分段加權函數的Nitsche條件

王 利 鑫

(西華師范大學 數學與信息學院， 四川 南充 637002)

0 引言

本文是在二維圓環之間的能量最小同胚映射h:Α→Α*的基礎上，研究最小的λ-Dirichlet能量曲線的Nitsche條件，在這里

Α={z∈:r<|z|

且

0

Α*={z*∈:r*<|z*|

且

0

定義λ-Dirichlet能量為

(1)

當λ=1時,記為D[h]，其中

(2)

為線性微分映射Df的算子范數，加權函數λ(z,h)為一個可測函數，寫作

λ(z,h)=λ(|z|)，

且

0<λ(t)<∞，t∈(r,R).

近些年來，Nitsche現象的相關問題[1-2]以及圓環變形的相關問題[3-4]成了許多學者關注的熱點,學者們開始對圓環上的Nitsche現象進行了探討[2,5].由于圓環的旋轉對稱性，可知Dirichlet能量最小變形是徑向映射，因此在本文中我們只討論徑向最小映射H ，

則式(1)可化簡為以下的線積分，

(3)

稱式(3)為H 的λ-調和能量.其中

(4)

其中H∈W1,2(r,R)?[r,R],這里W1,2(r,R)表示Sobolev空間.特別地， H在閉區間[a,b]內是絕對連續的，故 H有固定端點值

H(r)=r*，H(R)=R*.

(5)

1 回顧

在正式證明前，我們先回顧幾個定義及定理.

定義1[6-7]對于任意給定的區間(a,b)?[r,R]，函數H∈W1,2(a,b)?[a,b]，若H在區間(a,b)內幾乎處處滿足拉格朗日-歐拉方程(簡稱λ調和方程)

(6)

則H稱為λ調和曲線，簡稱λ曲線.其中W1,2(a,b)?[a,b]表明H在閉區間[a,b]內是連續的，因此由式(6)可知上升函數

(7)

一般來說，能量最小的函數不需要滿足同胚這個條件，因為在達到能量最小化序列時，函數就已經失去了它的單葉性，在非線性彈性數學模型中，這種現象被稱為物質的相互滲透[8-9].然而，能量最小的函數一般都包含在同胚性W1,2閉區間中，而同胚性W1,2閉區間恰好由幾乎處處都具有非負導數的函數組成.因此我們有如下定義.

定理2[1](Nitsche定理)函數h:A(r，R)→A*(r*,R*)是調和同胚映射當且僅當

(8)

2 主要結果及其證明

在Iwaniec等[5]關于加權Dirichlet能量的Nitsche現象的文……