與二次函數(shù)相關(guān)的最值問題求解策略

甘肅省甘谷縣西關(guān)中學(xué)

王彩蘭

對(duì)于與二次函數(shù)相關(guān)的線段最值問題的考查，往往涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：其一是兩點(diǎn)之間線段最短；其二是垂線段最短；其三是三角形三邊關(guān)系等內(nèi)容.如何針對(duì)這一考點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“動(dòng)”和“定”之間的關(guān)系進(jìn)行思考研究，處理問題中運(yùn)動(dòng)變化關(guān)系與幾何元素的位置、數(shù)量關(guān)系，提升學(xué)生的解題能力和識(shí)別能力，從而落實(shí)相關(guān)的探究活動(dòng)過程，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求？本文中結(jié)合常見的幾種類型作簡(jiǎn)單的說明.

1 求動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值：建立二次函數(shù)

例1如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC=3，頂點(diǎn)為D．在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，求線段PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

圖2

圖3

如圖2，我們可以過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F.根據(jù)直線AC的解析式判斷其與x軸的夾角，從而確定PF與PH的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)P在二次函數(shù)上，可以直接寫出線段PF的函數(shù)關(guān)系式，建立二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求解最值，問題得到解決.

再如：如圖3，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，-3)．若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH垂直x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值.

這道題可以根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)與較小的縱坐標(biāo)的差，可得二次函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

2 求動(dòng)點(diǎn)與其他兩定點(diǎn)組成的三角形周長(zhǎng)的最值：建立“將軍飲馬”模型

例2如圖4，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(-3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，-3)．在其對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)P，使得△BCP的周長(zhǎng)最小，試求周長(zhǎng)的最小值和點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖4

圖5

要使△BCP的周長(zhǎng)最小，因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C固定，BC為定長(zhǎng)，則只要PB+PC最小即可．如圖5，由于點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而連接AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則PA+PC=PB+PC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得PB+PC的最小值，故可求△ABP周長(zhǎng)的最小值．本題在處理三角形周長(zhǎng)最小值的過程中，將PB+PC轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”模型進(jìn)行研究，從而將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問題即可得到解決.

圖6

3 求動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的最值：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題

圖7

例3如圖7，已知拋物線過點(diǎn)O(0，0)，A(5，5)，且它的對(duì)稱軸為x=2．點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，8)，若P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA-PB的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及PA-PB的最大值．

圖8

如何探求其差最大呢？我們

不妨建立新的圖形進(jìn)行研究.如圖8所示，連接AB并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)P，任取一點(diǎn)P′，連接AP′，BP′，在△ABP′中，根據(jù)三角形的性質(zhì)，兩邊之差小于第三邊，即AP′-BP′

對(duì)于例3,運(yùn)用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式為y=-x+10，當(dāng)PA-PB的值最大時(shí)，點(diǎn)A，B，P在同一條直線上，聯(lián)立方程組求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得AB，即PA-PB的最大值．

4 “一定兩動(dòng)”三角形面積的最值：定底求高轉(zhuǎn)化為線段最值

此類問題往往考查“拋物線上是否存在一動(dòng)點(diǎn)，使之與一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”，這類問題我們也可以簡(jiǎn)稱為“一定兩動(dòng)”求面積最值問題.解答過程中可以先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長(zhǎng)度，然后利用拋物線上動(dòng)點(diǎn)到該線段的距離確定最大值，之后再利用三角形的面積公式即可確定其最大值，在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意的點(diǎn).當(dāng)然也可以將所求三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，根據(jù)切割后三角形的底和高的情況進(jìn)行求解，這種方法常常會(huì)通過二次函數(shù)表示，根據(jù)二次函數(shù)最值求解即可得到.

圖9

例4如圖9，二次函數(shù)y=-x2+3x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B(4，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于點(diǎn)C．在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得它與B，C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

圖10

5 “兩定兩動(dòng)”四邊形面積的最值：轉(zhuǎn)化為三角形求解

圖11

例5如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過A(5，0)，B(4，4)．在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使以O(shè)，A，B，M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

根據(jù)題意可知，以O(shè)，A，B，M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，如圖12，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則四邊形面積即最大.求出另一個(gè)三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值即可.顯然，本題中四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形，因點(diǎn)M的位置不確定，故可根據(jù)情況進(jìn)行分類討論：當(dāng)0

圖12

圖13

根據(jù)上述內(nèi)容，我們可以在探究幾何模型過程中挖掘求線段最值問題圖形的本質(zhì)，再結(jié)合相關(guān)內(nèi)容涉及到的最基本的原理、法則，將多種問題轉(zhuǎn)化為同一類問題來解答，實(shí)現(xiàn)方法、思路歸一的結(jié)果.同時(shí)在計(jì)算過程中引導(dǎo)學(xué)生感悟化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合及函數(shù)、方程建模的應(yīng)用，從而將各種方法靈活運(yùn)用于問題探究過程中.