），由函數圖象可知，當[x<23]時，[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方；當[x>6]時，[y=x-1+x-3]的圖象在[y=x+2]的上方，故不等式[x-1+x-3>x+2]的解集為[x<23]或[x>6]。

三、觀察反比例函數與一次函數圖象得不等式解集

反比例函數圖象與一次函數圖象的交點問題，是反比例函數考查的重點，在這樣的試題中，一般會有這樣三個問題，求兩個函數表達式，求形成的三角形面積，求不等式的解集。求不等式的解集時，需要觀察兩個函數圖象的交點坐標，及兩個函數圖象的相互位置關系。

［例3］如圖8所示，一次函數[y1=k1x+b]的圖象與[x]軸、[y]軸分別交于[A]、[B]兩點，與反比例函數[y2=k2x]的圖象分別交于[C]、[D]兩點，點[B]的坐標為（0，2），點[C]的坐標為（2，4）。（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）已知[D]（-4，-2），求[△COD]的面積；（3）直接寫出[k1x+b

分析：（1）把點[C]的坐標代入反比例函數，把點[B]、[C]的坐標代入一次函數，求得兩個函數表達式；（2）根據[S△COD=S△BOC+S△BOD]進行計算，根據點[B]、[C]、[D]的坐標求得這些三角形的高與底邊；（3）分別在第一象限、第三象限內，觀察一次函數圖象在反比例函數圖象的下方時對應的自變量的取值范圍。

解：（1）∵點C（2，4）在反比例函數[y2=k2x]的圖象上，∴[k2=2×4=8]，∴[y2=8x]。∵B（0，2），C（2，4），B、C在[y1=k1x+b]的圖象上，∴[2k1+b=4，b=2，]∴[k1=1，b=2，]∴一次函數為[y1=x+2]。

（2）依據題意，∵D（-4，-2），B（0，2），C（2，4），∴[S△COD=S△BOC+S△BOD=12×2×2+12×2×4=6]。

（3）觀察函數圖象，得在第一象限內，當[0

四、觀察二次函數圖象得不等式的解集

如何求一元二次不等式的解集呢？實際上一元二次不等式可以看作二次函數當函數值大于0或小于0時，對應自變量的取值范圍，所以求一元二次不等式的解集，需要畫出對應二次函數的圖象，觀察函數圖象在[x]軸上方或下方部分對應的自變量的取值范圍可以求得不等式的解集。

［例4］請閱讀下列解題過程：解一元二次不等式：[x2-2x-3<0]。解：設[x2-2x-3=0]，解得：[x1=-1]，[x2=3]，則拋物線[y=x2-2x-3]與[x]軸的交點坐標為（-1，0）和（3，0）。畫出二次函數[y=x2-2x-3]的大致圖象（如圖9）。由圖象可知：當[-1

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數學思想中的? ?和? ?（只填序號）。

①轉化思想

②分類討論思想

③數形結合思想

（2）用類似的方法解一元二次不等式：[-x2+2x>0]。

分析：（1）在解題過程中，將解不等式轉化為二次函數問題，并根據二次函數的圖象得到不等式的解集，所以滲透了轉化思想與數形結合思想；（2）按照題干中提供的解題步驟，先解方程，再畫拋物線，觀察拋物線，最后寫解集進行解答。

解：（1）上述解題過程中，滲透了轉化思想和數形結合思想，故答案為①和③。

（2）解一元二次不等式[-x2+2x>0]。設[-x2+2x=0]，解得[x1=0]，[x2=2]，則拋物線[y=-x2+2x]與[x]軸的交點坐標為（0，0）和（2，0）。畫出二次函數[y=-x2+2x]的大致圖象（如圖10），由圖象可知：當[00]，即[-x2+2x>0]，所以一元二次不等式[-x2+2x>0]的解集為[0

五、觀察二次函數與反比例函數的圖象得不等式的解集

含有分式的不等式，如果不等式的一邊是一次式時，我們可以分別畫一次函數與反比例函數的圖象，觀察兩個函數圖象的交點坐標及上下位置關系求不等式解集。如果不等式的一邊是二次式時，我們該如何求這樣的不等式的解集呢？

［例5］學習函數知識后，我們可以借助函數的圖象求某些較為復雜不等式的解集。比如，求不等式[x-1>2x]的解集。可以先構造兩個函數[y1=x-1]和[y2=2x]，再在同一坐標系中畫出這兩個函數的圖象，通過觀察所畫函數的圖象可知：它們交于A（-1，-2），B（2，1）兩點，當[-12]時，[y1>y2]，由此得到不等式[x-1>2x]的解集為[-12]。根據上述說明，解答下列問題。

（1）要求不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集，可先構造出哪兩個函數？（2）請在給定的平面直角坐標系中，作出你所構造的兩個函數的圖象；（3）觀察所作函數的圖象，求出不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集。

分析：（1）把不等式兩邊的兩個代數式分別作為函數的表達式；（2）用描點法分別畫出二次函數與反比例函數的圖象，通過因式分解求出構造方程的解；（3）觀察二次函數的圖象在反比例函數圖象的上方時，圖象對應的自變量的取值范圍。

解：（1）可構造兩個函數[y1=x2-2x-1]和[y2=-2x]。解方程[x2-2x-1=-2x]得[x1=-1]，[x2=1]，[x3=2]，

當[x1=-1]時，[y1=2]，

當[x2=1]時，[y2=-2]，

當[x3=2]時，[y3=-1]，

即兩個函數的交點坐標分別為（-1，2），（1，-2），（2，-1）。

（2）所作的函數圖象如圖11所示。

（3）觀察函數圖象可知，函數[y1=x2-2x-1]與函數[y2=-2x]有三個交點：（-1，2），（1，-2），（2，-1），由圖象可知，在第二象限內，當[x<-1]時，二次函數圖象在反比例函數圖象的上方；在第四象限內，當[02]時；二次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，所以不等式[x2-2x-1>- 2x]的解集為[x<-1]或[02]。

觀察函數圖象獲取不等式的解集，可以解決一些看似超出學習范圍的不等式，如含有絕對值的不等式、含有分式的不等式、一元二次不等式等，多角度思考問題，會有不同的發現，進而提升靈活處理問題的能力。

（責任編輯 黃桂堅）