《勾股定理》教學(xué)設(shè)計

羅冬慧 廣東省東莞市松山湖北區(qū)學(xué)校

●創(chuàng)新整合點(diǎn)

本課采用智能平板教學(xué)模式，融合信息技術(shù)智慧教學(xué)平臺及嵌入的學(xué)生評價系統(tǒng)，展示在學(xué)科教學(xué)中的應(yīng)用。

在不同環(huán)節(jié)采用智慧平臺學(xué)生互動的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)探究，并對學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行展示，教師在一體機(jī)上可詳細(xì)清晰地看到全班學(xué)生完成情況與各題目的正確率，系統(tǒng)自動對學(xué)生的完成情況進(jìn)行后臺數(shù)據(jù)處理，教師可直接觀察到學(xué)生的答題集中趨勢，并針對易錯點(diǎn)進(jìn)行剖析，針對性地做到學(xué)生會的，教師少講，學(xué)生不會的重點(diǎn)講。

在授課過程中，通過智能平板，教師和學(xué)生一同進(jìn)行過程性評價，極大地促進(jìn)了教師的教與學(xué)生的學(xué)。

●教材分析

《勾股定理》是人教版八年級下冊第十七章第一課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的學(xué)習(xí)，它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解直角三角形的主要依據(jù)之一。學(xué)好本節(jié)課至關(guān)重要，能為逆定理的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。在許多的實(shí)際應(yīng)用中，勾股定理的身影幾乎無所不在，實(shí)際用途很大。教材在編寫時也注重了以下幾方面：培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和觀察分析問題的能力；通過實(shí)際分析、拼圖等活動，使學(xué)生獲得較為直觀的印象；通過聯(lián)系比較，理解勾股定理，以便于正確地進(jìn)行運(yùn)用。

●學(xué)情分析

針對八年級學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課按照以下設(shè)計思路展開教學(xué)：通過知識點(diǎn)打卡的方式帶領(lǐng)學(xué)生逐步深入認(rèn)識勾股定理，選用“引導(dǎo)探究式”教學(xué)方法，先由淺入深、由特殊到一般地提出問題。接著引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作，歸納驗(yàn)證，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”的教學(xué)理念。通過教師引導(dǎo)，學(xué)生動手、動腦，主動探索獲取新知，進(jìn)一步理解并運(yùn)用歸納猜想、由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題。同時，讓學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)任何知識的最好方法就是自己去探究。

●教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)及歷史背景，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法和拼圖法證明勾股定理，初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計算。

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷知識背景、實(shí)驗(yàn)探究、應(yīng)用體驗(yàn)和數(shù)學(xué)啟示四個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，發(fā)展合情合理的推理能力，溝通數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會“數(shù)形結(jié)合”和“特殊到一般”的思想方法。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：感受數(shù)學(xué)文化史，滲透數(shù)學(xué)之美、探究之趣。體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中探索和創(chuàng)造的樂趣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與信心，培養(yǎng)動手探究與合作意識。

●教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

學(xué)生人手一部交互式電子白板、平板電腦，教師端教師版平板，希沃軟件，眾人通智慧平臺和PPT課件，在教室里安裝有常態(tài)化攝錄播設(shè)備、智課終端系統(tǒng)、智慧物聯(lián)管控系統(tǒng)、光能黑板及教學(xué)一體機(jī)、全光網(wǎng)絡(luò)等基礎(chǔ)硬件，為實(shí)施個性化教學(xué)提供了技術(shù)支持與保障。

●教學(xué)過程

師：同學(xué)們，今天我們要一起攜手去探索一個非常偉大神奇的定理，通過屏幕大家也知道今天的主角就是勾股定理。大家看到屏幕左上角的這個動圖了嗎？看起來像一棵樹，沒錯，其實(shí)它就是用勾股定理的原理制作的勾股樹，學(xué)習(xí)了本節(jié)課，同學(xué)們就能深刻地體會到勾股定理的奧妙之處了。我們今天的旅程有4個打卡點(diǎn)。第一個打卡點(diǎn)是歷史背景站，一起去了解勾股定理的發(fā)展歷史；第二個打卡點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)探究站，了解定理的發(fā)現(xiàn)及證明；第三個打卡點(diǎn)是體驗(yàn)應(yīng)用站，一起感受勾股定理的實(shí)際作用；第四個打卡點(diǎn)是數(shù)學(xué)啟示站，領(lǐng)悟勾股定理帶給我們的啟示。

1.第一站：歷史背景站

以學(xué)生喜聞樂見的快閃方式開啟勾股之旅，介紹勾股定理的歷史背景和豐富的文化價值，調(diào)動學(xué)生對新知識學(xué)習(xí)的探究熱情，從而將注意力高度集中到接下來的打卡任務(wù)中。

設(shè)計意圖：本課的學(xué)習(xí)以打卡的方式創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)主線，設(shè)計了4個打卡站點(diǎn)，從介紹勾股定理的歷史到進(jìn)入實(shí)驗(yàn)探究站，再到體驗(yàn)應(yīng)用站，最后到數(shù)學(xué)啟示站，以學(xué)生喜聞樂見的方式開啟勾股之旅的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生探究新知識的欲望，為新單元的學(xué)習(xí)做一個良好的鋪墊。

2.第二站：實(shí)驗(yàn)探究站

以畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)地磚規(guī)律導(dǎo)入勾股定理發(fā)現(xiàn)的背景，從而在探究地磚圖案的規(guī)律中初步得出直角三角形三邊的規(guī)律。畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，相傳在2500年以前，他在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊的某種數(shù)量關(guān)系。請學(xué)生觀察圖1中的地面，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？

圖1

師：你能找出圖中研究面中正方形A、B、C面積之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生獨(dú)立觀察圖形，分析思考其中隱藏的規(guī)律，并直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)。

生：SA+SB=SC。

師：圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？

生：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

師：是否其余的直角三角形也有這個性質(zhì)呢？

在講解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)背景及從地磚規(guī)律中初步探究得出的等腰直角三角形的三邊關(guān)系后，通過兩個一般直角三角形三邊所圍成的正方形的面積的驗(yàn)證，探究直角三角形的三邊關(guān)系。

設(shè)計意圖：在網(wǎng)格背景下，通過觀察和分析等腰直角三角形的三邊關(guān)系，為接下來驗(yàn)證一般的直角三角形的三邊關(guān)系提供了典型特例。

在方格紙上，畫一個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的直角三角形，并分別以這個直角三角形的各邊為一邊向三角形外作正方形，思考以下問題：

三個正方形面積有何關(guān)系？

直角三角形三邊長有何關(guān)系？

依據(jù)活動一和活動二，請大膽提出你的猜想。

學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長的正方形的面積。學(xué)生分組交流，展示求面積的不同方法。最后觀察圖表數(shù)據(jù)，歸納出三個正方形面積的數(shù)量關(guān)系，再由面積轉(zhuǎn)化成直角三角形的三邊關(guān)系，得到勾股定理的表達(dá)式。

學(xué)生思考，教師播放實(shí)驗(yàn)視頻。

視頻啟示：通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果前提不是直角三角形的話，那么它是不能滿足勾股定理的表達(dá)式的，勾股定理是直角三角形的一個非常重要的性質(zhì)，在以后的學(xué)習(xí)中我們將會借助勾股定理解決許多實(shí)際問題。

本環(huán)節(jié)從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，并進(jìn)行初步的一般化。

學(xué)生歸納，得出命題：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么

設(shè)計意圖：在實(shí)驗(yàn)探究站中，通過分類討論的方法，探尋一般直角三角形的三邊關(guān)系，直觀地以實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得出勾股定理的表達(dá)式，為接下來的證明方法打下基礎(chǔ)。

利用拼圖法來驗(yàn)證勾股定理。教師鼓勵學(xué)生代表作示范演示，展示分割、拼接的過程。對比兩種不同的拼法，進(jìn)而滲透數(shù)形結(jié)合及方程的思想。

請用盡可能多的方法拼成一個正方形；

方法一：我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的證法，利用“趙爽弦圖”證明（如圖2）。

圖2

方法二：其他的拼法證明，如圖3所示。

圖3

師：你還有別的方法來驗(yàn)證這個結(jié)論嗎？（請把在小組合作報告中了解的方法與大家一起分享）

歸納總結(jié)：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

設(shè)計意圖：通過拼圖活動，調(diào)動學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，發(fā)展學(xué)生的形象思維；使學(xué)生對勾股定理的理解更加深刻，體會數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想。通過對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感。通過了解勾股定理的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

通過探究與證明，學(xué)生已能較好地掌握勾股定理的內(nèi)容，接著帶領(lǐng)學(xué)生前往發(fā)現(xiàn)站，參觀勾股定理的其他證明方法（播放視頻）。

3.第三站：體驗(yàn)應(yīng)用站

利用勾股定理的性質(zhì)解決與勾股定理相關(guān)的經(jīng)典問題。設(shè)計例題與習(xí)題一題多變的勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題型，由簡到難層層遞進(jìn)。

第一層：已知兩邊求第三邊。

設(shè)計意圖：在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應(yīng)用勾股定理求解，也可建立方程，滲透方程思想。

第二層：在原圖的基礎(chǔ)上加三個正方形，求出其中一個正方形的面積。

設(shè)計意圖：學(xué)生應(yīng)掌握三個正方形的面積關(guān)系，并能將正方形的面積關(guān)系和直角三角形三邊之間的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系。

第三層：把正方形變式為三個半圓，求證兩個小的半圓的面積和等于大半圓的面積。

設(shè)計意圖：利用勾股定理的性質(zhì)解決實(shí)際問題，明確勾股定理的應(yīng)用必須在直角三角形中，是兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

第四層：在第三層圖形的基礎(chǔ)上把大半圓翻折，求雙月牙的面積和與直角三角形的面積的數(shù)量關(guān)系，留給學(xué)生課后探究證明。引導(dǎo)學(xué)生從解決基礎(chǔ)的問題開始，逐漸提升解決高階問題的能力。關(guān)注學(xué)生的解題思路與書寫格式，鼓勵學(xué)生多思考、善發(fā)現(xiàn)，在解題的過程中滲透思想方法的教育。

設(shè)計意圖：利用轉(zhuǎn)化思想，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用勾股定理性質(zhì)建立等量關(guān)系從而解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維。

在體驗(yàn)應(yīng)用站打卡環(huán)節(jié)中，設(shè)計一題多變的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在不斷變化的問題情境中，抓住主要線索，層層突破，靈活運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解決實(shí)際問題。

4.第四站：數(shù)學(xué)啟示站

進(jìn)行勾股定理知識的課堂回顧及小結(jié)，升華學(xué)生對勾股定理的理性與感性認(rèn)識，滲透善于發(fā)現(xiàn)善于思考的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

利用路線圖回顧與總結(jié)本課所學(xué)，從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展歷史，再到驗(yàn)證與證明，與學(xué)生們一起總結(jié)歸納，提升認(rèn)識，學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容：勾股定理的內(nèi)容；驗(yàn)證勾股定理的方法；利用勾股定理已知兩邊，求第三邊；能利用轉(zhuǎn)化思想，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生感受到中國數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)美，感悟數(shù)形結(jié)合思想。從特殊到一般淋漓盡致地展示了數(shù)學(xué)的魅力，其中轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和方程思想更是提供了許多啟迪智慧的方法，對打開數(shù)學(xué)視野起到很好的促進(jìn)作用，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)啟示站中，不僅是知識的小結(jié)環(huán)節(jié)，更是思想方法滲透的重要環(huán)節(jié)，關(guān)鍵在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣，培養(yǎng)學(xué)生樂于思考善于探究的精神，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

●教學(xué)反思

本節(jié)課對勾股定理進(jìn)行了探索并利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理，通過“提出猜想—實(shí)驗(yàn)操作—?dú)w納驗(yàn)證—解決問題—課堂小結(jié)”五部分讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)生、形成和發(fā)展的過程，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，從而更好地理解勾股定理，應(yīng)用勾股定理，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。