一類非線性矩陣方程組的Hermite正定解

熊 昊， 黃敬頻*， 黃玉蓮

(1.廣西民族大學 數學與物理學院, 廣西 南寧 530006; 2.西南石油大學 理學院， 四川 成都 610500)

0 引言

本文研究一類非線性矩陣方程組

(1)

的Hermite正定解, 其中0

事實上, 方程組(1)是離散時間代數Riccati方程特殊情形的推廣:

X=H*XH+Q-(F*XH+A)*
(R+D*XD)-1(F*XH+A),

(2)

當H=0,R=I時, 方程(2)退化為X=Q-A*(I+D*XD)-1A.由Woodbury矩陣等式[1]得

X=Q-A*[I-D*(X-1+DD*)-1D]A=
Q-A*A+A*[I+D-1X-1(D*)-1]-1A,

令Q=M+A*A,B=(D*)-1, 此時方程(2)等價于方程組(1)當s=t=1,N=I的情況, 此類非線性矩陣方程在控制理論、動態規劃、隨機過濾等領域具有廣泛應用[2-5].

為討論方便, 文中正定解指Hermite正定解.Cm×n表示全體m×n復矩陣集合,M>0(M≥0)表示M是正定(半正定)矩陣,M>N(M≥N)表示M-N是正定(半正定)矩陣,A*表示A的共軛轉置矩陣,λ1(A)、λn(A)分別表示矩陣A的最大、最小特征值, ‖A‖表示矩陣A的譜范數.

1 方程組(1)的可解性

本節主要討論方程組(1)正定解的一些性質.

引理1[6]如果A>B>0(A≥B>0), 則當α∈(0,1]時,Aα>Bα>0(Aα≥Bα>0); 當α∈[-1,0)時, 0

引理2[6]若0<θ≤1,P,Q都是同階Hermite正定矩陣且滿足P,Q≥αI>0, 則有

‖Pθ-Qθ‖≤θαθ-1‖P-Q‖,
‖P-θ-Q-θ‖≤θα-θ-1‖P-Q‖.

定理1若γ,η分別為系數矩陣A,B的特征值, 則方程組(1)的正定解滿足如下關系式：

證明設u是矩陣A的一個特征值γ對應的單位特征向量, 即Au=γu且|u|=1.

〈Xu,u〉-〈(A*Y-sA)u,u〉=〈Mu,u〉,
〈Xu,u〉-〈Mu,u〉=〈Y-sAu,Au〉,
〈(X-M)u,u〉=|γ|2〈Y-su,u〉.

并且

[λn(X)-λ1(M)]I≤X-M≤[λ1(X)-λn(M)]I,

那么

[λn(X)-λ1(M)]·[λn(Y)]s≤|γ|2≤
[λ1(X)-λn(M)]·[λ1(Y)]s,

因此

同理可得

證畢.

定理2方程組(1)存在正定解(X,Y), 則滿足

M≤X≤M+A*N-sA,

N≤Y≤N+B*M-tB.

證明定義復合映射F(X)=M+A*[G(YX)]-sA,G(YX)=N+B*X-tB,Ω1=[M,M+A*N-sA].

顯然F(X)在非空閉凸集Ω1上連續. 那么

N+B*(M+A*N-sA)-tB≤G(YX)≤

N+B*M-tB,

則有

M+A*[N+B*M-tB]-sA≤F(X)≤M+
A*[N+B*(M+A*N-sA)-tB]-sA,

易知

M≤F(X)≤M+A*N-sA,

所以F(Ω1)?Ω1,再定義復合映射H(Y)=N+B*[I(XY)]-tB,I(XY)=M+A*Y-sA,Ω2=[N,N+B*M-tB],同理可得H(Ω2)?Ω2, 由Brouwer不動點定理知, 方程組(1)必存在一個正定解(X,Y).假設(X,Y)是方程組(1)的正定解, 顯然

X≥M,Y≥N,A*Y-sA≥0,

B*X-tB≥0.

根據引理1知A*Y-sA≤A*N-sA, 于是

M≤X=M+A*Y-sA≤M+A*N-sA.

同理可得

N≤Y=N+B*X-tB≤N+B*M-tB.

證畢.

定理3若取η0=λ1(N)+λ1(B*B)·[λn(M)]-t,β0=λ1(M)+λ1(A*A)·[λn(N)]-s,α0=λn(M),γ0=λn(N), 并定義數列{αk},{ηk},{γk},{βk}如下:

(3)

則序列{αkI},{ηkI},{γkI},{βkI}均收斂. 若記

則αI≤X≤βI,γI≤Y≤ηI, 其中(X,Y)是方程組(1)的正定解.

證明方程組(1)正定解的存在性已由定理2給出, 下面先證明{αkI},{ηkI},{γkI},{βkI}均為單調序列, 由(3)式及0<α0≤β0,0<γ0≤η0，有

并且

假設?k∈N+，有αk-1≤αk,βk≤βk-1,γk-1≤γk,ηk≤ηk-1, 則

(4)

由歸納法知, {αk},{γk}是單調遞增數列, {ηk},{βk}是單調遞減數列.

再證?k∈N，有

(5……