基于“高認知發展”的教學實踐與思考

高楠

［摘? 要］ 設計高認知的學習任務能促進學生的高認知發展，從真正意義上調動學生學習的內驅力. 文章以“反比例函數圖象的不變性”教學為例，從“回顧舊知，導入新課”“適當留白，激發猜想”“鋪設臺階，激發探索欲”“循循善誘，慢中求穩”“自主探究，鞏固提升”五個方面展開教學設計和研究，并針對教學活動提出了一些教學思考.

［關鍵詞］ 高認知發展；反比例函數；本質

教學活動的開展應基于學生的生活經驗與認知水平. 這就需要教師充分了解學情，設置高認知的學習任務，以培養學生的洞察力，激發學生的探究欲，樹立學生的創新意識等，從真正意義上實現“淡化形式，注重知識本質”的教學目標，促進學生核心素養的發展.

本文以“反比例函數圖象的不變性”教學為例，具體從以下幾個方面談談基于高認知發展的教學實踐與思考.

教學分析

反比例函數是在研究函數概念與一次函數的基礎上，學生所接觸到的新的函數. 從設計思路的角度來看，反比例函數的圖象是分布在不同象限內的雙曲線，x，y的取值范圍都有一定的局限性，且反比例函數圖象的增減性、連續性、對稱性以及漸進特征都比一次函數復雜許多. 因此，基于一次函數研究反比例函數，學生很難從高認知發展的角度掌握知識本質.

鑒于此，教師常會緊扣“y=k/x（k為常數，且k≠0），其中x，y的乘積為一個定值”這個特點進行教學設計，但雙曲線除了這一個特點，是否存在其他不變的關系呢？帶著這個疑問，筆者基于學生的實際認知水平，有針對性地設計了“探究反比例函數圖象的不變性”的一節課，以期揭示知識本質.

教學簡錄

1. 回顧舊知，導入新課

師：大家還記得什么樣的函數為反比例函數嗎？

生1：y=k/x（k為常數，且k≠0）的函數為反比例函數.

師：很好！解析式y=k/x表達了x與y之間的反比例關系，我們還可以用什么式子表示這個關系？

生2：x·y=k（k為常數，且k≠0）.

師：也就是說不論x，y發生怎樣的變化，它們的乘積始終是一個常數. 大家想一想，之前我們接觸到的幾何問題中，是否有用兩個量的乘積來描述的幾何模型？

生3：有，如矩形的面積、三角形的面積等都是用兩個量的乘積來描述的.

師（借助幾何畫板，操作演示）：大家一起來看，圖中點P（x，y）為反比例函數y=100/x上的一個動點，若過點P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，求四邊形MONP的圖形特征與面積.

生4：四邊形MONP為一個面積為100的矩形.

師：你是如何確定它的面積是100的？

生4：我是根據矩形的面積公式得S=PM·PN=|x||y|=|k|=100.

簡簡單單的舊知回顧，輕輕松松的交流，教師順利地引入了教學主題. 以上對話反映出反比例函數的代數特征，運用幾何圖形進行解釋，可以給學生帶來更多的信息與價值.

2. 適當留白，激發猜想

師：我們所知道的雙曲線中，從雙曲線上一點，分別向x，y軸作垂線段，垂線段與坐標軸所圍成的矩形的面積不會發生變化，那么，是否還有其他不變的關系呢？

問題 如圖1所示，已知點P（x，y）為反比例函數y=100/x圖象外側的一點，若過點P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，并分別與雙曲線圖象在第一象限的一支交于點H，G，嘗試猜想直線GH和MN可能存在怎樣的特殊位置關系，并證明.

師生共同操作幾何畫板，如圖1所示，拖動點P，當點P的位置發生變化時，直線GH的位置也隨之改變. （給學生充足的時間觀察與思考）

看著幾何畫板的變化，不少學生自主利用雙手在空中比畫，聯想直線GH和MN的位置關系. 大部分學生通過分析猜想出這兩條直線為互相平行的關系. 此時，教師作出直線MN.

設計意圖 “留白”是繪畫重要的手法之一，數學課堂中適當留白，能為學生提供學習的空間，對培養學生的猜想能力、推理能力、空間觀念等有重要的促進作用.

3. 鋪設臺階，激發探索欲

當學生對GH∥MN的證明無從下手時，教師通過以下方式進行適當的點撥.

師：通過第一個探究活動，我們發現由拋物線上的一點向x（或y軸）作垂線段，拋物線上的這個點、坐標原點及所作垂線段的垂足三點所圍成的直角三角形的面積恒定為|k|/2，現在我們一起來觀察圖2，看看△NGM和△NHM的面積是否相等.

生5：這兩個三角形的面積是相等的關系，因為△NGM和△OGM是同底等高的，根據面積公式，它們的面積都是|k|/2. 同時可證，△NHM的面積也是|k|/2，因此△NGM和△NHM的面積是相等的.

師：非常好！這兩個三角形之間除了面積是相等的，還存在其他特殊關系嗎？

生6：這兩個三角形同底.

師：這個條件有什么作用呢？

（學生躍躍欲試，課堂達到了一個小高潮）

生7：這兩個三角形同底，面積也一樣，那么它們的高也是一樣的. 根據一組對邊平行且相等的條件，可確定四邊形BHGA為一個平行四邊形，由此可知MN∥GH.

評注 教師通過鋪設臺階，設計逐層遞進的問題吊足了學生的胃口，啟發了學生的思維，激發了學生的探索欲.

4. 循循善誘，慢中求穩

學生此時的探究熱情高漲，想要發表言論的學生很多，教師可在此時趁熱打鐵，提出高質量的問題，引發學生思考，促進學生高認知發展.

師：若想判定兩條直線是否為平行的關系，還有其他方法嗎？

生（眾）：可以從內錯角相等、同位角相等、同旁內角互補等來證明兩條直線為平行的關系.

師：觀察圖2，你們認為此題用什么來證明的可能性更大些？

生8：用同位角相等證明.

師：那么從什么角度來證明同位角相等呢？

生8：用全等三角形或相似三角形可證明同位角相等.

師：怎樣尋找全等三角形或相似三角形呢？

生8：圖2中找不到全等的關系，只能從相似的角度來探索，目前已經知道一組直角對應相等了……（該生邊說邊思考，此處停頓，教師沒有打斷他，其他學生也沉浸在思考中，兩分鐘后，該生肯定地提出意見）

生8：想要證明兩個三角形相似，這里找不到另一組角相等的關系，我們只能去尋找兩組邊分別成比例的條件了.

（教師給予肯定，點頭示意讓他繼續往下說，但該生欲言又止、猶猶豫豫）

師：現在我們都回到問題的原始條件來觀察、思考所有線段是如何構造出來的.

生8：其實最初就是存在雙曲線圖象外側任意點P（x，y），大部分線段的形成都源自點P.

師：從題目出發，根據點P（x，y），我們要探索三角形與矩形的面積不變，其中PM與PN的長度該怎么表達？

生8：根據點P的坐標，不難發現點M，N的坐標，那么點H，G的坐標也很容易得到，如此就能用x，y來表示四條線段的長度了，只要知道線段的長度，自然能斷定它們是否成比例.

師：非常棒！現在我們一起來把這道題的解題過程梳理一下，哪位同學愿意來表述？我來板書.

設計意圖 想要證明MN∥GH，有兩種證明方法，即分別從幾何關系著手或代數運算的角度分析. 本節課，關鍵在于緊扣圖形特征，從圖形關系與變化的角度進行分析. 當學生的思維卡殼時，教師并沒有著急點撥或換另一位學生表述，而是給予學生充足的時間去思考，通過循循善誘的方式啟發學生的思維，讓學生在“慢教育”中實現思維的成長.

此過程中直線平行的實質生成于坐標系中的反比例函數的圖象，因為問題的源頭為坐標系，所以從解析式的角度解決問題也是自然而然的事情. 雖說初中幾何更偏重證明過程，對于計算的要求較少，但絕非不計算. 在學生的探索過程中增加一些代數手法，不僅能拓寬學生的知識視野，還能為后續高中階段的解析幾何的學習夯實基礎.

5. 自主探究，鞏固提升

教師在幾何畫板上拖動點P（如圖3所示），要求學生觀察并思考圖中還有什么沒有發生變化.

生9：拖動點P后，△MGA≌△NBH.

師：哦？說說你的證明過程.

生9：借助生7所證明的MN∥GH，再加上AM∥HN，可確定四邊形MNHA是一個平行四邊形，因此MA=NH，同理可證GM=BN，根據“SAS”可確定△MGA≌△NBH.

師：很好！現在大家繼續觀察幾何畫板. （教師繼續拖動點P）線段AG與哪條線段始終相等？

生（眾）：AG與HB始終相等.

師：現在回過頭來想一想，本節課我們一共獲得了幾個不變的特性？

生10：3個，分別為面積不變、平行的關系沒有發生變化以及線段始終相等.

師：不錯！大家觀察圖4，作一條直線與雙曲線位于第一象限的一支有兩個交點，那么我們所獲得的三個不變性是否依然存在呢？

基于以上探究活動，學生快速尋找到了解決問題的辦法：如圖5所示作輔助線.

師：還可以從什么角度來嘗試？

生11：是不是可以從直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點的角度來思考？

師：哦？為你這個大膽的想法點贊. 請你來給大家說說這個想法.

生11到講臺上操作幾何畫板，拖動AD，大家都用期待的目光看著幾何畫板，等待結果的出現. 待操作完成，大家都被生11的想法所折服. 原來直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點時，那些不變的特性依然存在.

設計意圖 學生開始在教師的引導與點撥下，由淺入深地進入探究，隨著探究的深入，教師慢慢放手讓學生自主探究、交流與操作，整個課堂顯示出了濃郁的“探究味”與“求知欲”.

最后，師生一起回顧并梳理了本節課的教學重點與難點，并以思維導圖的方式將本節課的教學內容整理出來. 相信在今后很長一段時間內，師生都會對本節課的教學津津樂道. 這種教學方法不僅體現了知識與技能的教學，更重要的是對知識本質的揭露與學習能力的培養，對學生的高認知發展具有重要的意義.

教學思考

縱觀課堂教學流程，沒有華麗的辭藻，也沒有令人耳目一新的情境，只憑借一個幾何畫板與教師極少的點撥就將知識的本質完全暴露在學生面前，給人一種簡約卻又充滿內涵之感，且學生的思維空間充裕，彰顯了基于“高認知發展”的教學的優勢.

1. 把握知識本質

數學是反映事物間數量與空間關系的一門學科，其本質是對現實事物的思考、刻畫、描述、揭示等，數學學習的主要目的在于發現事物中所蘊含的數、形規律［1］. 本節課的教學核心是反比例函數在變化過程中哪些概念是恒定不變的，圍繞這個教學核心，能凸顯出反比例函數的本質.

教學中，學生在教師的引導下，發現了三個不變的特性：首先從數量關系中探尋反比例函數的第一個不變的特性——兩變量的積不變；其次帶領學生從幾何圖形的角度，探索雙曲線的第二個不變的特性——矩形面積不發生變化；由此促使學生自主發現：任意點P向兩坐標軸作垂線段，“兩垂足所在直線”與“垂線段和雙曲線形成的兩交點所在的直線”間的位置關系恒定不變，即第三個不變的特性.

這三個不變的特性從數量關系著手，貫穿整節課，教師通過步步為營，讓學生體驗了豐富的課堂所帶來的成就感，并在教師由淺入深的啟發下，開動腦筋，使得課堂充滿“探究味”，知識的本質也隨著學生的探究而水落石出.

2. 暴露思維過程

數學問題的解決一般都遵循著一定的規律，若能往問題的深層去挖掘，常能讓學生透過表面看到本質，從而獲得一定的感悟與體會. 本節課的成功之處在于充分展示了學生的思維過程，讓學生從反比例函數的概念出發，剖析k值的意義，自然而然地過渡到更深層次的探究.

教學中，“我們所知道的雙曲線中，矩形與直角三角形的面積不會發生變化，是否還有其他不變的關系或量呢？”這個問題成功地激起了學生的探究熱情，學生通過猜想、驗證等方式，發現數量和位置關系中存在不變特性. 學生的思維在教師的循循善誘下充分暴露了出來，整個教學過程學生自主探索，體現了學生學習的主動性.

3. 提煉數學思想方法

眾所周知，數學知識與思想方法是數學學習中強有力的支柱，數學思想方法的形成源自知識，而知識中又隱藏著豐富的數學思想方法，兩者為相輔相成的關系［2］. 本節課中，所有教學活動的開展都緊扣“面積不變”的主題，有效地滲透了數形結合思想，讓學生在教師循循善誘下感知解決問題的主要方法. 這種教學方法打破了常規例題教學的弊端，讓學生通過自主探究獲得了一定的解題能力.

總之，教師應注重教學理念的更新，通過巧妙的設計將課堂還給學生，同時潛移默化地滲透數學思想方法，讓學生在“數”與“形”的靈活轉化中理解知識的本質，促進認知的發展.

參考文獻：

［1］ 楊翠蓉，周成軍. 布魯納的“認知發現說”與建構主義學習理論的比較研究［J］. 蘇州教育學院學報，2004（02）：27-31.

［2］ 鄭毓信. 數學思維與數學方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.