指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題的求解策略

周麗

［摘 要］指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在考試命題中常常被命制在同一道題目中，以考查考生的綜合應(yīng)用能力。文章結(jié)合幾個典型例題對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題的求解策略進(jìn)行分析探討，以幫助學(xué)生突破解題難點(diǎn)，拓寬學(xué)生的思維路徑，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；綜合題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）35-0014-03

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們之間有著緊密的聯(lián)系，在考試命題中常常被命制在同一道題目中，以考查考生的綜合應(yīng)用能力。面對這類題型，我們該如何破解呢？本文對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題的求解策略加以探究，以供大家參考。

一、數(shù)形結(jié)合策略

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線[y=x]對稱，當(dāng)其函數(shù)與它們的圖象相交時，比較有關(guān)數(shù)或者式子的大小可以一目了然。采用數(shù)形結(jié)合思想解答指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題的關(guān)鍵是找到容易作圖的函數(shù)。

［例1］已知正實(shí)數(shù)[a]、[b]、[c]滿足[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，則以下結(jié)論正確的是（）。

A. [b+log2a>4] B. [a+log2c>4]

C. [2b+c>4] D. [2c+log2b>4]

分析：由已知條件分析出[a]是函數(shù)[y=log2x]與[y=4-x]交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，[b]是函數(shù)[y=2x]與[y=4-x]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，[c]是函數(shù)[y=log2x]與[y=4-2x]交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出圖象，由圖象得出[1a>c]，利用不等式的性質(zhì)即可判斷出答案。

解：∵[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，∴[log2a=4-a]，[2b=4-b] ，[log2c=4-2c]，∴[a]是函數(shù)[y=log2x]與[y=4-x]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，[b]是函數(shù)[y=2x]與[y=4-x]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，[c]是函數(shù)[y=log2x]與[y=4-2x]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖1所示，則[1a>c]。

∵[a+log2a=4]，且[a>b] ，∴[b+log2a<4]，故A錯誤；∵[2c+log2c=4]，且[2c>a]，∴[a+log2c<4]，故B錯誤；∵[b+2b=4]，且[c>b]，∴[c+2b>4]，故C正確；∵[c>b>1]，∴[log2c>log2b]，又∵[2c+log2c=4]，∴[2c+log2b<4]，故D錯誤，故選C。

二、構(gòu)造函數(shù)策略

為了解決比較復(fù)雜的問題，往往需要先“修路建橋”。對于某些與對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的比較大小問題，當(dāng)應(yīng)用簡單的函數(shù)的單調(diào)性無法解決時，往往需要構(gòu)造新的函數(shù)，并研究和利用該函數(shù)的單調(diào)性。

［例2］已知[a]、[b]、[c]滿足[a=log5（2b+3b）]，[c=log3（5b-2b）]，則（）。

A. [a-c≥b-c]，[a-b≥b-c]

B. [a-c≥b-c]，[a-b≤b-c]

C. [a-c≤b-c]，[a-b≥b-c]

D. [a-c≤b-c]，[a-b≤b-c]

分析：構(gòu)造函數(shù)[f（x）=25x+35x]，利用其單調(diào)性，分[b>1]，[b=1]，[b<1]討論即可。

解：由題意得[5b-2b>0]，即[5b>2b]，則[0<25b<1]，則[b>0]。令[f（x）=25x+35x]， [f（1）=1]，根據(jù)“減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)”的結(jié)論可知[fx]在[R]上單調(diào)遞減，當(dāng)[b>1]時，可得[25b+35b<1]，∴[2b+3b<5b]，兩邊同取以5為底的對數(shù)，得[a=log5（2b+3b）3b]，兩邊同取以3為底的對數(shù)得[c=log3（5b-2b）>b]，所以[c>b>a]，[-b<-a]，所以[c-b0]，[c-a>0]。所以[a-c>b-c]，故C、D選項錯誤。

當(dāng) [b=2]時，[a=log513]，[c=log321]，[c-b=log321-2=log373∈12，1]，[b-a=2-log513=log52513∈0，12]，∴[c-b>b-a]，且[c-b>0]，[c-a>0]，故A錯誤。

下面嚴(yán)格證明當(dāng)[b>1]時，[0

根據(jù)函數(shù)[hx=53x-23x]在[R]上單調(diào)遞增，且[h（1）=1]，則當(dāng)[b>1]時，有[1<53b-23b]，[∵0<25b+35b<1]， [∴1<125b+35b]。

下面證明：[5b2b+3b<5b-2b3b]，[b>1]。要證[5b2b+3b<5b-2b3b]，即證[15b<（2b+3b）（5b-2b）]，等價于證明[4b+6b<10b]，即證[25b+35b<1]，此式開頭已證明。對[5b2b+3b<5b-2b3b]，左邊分子和分母同除以[5b]，右邊分子和分母同除以[3b]，得[125b+35b<53b-23b]，則[0

故當(dāng)[b>1]時，[01]，[∴2b+3b>5b]，兩邊同取以5為底的對數(shù)得[a=log5（2b+3b）>log55b=b]，對[2b+3b>5b]通過移項得[5b-2b<3b]，兩邊同取以3為底的對數(shù)得[c=log3（5b-2b）-a]，所以[c-b>c-a]，且[c-b<0]，[c-a<0]，故[0b-c]。

下面嚴(yán)格證明當(dāng)[0

當(dāng)[01]，則[b-a=log5125b+35b<0]，則[0<125b+35b<1]，根據(jù)函數(shù)[hx=53x-23x]在[R]上單調(diào)遞增，且[h（1）=1]，則當(dāng)[0

下面證明：[5b2b+3b>5b-2b3b（b<1）]。要證[5b2b+3b>5b-2b3b]，即證[15b>（2b+3b）（5b-2b）]，等價于證明[4b+6b>10b]，即證[25b+35b>1]，此式已證明。對[5b2b+3b>5b-2b3b]，左邊分子和分母同除以[5b]，右邊分子和分母同除以[3b]，得 [125b+35b>53b-23b]，則[c-b=log353b-23b

三、轉(zhuǎn)化策略

合理轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉，是數(shù)學(xué)解題的根本途徑。當(dāng)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題中出現(xiàn)不等式恒（能）成立，或已知方程解的情況求參數(shù)的取值范圍時，通常采用換元法，將其轉(zhuǎn)化成簡單函數(shù)的最值問題或簡單方程的根分布問題。

［例3］已知函數(shù)[f（x）=log4（4x+1）-log42x]，[g（x）=log4a·2x-1-23a]。

（1）若[?x1∈R]，對[? x2∈-1，1]，使得[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]成立，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍；

（2）若函數(shù)[f（x）]與[g（x）]的圖象有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍。

分析：（1）由已知[f（x）min≥m·2x2-4x2]，利用基本不等式求得[f（x）min=12]，可得出[m·2x2-4x2≤12]，令[p=2x2∈12，2]，分離參數(shù)可得[m≤12p+p]，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)[h（p）=p+12p]在[12，2]上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)[m]的取值范圍。

（2）令[t=2x>0]，分析可知關(guān)于[t]的方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，分[a=2]、[a<2]、[a>2]三種情況討論，當(dāng)[a=2]時，直接求出方程的根，驗(yàn)證即可。在[a<2]、[a>2]這兩種情況下，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)[a]的不等式組，綜合可解得實(shí)數(shù)[a]的取值范圍。

解：（1）[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]，即[f（x1）≥m·2x2-4x2]，若[?x1∈R]，使得[f（x1）+4x2-m·2x2≥0]成立，只需要[f（x1）min≥m·2x2-4x2]成立。因?yàn)閇f（x）=log4（4x+1）-log42x=log44x+12x=log42x+12x]，由基本不等式可得[2x+12x≥22x·12x=2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=0]時等號成立，所以[f（x）min=f（0）=log42=12]，則[m·2x2-4x2≤12]，因?yàn)閇x2∈-1，1]，令[p=2x2∈12，2]，分離參數(shù)可得[m≤12p+p]，令[h（p）=p+12p]，其中[p∈12，2]，任取[p1]、[p2∈12，2]且[p1h（p2）]，

當(dāng)[22≤p1

（2）由（1）可得[f（x）=log4（4x+1）-log42x=log44x+12x=log42x+12x]，由題意知，方程[log4（2x+2-x）=log4a·2x-1-23a]有且只有一個實(shí)根，即方程[2x+2-x=a·2x-1-23a]有且只有一個實(shí)根，令[t=2x>0]，則方程[t+1t=a2t-23a]有且只有一個正根，即方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，構(gòu)造函數(shù)[φ（t）=a2-1t2-23at-1]。

①當(dāng)[a=2]時，[φ（t）=-43t-1]，令[φ（t）=0]，解得[t=-34]，不合題意。

②當(dāng)[a<2]時，則[a2-1<0]，二次函數(shù)[φ（t）]的圖象開口向下，對稱軸為直線[t=2a3（a-2）]，[Δ=-23a2+4a2-1=49a2+2a-4=29（2a2+9a-18）=29（2a-3）（a+6）]，由于[φ（0）=-1<0]，要使得方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根，則[Δ=0，2a3（a-2）>0]，解得[a=-6]。

③當(dāng)[a>2]時，則[a2-1>0]，[Δ=29（2a-3）（a+6）>0]，設(shè)方程[a2-1t2-23at-1=0]的兩根分別為[t1]、[t2]，由韋達(dá)定理可得[t1t2=-2a-2<0]，滿足方程[a2-1t2-23at-1=0]有且只有一個正根。

綜上所述，實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[-6?（2，+∞）]。

從以上三個例子的分析不難看出，求解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題必須具體問題具體分析，把握住問題的本質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)、合理轉(zhuǎn)化、分類討論等策略進(jìn)行破解。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 王凱閱. 數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究［D］.大連：遼寧師范大學(xué)，2023.

［2］? 徐敏嘉.新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題教學(xué)實(shí)踐策略淺析［J］.延邊教育學(xué)院學(xué)報，2023（2）：154-158.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）