問題視角下數學例題的變式設計及思考

吳靜

［摘? 要］ 要想發揮例題教學的功能，除了精選典型例題，還要進行例題變式的設計. 可從問題的視角看例題，把例題看作源問題，通過水平變式和垂直變式這兩類問題的變式結構分析并設計變式題，讓學生在不斷變式的過程中看清問題的本質，達到對問題結構的透徹理解，同時給出對水平變式和垂直變式的教學思考.

［關鍵詞］ 例題；問題；變式；教學思考

例題教學是數學課堂教學的重要組成部分. 在學生習得例題的基本方法后，教師應引導學生發掘例題的潛在因素，挖掘例題的教育功能. 在例題教學中，教師應通過變式將例題的條件、結論、情境、問題結構等進行延展變通，使學生進一步理解和掌握例題所闡述的概念、原理、規律，積累解決問題的經驗. 教師應讓學生洞察問題的深層結構，真正把例題研究透徹，進而通過遷移解決其他的問題，只有這樣，才能幫助學生走出“題海”，實現由知識立意向能力立意的轉換，培育學生的數學學科核心素養.

變式教學是一種傳統且經典的中國教學方式，中國數學教師關于變式教學的研究主要是立足教材談變式，從教材的例題出發編制變式題［1］. 顧泠沅教授認為，變式教學是促進有效的數學學習的中國方式. 所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化.即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但保留對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性.

在例題教學中，由于教學內容多、教學任務緊，部分教師只是簡單講講例題或者與學生一起做題. 這樣的教學，使得學生傾向于記憶某種方法和發展某項具體技能，不利于學生形成高層次的數學思維，而學生的學習也只是停留在淺層次，不能實現深度學習. 為實現由知識立意向能力立意的轉換，發展學生的數學學科核心素養，有必要對當前的例題教學加以研究. 下面筆者從問題的視角把例題作為源問題進行變式設計并加以研究.

從問題的視角看例題

在例題教學中，“例題”既可以選擇教材中的例題或習題，又可以選擇其他資料或出版物中的題目. 但到底應該怎樣選擇合適的題目作為例題呢？潘小梅老師認為應該選擇內容常出現、方法能遷移、思路可借鑒、具有生長性的題目. 從問題的視角看，每個例題都應該是一個好問題，每個問題都具有“表面內容”和“內在結構”兩重屬性. “表面內容”指問題呈現涉及的事件、背景、對象等的淺層特征；“內在結構”指涉及問題本質的概念、關系與原理等的深層特征. 如果把例題看作源問題，那么變式題就是由源問題變換而得的新問題. 源問題與新問題之間存在四種關系：①表面內容相同，內在結構相同；②表面內容不同，內在結構相同；③表面內容相同，內在結構不同；④表面內容不同，內在結構不同［2］. 像①②改變源問題的表面內容，不改變問題的內在結構的變式稱為水平變式，像③④改變了源問題的內在結構的變式稱為垂直變式. 在例題教學中，教師常常通過水平變式幫助學生認識問題的本質屬性；通過垂直變式發展原來的數學結構，建立新的數學結構，促進學生對問題結構的理解，深入探究問題生長的思維過程.

例題的變式設計分析

在蘇教版教材七年級下冊“10.3? 解二元一次方程組”的例題教學中，教師從問題的視角，將如下例題看作源問題，并通過水平變式和垂直變式設計變式題.

例題 籃球比賽規則規定：贏一場得2分，輸一場得1分.在中學生籃球聯賽中，某球隊賽了12場，共得20分.該球隊贏了幾場？輸了幾場？

解 設該球隊贏了x場，輸了y場.

分析 本例題是根據中學生籃球比賽這一生活實際，以應用題的形式展現出來的，通過設兩個未知數，求解二元一次方程組可以得出結論.例題作為源問題，它的表面內容是籃球比賽，輸贏的得分，比賽幾場，總得分，這些內容中的數字可以改變，對問題的本質影響不大. 內在結構的特征是贏一場的得分，輸一場的得分，比賽場次與輸贏幾場之間的關系，總得分與輸贏比賽的關系等.

變式1 某校積極推進“陽光體育”工程，本學期在九年級11個班級中開展籃球單循環比賽（每個班級與其他班級分別進行一場比賽，每個班級需進行10場比賽）． 比賽規則規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場得3分，負一場得1分． 如果某班級在所有的比賽中只得24分，那么該班級勝負場數分別是多少？

分析 變式1與源問題相比，只改變了比賽場次和得分，屬于水平變式①，即表面內容相同，內在結構相同.從遷移的角度來看，屬于源問題的近遷移題.

變式2 若x+y－12+（2x+y－20）2=0，求x，y的值.

變式3 若單項式2ax+yb20與－2a12b2x+y是同類項，求x，y的值.

分析 變式2、變式3與源問題相比，改變了問題的表面內容特征，但內在結構幾個變量之間的關系仍未改變，屬于水平變式②，即表面內容不同，內在結構相同. 從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

（1）甲隊聯賽積分為______；

（2）甲隊共打贏______場比賽.

變式5 寶應縣是江蘇省青少年足球訓練基地，每年都舉行全縣中小學生足球聯賽．比賽規則規定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分． 2022年的足球聯賽中某校足球隊參加了16場比賽，共得30分． 已知該足球隊只輸了2場，那么這個足球隊勝了幾場，平了幾場？

分析 變式4、變式5與源問題相比，沒改變問題的表面內容特征. 變式4給出了贏一場和輸一場的得分，給出了幾個變量之間的關系，去求比賽的場次和得分；變式5除了勝場次和負場次，還多了平場次，給出了幾個變量之間的關系，去求比賽勝和平的場次. 變式4、變式5的內在結構已經發生了變化，屬于垂直變式③，即表面內容相同，內在結構不同.從遷移的角度來看，屬于源問題的中遷移題.

變式6 某家居專營店用2730元購進A，B兩種新型玻璃保溫杯共60個，這兩種玻璃保溫杯的進價、標價如表1所示.

這兩種玻璃保溫杯各購進多少個？

變式7? 若關于x的一元一次方程（a+b-12）x=2a+b-20有無數多個解，試求a，b的值.

例題的變式設計思考

1. 對水平變式的教學思考

水平變式只改變問題的表面內容，不改變問題的內在結構.而問題的內在結構特征才是問題的核心. 水平變式雖然只是內在結構的不斷重復，但形式各異的水平變式仍有重要的教學價值. 在學生眼里，通過水平變式對源問題的重復，是源問題的再認識，是不斷鞏固和掌握源問題的過程. 在教學中通過水平變式問題的解決，可以幫助學生認識問題的本質屬性，突出問題的主要因素，發現問題的內在結構. 因此，水平變式的意義在于讓學生強化對問題的理解，形成問題解決的策略，發現問題的內在結構，看清問題的本質，并為過渡到垂直變式做好鋪墊.

水平變式雖然只是解題技能的簡單重復，但Marton變式學習理論認為：經驗不斷重復才能形成認知，第一次關注理論描述效度；當第二次經歷時，第一次所經歷的方面會被放大；第二次的經歷“豐富”并“加深”第一次經歷的各個方面［3］. 通過水平變式可以幫助學生形成基本活動經驗. 在反復的水平變式活動中，學生以往的經驗會發生變化，不斷積累新的活動經驗，再經過學生自我摸索和反思領悟，思維也會隨之而發展.

2. 對垂直變式的教學思考

當然，只有水平變式，而沒有垂直變式也不行，那樣數學學習只會停留在淺表層面. 只有垂直變式才能生成抽象化和深層次的數學理解.垂直變式改變了問題的內在結構，增加了新的認知元素，加大了問題區分的認知負荷. 垂直變式是問題結構的深層次加工，它不拘泥于問題的表面內容，提取了內在結構，形成變式題的“結構骨架”. 垂直變式的核心是數學深層結構的學習，它不斷增加認知負荷，逐漸驅動高階思維發展，由表層類比向結構類比轉化，增加對問題本質的深層理解，使數學學習由例題（起點）向垂直變式題（終點）過渡，由淺層學習走向深度學習，逐步發揮例題的深層教學價值.

3. 從遷移的角度來看變式題

從遷移的角度來看變式題，可以分為源問題的近遷移題、中遷移題和遠遷移題. 遷移量隨著近、中、遠遷移題而逐漸增加. 同時，變式題要根據學生的實際情況來設計，盡量讓變式的難度控制在學生的最近發展區之內. 若學生對于源問題的理解不夠，則需要設計近遷移題；若學生已經掌握了源問題，則需要設計中、遠遷移題. 另外，變式的“度”和“量”至關重要，如果變的“度”太小，變的“量”太多，學生就會陷入“題?！鄙顪Y. 而變的“度”太大，跳過學生的最近發展區，使學生不能理解，就會讓學生產生挫敗感，同樣達不到促進高階思維發展的目的. 總之，在進行問題變式設計時，教師應結合實際學情設計適度、適量的近、中、遠遷移題，促進學生掌握源問題、理解問題的深層結構，從而達到對問題的理解和知識的遷移的目的，真正實現從知識立意向能力立意轉變.

參考文獻：

［1］ 章建躍，王嶸. 中國數學教科書使用變式素材的途徑和方法［J］. 數學通報，2015，54（10）：1-8，48.

［2］ 喻平. 發展學生數學核心素養的教學與評價研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

［3］ 孫旭花，黃毅英，林智中，等. 問題變式：結構與功能的統一［J］. 課程·教材·教法，2006（05）：38-42.