整體建構(gòu)下的概念起始課單元教學(xué)嘗試

杭慧娟

［摘? 要］ 概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，要運(yùn)用整體建構(gòu)的方法來(lái)展現(xiàn). 在核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，以“一元二次方程”的概念起始課為例，基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷一個(gè)新概念的生成過(guò)程，形成對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)知識(shí)的探討意識(shí). 通過(guò)單元教學(xué)，整體搭建從未知到已知的認(rèn)知橋梁.

［關(guān)鍵詞］ 整體建構(gòu)；起始課；問(wèn)題串；單元教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出：數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用［1］. 這句話指出數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并且通過(guò)對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行抽象、概括共同屬性，從而得出各種數(shù)學(xué)概念與基本原理等.

課前思考

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生的已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，新知識(shí)的學(xué)習(xí)也不應(yīng)脫離學(xué)生已學(xué)的知識(shí). 數(shù)學(xué)教學(xué)要建立在數(shù)學(xué)單元的基礎(chǔ)上，運(yùn)用整體建構(gòu)的方法來(lái)展現(xiàn)，概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，采用的方法亦如此. 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)新概念的方法：從問(wèn)題情境中生成，從認(rèn)知沖突中產(chǎn)生.

概念起始課需要搭建起新知與舊知間的橋梁，使新知的產(chǎn)生不突兀，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將新知與舊知聯(lián)系起來(lái)，并將新知?dú)w類到舊知的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中.

“一元二次方程”（第1課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生通過(guò)情境回顧舊知，得到已經(jīng)學(xué)過(guò)的兩類方程：一元一次方程和二元一次方程，再?gòu)膯?wèn)題情境中列舉出新的方程，通過(guò)與舊知的對(duì)比，抽象概括出一元二次方程的概念. 學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、一般形式、特殊形式，從而掌握從“一般”到“特殊”的學(xué)習(xí)方法. 學(xué)生經(jīng)歷一元二次方程的產(chǎn)生過(guò)程，明白數(shù)學(xué)來(lái)源于生活.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)過(guò)的舊知“一元一次方程”“二元一次方程（組）”的研究方法，進(jìn)而梳理出一元二次方程的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí). 這一過(guò)程彰顯了知識(shí)的整體性，讓學(xué)生的了解數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性、連貫性和系統(tǒng)性，更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn).

教學(xué)片段及分析

環(huán)節(jié)1? 情境引入，復(fù)習(xí)舊知

問(wèn)題1：老師家孩子的游戲區(qū)域需要圍一個(gè)長(zhǎng)方形的護(hù)欄，如果這個(gè)長(zhǎng)方形護(hù)欄的長(zhǎng)（x米）比寬多0.5米，周長(zhǎng)為7米，你能列方程求出它的長(zhǎng)與寬嗎？

生1：根據(jù)題目信息可列出方程1，2（x+x-0.5）=7.

問(wèn)題2：如果這個(gè)長(zhǎng)方形護(hù)欄的長(zhǎng)（x米）與寬（y米）的關(guān)系不清楚，只知道周長(zhǎng)為7，你能列方程表示出它的長(zhǎng)與寬的關(guān)系嗎？

生2：根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式可列出方程2，2x+2y=7.

追問(wèn)1：上面列出的方程，我們都學(xué)過(guò)沒(méi)有？它們分別是什么方程？

生3：方程1和方程2分別是學(xué)過(guò)的一元一次方程和二元一次方程.

追問(wèn)2：除了上面的一元一次方程和二元一次方程，我們還學(xué)過(guò)什么方程？

生4：還學(xué)過(guò)分式方程.

追問(wèn)3：你是怎么區(qū)分分式方程與整式方程的？

生5：通過(guò)看分母有沒(méi)有未知數(shù)來(lái)區(qū)分.

追問(wèn)4：對(duì)于整式方程中的一元一次方程，你是通過(guò)什么來(lái)判斷的？

（學(xué)生通過(guò)交流討論得出：一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)x，并且未知數(shù)的次數(shù)是1次的整式方程）

環(huán)節(jié)2 類比舊知，引出新知

問(wèn)題1：根據(jù)下列問(wèn)題，自主探索，列出關(guān)于x的方程.

（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和為25，求正方形的邊長(zhǎng)x.

生6：4x2=25.

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x.

生7：x（x-2）=100.

（3）把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)度與木條全長(zhǎng)的積等于較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)度的平方，求較短一段的長(zhǎng)x.

師：你能根據(jù)題意列出方程嗎？

生8：x·1=（1-x）2.

問(wèn)題2：觀察以上列出的方程，它們還是我們學(xué)過(guò)的方程嗎？

追問(wèn)：上面的方程我們能化簡(jiǎn)成等號(hào)右邊為0的形式嗎？

（化簡(jiǎn)后得到4x²-25=0，x²-2x-100=0，x²-3x+1=0）

問(wèn)題3：化簡(jiǎn)后，這些方程與我們學(xué)過(guò)的方程有何相同之處和不同之處？

生9：這3個(gè)方程都是整式方程，都只有一個(gè)未知數(shù)x，且未知數(shù)x的次數(shù)不再是1次.

問(wèn)題4：類比學(xué)過(guò)的一元一次方程，你覺(jué)得這個(gè)方程應(yīng)該如何命名？

（學(xué)生通過(guò)討論給這樣的方程命名為一元二次方程）

追問(wèn)1：為什么叫一元二次方程？什么是“元”？“次”是指什么？

生10：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的個(gè)數(shù)就是“元”，“次”是指未知數(shù)的次數(shù).

追問(wèn)2：每一個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是2次嗎？

生10：不是，方程4x²-25=0中未知數(shù)的次數(shù)是2次，方程x²-2x-100=0與方程x²-3x+1=0中未知數(shù)的次數(shù)既有1次又有2次.

追問(wèn)3：那如何完善，得出一元二次方程的概念呢？

（由此問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生討論交流，歸納定義）

環(huán)節(jié)3 歸納抽象，深化概念

問(wèn)題1：一元一次方程的一般形式是怎樣的？

生11：用字母a，b表示常數(shù)，一元一次方程的一般形式是ax+b=0，其中a不等于0.

問(wèn)題2：觀察上述一元二次方程，我們能得出一元二次方程的一般形式嗎？

生12：一元二次方程的一般形式可以表示為ax²+bx+c=0，其中a，b，c都是常數(shù)，且a≠0.

追問(wèn)1：你能指出方程中的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是什么嗎？二次項(xiàng)的系數(shù)和一次項(xiàng)的系數(shù)又分別是什么？

追問(wèn)2：方程4x²-25=0的二次項(xiàng)系數(shù)是多少？一次項(xiàng)系數(shù)是多少？常數(shù)項(xiàng)是什么？

追問(wèn)3：由此你覺(jué)得a，b，c的取值有什么特點(diǎn)？你能舉出特殊的一元二次方程嗎？

（通過(guò)以上連續(xù)三個(gè)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生合作交流，鞏固學(xué)生對(duì)概念的理解和應(yīng)用）

環(huán)節(jié)4 單元展望，明確方向

問(wèn)題1：我們是如何研究一元一次方程的？我們經(jīng)歷了怎樣的研究過(guò)程？

生13：我們研究一元一次方程的思維過(guò)程為，實(shí)際問(wèn)題→一元一次方程概念→解方程→應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題.

問(wèn)題2：你覺(jué)得我們要如何研究一元二次方程？你是怎么想到的？

（通過(guò)類比一元一次方程的研究方法和思維過(guò)程，學(xué)生很快就將一元一次方程的研究方法和思維過(guò)程遷移到一元二次方程的研究上來(lái)，得出和一元一次方程相同的研究方法和思維過(guò)程）

本節(jié)課的設(shè)計(jì)價(jià)值

1. 數(shù)學(xué)概念從情境中生成，從認(rèn)知沖突中產(chǎn)生

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，也是學(xué)生進(jìn)行各類思維活動(dòng)的載體.本次一元二次方程的概念教學(xué)采取了概念形成和概念同化同時(shí)進(jìn)行的方式. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，并在問(wèn)題的解決中產(chǎn)生與已有知識(shí)相沖突但又有關(guān)聯(lián)的新知識(shí)，順利搭建認(rèn)識(shí)新概念的“腳手架”. 讓學(xué)生通過(guò)對(duì)一元一次方程的觀察，歸納出其本質(zhì)屬性，從而得到一元二次方程的概念. 這樣的教學(xué)，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能構(gòu)建起學(xué)生的認(rèn)知體系，使概念的產(chǎn)生更加自然，同時(shí)也把概念的本質(zhì)屬性推廣到同類事物中去，從而得到概念的外延. 這樣的概念教學(xué)也符合章建躍博士指出的“概念教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程”［2］．

2. 類比學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識(shí)的橫縱向體系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比. 把一元二次方程的研究與一元一次方程的學(xué)習(xí)經(jīng)歷放在一起對(duì)比教學(xué)，體現(xiàn)了整體性的數(shù)學(xué)思維方式，使學(xué)生能思考方程與方程系統(tǒng)中的局部各類方程之間的關(guān)系，以及內(nèi)在結(jié)構(gòu)和研究方法的共同之處，從而更深入地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延.學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念后，主動(dòng)將該概念歸納到方程的系統(tǒng)中，使知識(shí)自成體系. 而類比學(xué)過(guò)的方程（組）來(lái)認(rèn)識(shí)一元二次方程的學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)就是概念同化．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要“構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考”［2］，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的．

3. 從課時(shí)到單元，發(fā)揮概念起始課的整體建構(gòu)功能

除了在知識(shí)的內(nèi)容層面上，不隔絕開(kāi)與舊知的關(guān)聯(lián)，使新舊知識(shí)連貫整體，這節(jié)課還注重讓學(xué)生在概念的始課上明確后續(xù)的大致學(xué)習(xí)內(nèi)容. 當(dāng)學(xué)生心中有了學(xué)習(xí)的框架結(jié)構(gòu)，后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容就會(huì)變得更加自然和必要. 一般，概念起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)與一般課程設(shè)計(jì)不同，它具有承前啟后的作用，既要讓學(xué)生看到新知產(chǎn)生的必然性，又要預(yù)見(jiàn)到新知如何發(fā)展，以及它的整體建構(gòu)功能. 學(xué)完一元二次方程的起始課后，學(xué)生還要在這節(jié)課預(yù)見(jiàn)后面要接著探究的學(xué)習(xí)內(nèi)容：如何解一元二次方程，以及一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. 這樣從課時(shí)到單元的教學(xué)設(shè)計(jì)方式，讓這節(jié)概念起始課不僅“有血有肉，更有骨”.

4. 基于一般觀念，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)數(shù)學(xué)

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)理念提出后，我們一線教師都在思考，如何教學(xué)才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)樣核心素養(yǎng). 比如，在教學(xué)中不僅教會(huì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)，還教會(huì)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，如何分析問(wèn)題，如何通過(guò)歸類與分析得出同類知識(shí)的屬性，以及在研究問(wèn)題的過(guò)程中，使用了什么樣的思維方式和思想方法. 在本次教學(xué)設(shè)計(jì)中，師生共同經(jīng)歷了一元二次方程這個(gè)知識(shí)發(fā)生的全過(guò)程（如圖1）.

在經(jīng)歷這個(gè)全過(guò)程的學(xué)習(xí)后，學(xué)生建構(gòu)了對(duì)整個(gè)單元學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)路徑和學(xué)習(xí)方法的整體性認(rèn)識(shí)，不僅知道學(xué)什么，還知道為什么學(xué)、怎么學(xué)、怎么用，通過(guò)滲透一般問(wèn)題的研究方法，真正發(fā)展了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

5. 設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考

教師在理解教材、理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上［3］，站在整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的高度，設(shè)計(jì)問(wèn)題串. 教師應(yīng)始終從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，有效設(shè)計(jì)由淺入深、由表及里的疑問(wèn)和追問(wèn)，啟發(fā)性地引導(dǎo)學(xué)生自主思考. 在問(wèn)題串的引領(lǐng)下，學(xué)生始終參與其中，成為探究學(xué)習(xí)的主角，主動(dòng)概括和表達(dá)數(shù)學(xué)概念. 在富有靈氣的探討式的追問(wèn)下，學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題的產(chǎn)生與發(fā)展，極大地激發(fā)了學(xué)生的探究欲望. 問(wèn)題串的設(shè)計(jì)富有整體性和邏輯性，從復(fù)習(xí)回顧到新知產(chǎn)生，從抽象概括到說(shuō)理論證，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］ 章建躍. 章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］ 杜育林. 整體把握 精心設(shè)計(jì)：以一元二次方程的概念教學(xué)為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（32）：15-17.