一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法

秦秋霞，梁仲月，徐 毅

(大連民族大學 a.計算機科學與工程學院；b.理學院 預科教育學院，遼寧 大連 116650)

隨著醫療水平高速發展，人口老齡化的急劇增長。醫學圖像信息得到大范圍的使用，面對海量、冗余度高的醫學圖像信息，尋找更加安全、有效的醫學圖像信息加密算法是十分重要的[1-3]。為了保證醫學圖像信息傳輸的安全性，防止出現個人、相關機構及國家醫療信息的泄露，本文提出了一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法，通過使用多輪加密的方式，實現了醫學圖像的加密，提高了醫學圖像加密算法的安全性和魯棒性。

混沌系統一般指的是一種非常復雜、并且不能依據初始狀態用來預測將來狀態的具有很大隨機性的系統[4-5]。同時，混沌系統敏感性的特征十分符合加密算法的要求，適用于擴散和置亂過程。紀等人[6]提出了一種基于混沌的新型艦船安全圖像加密算法，使用混沌置亂實現置亂操作，提高加密安全性；喬等人[7]為了解決傳統加密步驟繁瑣的問題，提出了一種基于二維Logistic混沌系統的圖像加密算法，使用混沌序列改變像素值的位置，該算法加密效果良好；張等人[8]提出了結合S盒與混沌映射的圖像加密算法，使用二維Logistic映射和Chen混沌系統生成的混沌序列參與置亂、擴散過程，提高了加密效果；杜等人[9]提出了基于混沌壓縮感知和DNA編碼的多圖像加密算法，混沌系統使用Lorenz超混沌系統和Chen超混沌系統，產生隨機性更強的混沌序列，實現了一次一密的加密方式。從仿真結果和安全性分析結果可以看出，將混沌系統引入圖像加密算法可以使得加密效果更加優越，加密算法的隨機性和健壯性更有保證。

本文使用的混沌映射是PWLCM混沌映射，PWLCM混沌映射是一種分段線性混沌映射，它具有良好的遍歷性和很少的周期窗口等特點[10-12]。混沌現象是發生在確定系統中的不確定行為。使用分段線性混沌映射可以實現醫學圖像中穩定狀態和不穩定狀態之間的轉換。PWLCM混沌映射的初值敏感性符合加密算法的擴散操作，而隨機特性符合加密算法的置亂操作，因此分段線性混沌系統十分符合加密算法的要求。由于PWLCM混沌映射在加密算法中具有較高的應用效果，因此本文將其引入到醫學圖像加密算法中。

醫學圖像加密算法不僅可以對普通圖像進行加密，還可以對醫學圖像進行加密。醫學圖像加密需要盡可能的保證加密過程的安全性，保護病患的隱私信息；另外，還需要保證解密后的得到的圖像可以達到醫生診斷的正常需求。依據上述問題以及分析，本文提出了一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法。本算法采用四輪加密的方式，增強算法的安全性，使用分段線性混沌映射參與每一輪的置亂和擴散過程，提高算法的隨機性。每一輪的置亂過程都采取隨機數插入的方式進行，擴散過程采用按位異或的方式來實現，每一輪結束后進行矩陣旋轉然后再繼續進行下一輪加密。當四輪加密結束后，得到加密圖像，完成整個加密過程。

本文剩余章節的結構如下：第一部分主要介紹本算法使用的基本理論；第二部分介紹加、解密算法的流程和詳細步驟；第三部分給出加密算法的仿真實驗和安全性分析結果；第四部分給出結論。

1 基本原理

本章主要介紹本文用到的分段線性混沌映射，醫學圖像相關原理。

1.1 分段線性混沌映射

分段線性混沌映射(PWLCM)是一種常見的分段混沌映射。由于其具有周期窗口小、遍歷性好、生成混沌序列分布均勻等特性，研究人員將其應用于圖像加密領域[10-11,13]。PWLCM混沌映射定義如下：

(1)

式中：x是系統參數；r是控制參數，x∈(0,1)。當r∈(0,0.5)時，系統處于混沌狀態。PWLCM混沌映射具有一致的變量分布和較好的遍歷性，可以提供滿足加密算法隨機性的隨機序列，并且簡單容易實現，適合用于圖像加密領域。

1.2 醫學圖像

醫學圖像是醫護人員進行醫療診斷工作的主要參考數據之一，它是通過醫療器材獲取的人體某一部位的圖像信息[14-15]。醫學圖像信息能夠直觀地反映人體某一部位是否存在病變，而且醫學圖像在不同的場景下應用時對圖像分辨率有著不同的要求。當醫生使用醫學圖像用來判斷病人的身體狀況時，此時要求醫學圖像必須具有高分辨率；當醫學圖像用于病歷分析時，可以容忍醫學圖像存在一定程度的損失壓縮，以達到節省存儲空間的作用。但不論哪種情況，在使用醫學圖像時，必須保證醫學圖像具有較高的分辨率，并且在傳輸過程中要做到足夠的安全性，以避免病人隱私的泄露。在臨床應用中，醫學圖像主要有為X-射線圖像、CT、核磁共振成像等類型[16-17]如圖1。

a) Brain b) Chest c) Tibial

2 加解密算法

本文提出了一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法。首先，對原始圖像進行隨機數的插入。其次，使用分段線性混沌映射替換圖像矩陣的像素值，實現置亂操作。然后，將替換后的矩陣與未進行替換前的矩陣進行按位異或操作，實現像素值的改變。最后，將第一輪結束后的矩陣逆時針旋轉90度，繼續進行下一輪加密操作，經過四輪加密后生成加密圖像，加密結束。多輪加密和分段線性映射的使用確保加密算法的安全性，可用于醫學圖像加密。具體的加密步驟如2.1～2.3節所示。加密流程圖如圖2。

圖2 加密流程圖

2.1 隨機數插入

在原始圖像P中插入一列隨機值，為后續替換和擴散操作做準備，具體如下：

第一步：讀取原始圖像P，原始圖像的長是M，寬是N。

第二步：采用雙層循環的方式生成隨機數插入后的矩陣R，R的大小是M×(N+1)。其中，R矩陣的第1列元素是通過隨機數函數randi()生成的，其他列的元素是原始圖像的各個像素值。具體如下：

(2)

其中，randi()函數用于生成均勻分布的偽隨機整數。

2.2 第一輪加密

本加密算法總共采用四輪加密，每一輪加密都是類似的，下面以第一輪加密為例進行詳細的介紹。首先，對隨機數插入后的矩陣R使用分段線性映射進行替換操作，然后將替換后的矩陣進行按位異或操作，最后將得到的矩陣進行矩陣的旋轉，繼續進行下一輪的加密，直到第四輪加密結束，完成加密。

2.2.1 替換操作

整個替換過程分為兩個部分，先對第1列的元素進行替換，再對其他元素進行替換，替換完成后，生成x1矩陣。具體如下：

第一步：對隨機數插入后生成的R矩陣的第1列進行替換操作。對于R矩陣的第1列，第1行對應的元素，分段線性混沌映射使用已知的控制變量r0，初值x0生成的隨機值將R矩陣的元素進行替換，作為x1矩陣的第1列，第1行的元素。

第二步：對于矩陣R的第1列的其他元素(i,j)，分段線性混沌映射將已知的r0作為控制參數，生成的x1(i-1,1)作為初值，生成隨機值將R矩陣的元素進行替換。

第三步：對于矩陣R的第1列之外的元素(i,j)，分段線性混沌映射將r1作為控制參數，x1(i,j-1)作為初值生成隨機值用來替代R矩陣中的元素。具體如下：

(3)

其中，pwlcm()函數是分段線性混沌映射函數。

2.2.2 擴散操作

將替換操作后生成的x1矩陣與未進行替換前生成的R矩陣進行按位異或操作，實現像素值的改變，具體如下：

第一步：將2.2.1節生成的x1矩陣進行處理，讓其值保持在[0,255]之間，以便進行按位異或操作，具體如下：

x=floor(mod(x1(i,j)×1015,256));

i=1,2,…,M;

j=1,2,…,N+1;

(4)

其中，floor()是向下取整函數，mod()是取余函數。

第二步：將x矩陣、R矩陣進行按位異或操作，生成大小為M×(N+1)的矩陣B。具體如下：

B(i,j)=B(i,j-1)⊕R(i,j)⊕x;

i=1,2,…,M;

j=2,…,N+1;

(5)

其中，⊕是按位異或操作。

2.3 加密算法

具體的加密步驟如下：

(1)原始圖像P插入隨機數生成矩陣R，提高了置亂和擴散的效果。如2.1節所示。

(2)分段線性混沌映射使用不同的控制參數和初值生成隨機數，使用隨機數將矩陣R對應的各個元素進行替換，生成矩陣x1。如2.2.1節所示。

(3)將x1矩陣以及R矩陣進行按位異或操作，生成矩陣B，實現擴散過程。如2.2.2節所示。

(4)將矩陣B以逆時針的方式旋轉90度，繼續進行第二輪加密過程，每一輪與上述的(1)、(2)、(3)步類似。

(5)當第四輪加密結束后，生成加密圖像C，完成加密過程。

2.4 解密算法

解密算法是加密算法的逆過程，所以不再進行詳細的介紹。在加密算法的每輪加密過程中，先進行隨機數插入，其次進行混沌值替換，然后進行按位異或擴散，最后進行逆時針旋轉90度操作。在解密算法中，要注意各個操作的順序，以及各個操作對應的逆操作的準確性，加解密算法對于各種操作都特別敏感，存在一點錯誤都是無法正確解密的。

3 安全性分析

使用個人電腦對三組不同形狀、不同類型的的醫學圖像以及一組普通圖像進行加密、解密仿真實驗。具體環境：win10系統，MATLAB R2020a軟件。其中，本實驗中使用的具體的加密密鑰見表1。675×901像素的Brain醫學圖像的原圖、加密圖以及解密圖如圖3。256×256像素的Chest醫學圖像的原圖、加密圖以及解密圖如圖4。512×512像素的Tibial醫學圖像的原圖、加密圖以及解密圖如圖5。512×512大小的Lena圖像的原圖、加密圖以及解密圖如圖6。

表1 密鑰表

a) Brain原圖 b) Brain密圖 c) Brain解密圖圖3 Brain醫學圖像的加密、解密效果

a) Chest原圖 b) Chest密圖 c) Chest解密圖圖4 Chest醫學圖像的加密、解密效果

a) Tibial原圖 b) Tibial密圖 c) Tibial解密圖圖5 Tibial醫學圖像的加密、解密效果

b) Lena原圖 b) Lena密圖 c) Lena解密圖圖6 Lena圖的加密、解密效果

通過圖3～6可以看出，本加密算法不僅能對醫學圖像進行加密、解密，而且也能夠對普通圖像進行加密、解密。從實驗效果可以看出，使用本加密算法不管是醫學圖像、還是普通圖像得到的加密圖是完全不同于原始圖像的，絲毫看不出原始圖像的任何痕跡，說明加密算法能夠達到隱藏原始圖像信息的目的。通過原始圖像和解密圖像的效果來看，從肉眼上看不出兩者之間有任何區別，說明從直觀上可以分析出本算法能夠完全滿足解密效果。

3.1 密鑰空間

通常，當加密算法的密鑰長度大于2100，就能夠抵抗窮舉攻擊[18-19]。本文提出的算法中，安全性是由四輪加密保障的。每一輪加密所使用的密鑰都是PWLCM混沌映射[10-11]給定的的初值和控制參數。

從密鑰表中可以看出，一共有6個密鑰值。每一個密鑰值在計算機中都是64位，可以表示成具有15位有效數字的十進制數，所以本加密算法的密鑰空間是(1015)6=1090，該密鑰空間遠遠大于2100[20]，所以說明本算法可以有效抵抗暴力攻擊，保證算法的安全性。

3.2 信息熵

信息熵是用來表征隨機性的。信息熵可以作為衡量像素分布隨機性的標準，信息熵的值越大，說明隨機性越強[21-22]。它的數學表達式定義如下：

(6)

式中：m表示圖像；H(m)表示該圖像計算得出的信息熵；mi表示圖像m的第i個灰度值；P(mi)表示mi出現的概率；L表示圖像m的灰度級。當圖像的灰度級為8時，圖像的最大信息熵值為8，也就是理想的隨機圖像的信息熵為8[23]。

醫學圖像Chest的原圖的信息熵和經過加密算法后得到密圖的信息熵情況，另外還展示了本算法與幾個最新算法的信息熵的對比情況，具體如見表2。

表2 原圖、密圖信息熵對比表

通過表2可以看出，原始圖像的信息熵值與理想值8[26]相差較大，說明隨機性比較低。而經過本加密算法得到的信息熵值為7.997 4，與理想值十分接近，說明經過本算法得到的加密圖像隨機性很強，抗攻擊的能力也強，說明本加密算法的性能比較好。同時為了更加客觀的說明本算法的信息熵值，對比了現有文獻的信息熵值，對比結果說明本算法的信息熵值優于現有算法的信息熵值，進一步說明本算法能夠達到現有算法的安全級別。

3.3 相關性

原始圖像相鄰像素間存在非常高的相關性，可以通過一個像素就能反映出相鄰像素的信息[27]。所以對于圖像加密來說最重要的是破壞相鄰像素間這種強相關性，進而提高抵抗統計攻擊能力。為了驗證加密算法可以打破原始圖像相鄰像素之間的相關性，并且擁有抵抗統計攻擊的能力，通過以下公式計算相關性：

(7)

(8)

(9)

式中：x和y都是圖像的相鄰像素值；rxy是計算得出的相鄰像素點的相關性系數；E(x)是期望值；D(x)是方差。加密算法應該有效減低圖像相關性，理想情況下，加密圖的相關性為0[28]。本實驗對Chest醫學圖像的原圖、加密圖、解密圖分別隨機選取1000對相鄰像素進行相關系系數計算，另外與最新算法的相關性系數進行對比，具體情況見表3。

從表3可以看出，原圖的三個方向的相關系系數都較大，說明相關性特性明顯，被統計性攻擊破解的風險極大。經過加密后得到的加密圖的三個方向的相關系系數接近于0，也就是說明加密圖的像素值之間幾乎不存在關系。本算法與最新算法的相關性比較，通過數值看出相關性基本上低于最新算法的相關性。因此，可以看出本加密算法降低圖像相關性的能力較強。

表3 原圖、密圖相關性系數對比表

另外，本實驗還通過觀察圖像的相關性散點圖的方式展示相關性情況。其中，Chest原圖的水平、垂直、對角線方向的相關性情況如圖7。 Chest加密圖的水平、垂直、對角線方向的相關性情況如圖8。

a) 原圖水平 b) 原圖垂直 c) 原圖對角線圖7 原圖相關性散點圖

a) 密圖水平 b) 密圖垂直 c) 密圖對角線圖8 密圖相關性散點圖

通過原圖和密圖的相關性散點圖可以看出，原圖的大多數相鄰像素對集中分布在對角線或者對角線兩側的范圍內，而經過本算法加密后的相鄰像素對能夠均勻、隨機地分布在整個坐標系的范圍內，說明本加密算法能夠有效打破明文像素間的強相關性，并且能夠有效的抵抗統計攻擊。

3.4 直方圖

一般像素的直方圖可以反映出像素值的分布情況[9,30]，攻擊者通過對像素值進行分析即可破解圖像。本小節得到的測試圖像加、解密的灰度直方圖如圖 9。中直方圖的橫坐標用來表示其灰度值，縱坐標用來表示像素的個數。

a) 原圖直方圖 b) 密圖直方圖 c) 解密圖直方圖圖9 原圖、密圖、解密圖的直方圖分布

從圖9可以看出，原圖像素灰度值出現的概率非常不均勻，最多的出現次數高達9 000多次，而最少的幾乎為0,這就說明圖像的安全性非常弱，是很容易被攻擊者分析出圖像特點的。而經過本算法加密后得到的加密圖像直方圖變得非常均勻，從而可以有效的防止出現原始圖像信息的泄露，進而有效的抵抗統計攻擊。

3.5 魯棒性分析

本算法對醫學圖像進行加密，除了需要保證加密效果良好，還需要有一定的魯棒性。魯棒性包括抵抗噪聲攻擊的能力，裁剪攻擊的能力等[25,31]。本實驗以先對加密圖進行一定程度的椒鹽噪聲干擾，然后再進行解密的方式，分析本算法抵抗噪聲攻擊的能力。對Chest加密圖像分別進行0.000 5、0.005以及0.05的椒鹽噪聲干擾，然后進行解密過程得到解密圖像，具體如圖10。

a) 0.000 5噪聲 b) 0.005噪聲 c) 0.05噪聲圖10 不同程度椒鹽噪聲后生成的解密圖

從圖10可以看出，經過不同程度的椒鹽噪聲污染后生成的解密圖雖然清晰度受到了一定程度的干擾，但是仍然看出圖像的有效信息，說明本算法抵抗噪聲攻擊能力較強，具有一定的魯棒性。

4 結 語

本文提出了一種基于分段線性混沌映射的醫學圖像加密算法。該算法采用四輪加密的方式，確保加密算法的有效性和安全性。每一輪加密中，首先原始圖像進行隨機數插入，其次使用分段線性混沌映射進行像素值的替換，然后對生成矩陣以及替換前的矩陣進行按位異或操作，改變像素值的大小，最后將矩陣逆時針旋轉進行下一輪加密，持續進行四輪加密，得到加密圖像。從仿真實驗和安全性分析結果可以看出，該算法不僅可以對醫學圖像進行加密而且可以對普通圖像進行加密，與目前算法相比安全性能更高，并且具有一定的魯棒性，適合用于醫學圖像加密。