二次函數(shù)常見題型及解題策略探究

沃忠波 鄭穎

［摘 要］二次函數(shù)是數(shù)學(xué)知識體系中的重要內(nèi)容之一，不僅是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，而且在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著十分重要的位置。二次函數(shù)相關(guān)知識與考點(diǎn)較多，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的困難。文章結(jié)合實(shí)際情況，對二次函數(shù)的常見題型及解題策略進(jìn)行分析總結(jié)，以期幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高解題效率。

［關(guān)鍵詞］二次函數(shù)；常見題型；解題策略

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0020-04

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考數(shù)學(xué)的重要命題點(diǎn)，會出現(xiàn)在試卷中的任何一類題型中。同時，二次函數(shù)也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，學(xué)生掌握起來并不輕松。本文對二次函數(shù)的常見題型及解題策略進(jìn)行梳理，以供同行參考。

一、二次函數(shù)的解析式求解問題

求二次函數(shù)的解析式是二次函數(shù)的一個常見題型，其難度一般不會很大，這類題型常用的解題方法是待定系數(shù)法，一般可以分為設(shè)、代、解、列四步，即根據(jù)題目信息合理設(shè)出解析式，而后代入題目信息，并進(jìn)一步解相關(guān)方程，最后列出解析式。需要注意的是，學(xué)生要根據(jù)不同題目信息，設(shè)出適當(dāng)形式的函數(shù)關(guān)系式。

［例1］二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)[A（3，0）]，[B（-1，0）]且與[y]軸的交點(diǎn)為[C（0，6）]，求二次函數(shù)的解析式。

解析：二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象過點(diǎn)[A（3，0）]，[B（-1，0）]，所以可設(shè)其解析式為[y=a（x-3）（x+1）]，

又因?yàn)檫^點(diǎn)[C（0，6）]，所以[6=a（0-3）（0+1）]，可得[a=-2]，

所以所求二次函數(shù)的解析式為[y=-2（x-3）（x+1）]，即[y=-2x2+4x+6]。

在解答本題時，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象過點(diǎn)[A（3，0）]，[B（-1，0）]，所以便可設(shè)其解析式為[y=a（x-3）（x+1）]，而后將[C（0，6）]代入，可得二次函數(shù)的解析式為[y=-2x2+4x+6]。當(dāng)已知二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]與[x]軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為[A（x1，0）]，[B（x2，0）]時，此時便可將函數(shù)的解析式設(shè)為[y=a（x-x1）（x-x2）]。

二、考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的問題

二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)是考查的重點(diǎn)問題，常見的問題有二次函數(shù)的開口方向、對稱性、增減性、頂點(diǎn)坐標(biāo)等，而解答這些問題，則需要學(xué)生對二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行全面把握。

［例2］如圖1所示，二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象與[y]軸的交點(diǎn)在[（0，1）]與[（0，2）]之間，對稱軸為[x=-1]，函數(shù)最大值為[4]，則①[b=2a]；②[-34]；⑤[x<0]時，[y]隨[x]增加而減小。正確的有（）。

A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個

解析：因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為直線[x=-b2a=-1]，所以[b=2a]，①正確；

因?yàn)榻?jīng)過[（-1，4）]，故[a-b+c=-a+c=4]，則[a=c-4]，

因?yàn)榕c[y]軸的交點(diǎn)在[（0，1）]與[（0，2）]之間，所以[1

所以[-3

因?yàn)閽佄锞€與[y]軸有兩個交點(diǎn)，

所以[b2-4ac>0]，即[4ac-b2<0]，則③正確；

因?yàn)橐辉畏匠蘙ax2+bx+c=m-4（a≠0）]有兩個不等實(shí)數(shù)根，

所以[y=ax2+bx+c]與[y=m-4]有兩個交點(diǎn)，

因?yàn)轫旤c(diǎn)為[（-1，4）]，所以[m-4<4]，所以[m<8]，則④錯誤；

由圖象可得，當(dāng)[x<1]時，[y]隨[x]增加而增大，則⑤錯誤。故正確答案為B。

在本題中，結(jié)合二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的相關(guān)性質(zhì)及其圖象，根據(jù)開口方向、對稱軸、增減性等很容易對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷。

三、二次函數(shù)的應(yīng)用問題

二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用問題，也頻繁出現(xiàn)在試卷中。在實(shí)際的考題中，主要圍繞著圖形面積問題、拋物線模型問題、最大利潤問題等幾個方面進(jìn)行展開，而問題則主要圍繞求解函數(shù)表達(dá)式和最值。在解決問題的過程中，準(zhǔn)確根據(jù)二次函數(shù)基本概念和限制條件寫出解析表達(dá)式，是求解問題的基礎(chǔ)。

［例3］某度假村銷售土特產(chǎn)，若每份土特產(chǎn)的成本價為[100]元，在銷售階段發(fā)現(xiàn)，銷售量[S]與每份售價[t]呈一次函數(shù)關(guān)系，售價為[150]時，可售出[250]份，售價為[200]時，可售出[200]份，

（1）求[S]關(guān)于[t]的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)每份定價應(yīng)為多少時，利潤最大？為多少？

解析：（1）根據(jù)題意，設(shè)[S=at+b]，

由銷售量可得[250=150a+b，200=200a+b，]解得[a=-1，b=400，]

故[S]關(guān)于[t]的函數(shù)為[S=-t+400]。

（2）由題意可知，每份特產(chǎn)的利潤為[（t-100）]元，設(shè)每日銷售利潤為[G]元，則

[G=（t-100）（-t+400）=-t2+500t-40 000=-（t-250）2+22 500]

因?yàn)閇-1<0]，所以當(dāng)[t=250]時，[G]取最大值[22 500]，

故每份為[250]元時，每日利潤最大，為[22 500]元。

本題為利潤型問題，在解答這類問題時要重點(diǎn)關(guān)注最終的利潤，而計算最大利潤則需要準(zhǔn)確表達(dá)出單件商品的利潤，進(jìn)而與銷售量構(gòu)建函數(shù)表達(dá)式。

四、二次函數(shù)參數(shù)的取值問題

二次函數(shù)參數(shù)的取值問題，一般出現(xiàn)在選擇題中，常見的題型有求參數(shù)的取值范圍、求相關(guān)的代數(shù)式取值范圍等。對于這類問題，常用的解題方法有直接計算法、特殊值法、排除法等。在實(shí)際解題中，需要學(xué)生結(jié)合實(shí)際問題，選擇合適的解題方法，進(jìn)而有效解答問題。

［例4］關(guān)于[x]的一元二次方程[ax2+bx+12=0]有一個根是[-1]，若二次函數(shù)[y=ax2+bx+12]的圖象頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)[t=2a+b]，則[t]的取值范圍是（）。

A. [14

C. [-12≤t<12] D. [-1

解析：由題意可知，由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根，得[a-b+12=0]，所以[b=a+12]。

又由二次函數(shù)[y=ax2+bx+12]的圖象頂點(diǎn)在第一象限，可知[a<0]，[b=a+12>0]，解得[-12

因?yàn)閇t=2a+b=2a+a+12=3a+12]，

所以隨[a]增大[t]增大，所以[-1

本題為求與參數(shù)相關(guān)的代數(shù)式取值范圍的相關(guān)問題，運(yùn)用了直接法。即由[-1]是一元二次方程[ax2+bx+12=0]的根，得[b=a+12]；由二次函數(shù)[y=ax2+bx+12]的圖象頂點(diǎn)在第一象限，得[-12

五、二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)的最值問題作為重要考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在考題之中。常見的題型有確定二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)區(qū)間最值問題等。解答這類最值問題，需要學(xué)生有牢固的基礎(chǔ)知識，解題步驟主要是確定二次函數(shù)的解析式，而后對其進(jìn)行整理，確定函數(shù)的開口方向、對稱軸、區(qū)間內(nèi)的增減性等，最后進(jìn)行解題。

［例5］已知函數(shù)[y=x2-2x-3]在[a≤x≤a+2]范圍內(nèi)的最小值為[-2]，求[a]的值。

解析：函數(shù)[y=x2-2x-3]開口向上，對稱軸[-b2a=1]，分類討論有：

（1）當(dāng)[a+2≤1]時，此時[y]隨[x]的增大而減小，所以，[x=a+2]時[y]值最小為[-2]，則[-2=（a+2）2-2（a+2）-3]，

解得[a=2-1]或[a=-2-1]，

因?yàn)閇a+2≤1]，所以[a≤-1]，[a=2-1]不符合題意，所以[a=-2-1]。

（2）當(dāng)[a≥1]時，此時[y]隨[x]的增大而增大，所以，[x=a]時[y]值最小為[-2]，則[a2-2a-3=-2]，

解得[a=1+2]或[a=1-2]，

因?yàn)閇a≥1]，所以[a=1-2]不符合題意，舍去。

（3）當(dāng)[a<1≤a+2]或[a≤1

綜上所述，[a]的值為[-2-1]或[1+2]。

在解題中，因存在參數(shù)，所以需要進(jìn)行分類討論。當(dāng)[a+2≤1]時，此時[y]隨[x]的增大而減小，得[a=-2-1]；當(dāng)[a≥1]時，此時[y]隨[x]的增大而增大，得[a=1+2]；當(dāng)[a<1≤a+2]或[a≤1

六、二次函數(shù)的綜合題

二次函數(shù)的綜合題，是中考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題，這類題型具有一定的難度。面對這類題型，學(xué)生首先要讀懂題意，找出題中所有信息，挖掘隱含條件，明確答題目標(biāo)；其次需要確定解題思路，這個過程需要找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系及特殊圖形的性質(zhì)或判定方法等；最后需要進(jìn)行規(guī)范作答。

［例6］如圖2所示，拋物線[y=14x2-12x-2]與[x]軸交于[A、B]兩點(diǎn)（[A]在[B]左側(cè)），與[y]軸交于點(diǎn)[C]，拋物線對稱軸為[l]。

（1）求點(diǎn)[A、B、C]的坐標(biāo)；

（2）若[D]為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，作[DE⊥x]軸于點(diǎn)[E]，交直線[CB]延長線于點(diǎn)[F]，當(dāng)[OE=4DF]時，求四邊形[DOBF]的面積。

（3）在（2）條件下，若點(diǎn)[M]在拋物線上，點(diǎn)[N]在[l]上，點(diǎn)[B、D、M、N]為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)[M]坐標(biāo)。

解析：（1）當(dāng)[y=14x2-12x-2=0]時，解得[x1=-2]，[x2=4]，所以[A（-2，0）]，[B（4，0）]；

當(dāng)[x=0]時，[y=-2]，所以[C（0，-2）]。

（2）因?yàn)辄c(diǎn)[D]為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[d，14d2-12d-2（d>4）]，

因?yàn)閇DE⊥x]軸于點(diǎn)[E]，所以[OE=d]，[DE=14d2-12d-2]。

設(shè)直線[BC]的解析式為[y=kx-2]，將[B]點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得[4k-2=0]，解得[k=12]，

所以直線[BC]的解析式為[y=12x-2]，

因?yàn)閇DE]交[BC]于點(diǎn)[F]，所以[Fd，12d-2]，所以[DF=14d2-12d-2-12d-2=14d2-d]，

因?yàn)閇OE=4DF]，所以[d=414d2-d]，解得[d1=0]（舍去），[d2=5]，所以[D5，74]，[F5，12]，

所以[DE=74]，[EF=12]，[BE=OE-OB=5-4=1]，

則[S四邊形DOBF=S△OED-S△BEF=12OE·DE-12BE·EF=12×5×74-12×1×12=338]。

（3）因?yàn)閇A（-2，0）]，[B（4，0）]，所以對稱軸為直線[x=-2+42=1]，所以[xN=1]。

①如圖3所示，[BD]∥[MN]，四邊形[BMND]是平行四邊形，所以[DN]∥[BM]，[DN=BM]，所以[DN]向下平移[74]個單位，向左平移1個單位可得[BM]，所以[xM=xN-1=0]，所以M（0，-2）。

②如圖4所示，[BD]∥[MN]，四邊形[BMND]是平行四邊形，所以[DM]∥[BN]，[DM=BN]，所以[BN]向上平移[74]個單位，向右平移1個單位可得[DM]，所以[xM=xN+1=2]，M（2，-2）。

③因?yàn)橐訹BD]為對角線時，[BD]與[MN]互相平分，所以[BD]的中點(diǎn)與[MN]的中點(diǎn)相同，

所以[xB+xD2=xM+xN2，yB+yD2=yM+yN2，]

設(shè)[Mm，14m2-12m-2]，[N（1，n）]，

所以[m+1=4+5，14m2-12m-2+n=0+74，]

解得[m=8，n=-334，]

所以[M（8，10）]。

綜上所述，符合條件的點(diǎn)[M]坐標(biāo)為（0，-2）或（2，-2）或（8，10）。

本題中（1）、（2）問都較為簡單，（3）問中在確定了[B、D]坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，確定另外兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)。在直角三角形[DBE]中，可以找到點(diǎn)[D]到點(diǎn)[B]的平移方法，及四邊形邊[DN]的平移方法，由此可得點(diǎn)[M]的坐標(biāo)。

綜上所述，本文總結(jié)了二次函數(shù)的常見題型，分別為二次函數(shù)的解析式求解問題、考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的問題、二次函數(shù)的應(yīng)用問題、二次函數(shù)參數(shù)的取值問題、二次函數(shù)的最值問題及綜合題，并提出了相應(yīng)的解題策略。對于二次函數(shù)，學(xué)生需要在日常學(xué)習(xí)中重點(diǎn)去學(xué)習(xí)、掌握相關(guān)題型的解題方法，以提高解題效率。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 高艷.巧用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2023（5）：32-33.

［2］? 王世國.二次函數(shù)區(qū)間最值問題［J］.初中生輔導(dǎo)，2023（合刊3）：101-103.

［3］? 吳琨.壓軸主力：二次函數(shù)［J］.初中生世界，2022（47）：61-63.

［4］? 周立恒.如何利用二次函數(shù)求解最值問題［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2022（9）：23-25.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）