理解概念本質(zhì) 重構(gòu)知識認(rèn)知*
——從“圓周角”不同教學(xué)設(shè)計談幾何定理教學(xué)

無錫市東絳實驗學(xué)校

薛 鶯

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》指出：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好幾何概念、定理的基礎(chǔ)上掌握圖形規(guī)律，并著重培養(yǎng)學(xué)生的用圖能力.”由此可見，幾何定理不僅是獲取圖形信息的工具，而且是彰顯數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，更是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的良好素材．因此，幾何定理的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要課型．基于此，無錫市陳鋒數(shù)學(xué)名師工作室對蘇科版九年級上冊“圓周角”一課展開了同堂異構(gòu)活動，兩位成員對幾何定理的教學(xué)進行了一次有益的嘗試和深入的研討．

1 “圓周角”教學(xué)內(nèi)容的說明

蘇科版教材中本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容包括了圓周角的概念、圓周角的性質(zhì)定理及其推論．對于初三學(xué)生來說，圓周角的概念直觀且易于理解，故本節(jié)課的重點放在圓周角的性質(zhì)定理及其推論的探究和證明上．因此，本節(jié)課重點是幾何定理的教學(xué)；而性質(zhì)定理中對圓周角的分類是學(xué)生的難點．

2 “圓周角”同堂異構(gòu)的設(shè)計展示

2.1 第一位教師的教學(xué)設(shè)計

(1)情境創(chuàng)設(shè)，引出概念(略)

(2)動手操作，探索定理

①操作并探索：

(ⅰ)畫60°的圓心角∠BOC；

(ⅱ)作出弧BC所對的圓周角∠BAC．

②觀察并思考：

(ⅰ)弧BC所對的圓周角∠BAC唯一嗎？

(ⅱ)這樣的圓周角∠BAC可以作多少個？

(ⅲ)這些圓周角有什么共同的特點？

(ⅳ)這些圓周角和它所對的圓心角有怎樣的關(guān)系？

③演示并歸納：

(ⅰ)教師利用幾何畫板對學(xué)生的觀察結(jié)果分三種情況(圓心O在∠BAC的一邊上、圓心O在∠BAC的內(nèi)部、圓心O在∠BAC的外部)進行驗證．

(ⅱ)歸納：同弧所對的圓周角有無數(shù)個且都相等，都等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半．

設(shè)計意圖：先讓學(xué)生親自動手畫圖、觀察思考、實驗探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師再利用幾何畫板從動態(tài)的角度進行演示、驗證，目的是引導(dǎo)學(xué)生用運動變化的觀點來研究問題，初步體會兩種數(shù)量關(guān)系：①同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系；②同弧所對的圓周角的關(guān)系．

(3)訓(xùn)練提高，拓展能力(略)

(4)交流體會，課堂總結(jié)

①學(xué)生歸納：談?wù)n堂學(xué)習(xí)收獲和體會．

②教師總結(jié)：本課知識點的梳理和探究過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法歸納．

設(shè)計意圖：通過課堂總結(jié)幫助學(xué)生歸納、梳理本節(jié)的知識、技能、方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納、概括能力，使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

2.2 第二位教師的教學(xué)設(shè)計

(1)建構(gòu)圓周角概念

①復(fù)習(xí)圓心角概念：展示圖片，回顧圓心角概念．

②遷移圓周角概念：移動圓心角頂點的位置至與⊙O相交，概括圓周角概念．

(2)探究圓周角定理

活動1:操作.

①看——觀察圓周角圖片．

②畫——在⊙O中畫出劣弧BC所對的圓心角和圓周角∠BAC．

③量——讓學(xué)生使用量角器測量圓周角、圓心角的度數(shù)．

活動2:猜想.猜想劣弧BC所對的圓心角和圓周角的關(guān)系.

活動3:驗證.引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)下列問題分類畫圖，再通過證明驗證猜想．

①在平面內(nèi)，可以畫出幾種圓心角與圓周角的位置關(guān)系，請嘗試．

②在圓中任意確定一條弧，作出這條弧所對的圓心角和三個不同位置的圓周角.

③你能證明這三種情況下猜想都成立嗎?

活動4:總結(jié).圓周角定理——一條弧所對的圓周角等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等．

活動5:拓展延伸.將圓心角的頂點繼續(xù)移動，移到⊙O內(nèi)或⊙O外，讓學(xué)生觀察并度量，有學(xué)生會進一步發(fā)現(xiàn)角的度數(shù)和頂點的位置有關(guān)，讓學(xué)生思考，并作出一般化的猜想．

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作觀察、動手度量、歸納猜想等基本數(shù)學(xué)活動，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實；再通過細(xì)致的分析、完整的分類討論進行驗證，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)密性．把直觀操作與邏輯推理有機結(jié)合，使將要進行的推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的延續(xù)．

(3)運用圓周角定理(略)

(4)反思圓周角的學(xué)習(xí)

反思①：你是怎樣發(fā)現(xiàn)圓周角的?它與圓心的位置關(guān)系又是怎樣發(fā)現(xiàn)的?對此有何啟發(fā)?

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用運動變化的觀點來研究圖形之間的位置關(guān)系．

反思②：證明圓周角定理時,為何會想到圓心角?對此有何聯(lián)想?

設(shè)計意圖：啟發(fā)學(xué)生善于聯(lián)想,注意化歸思想的應(yīng)用．

反思③：圓周角定理的證明過程是怎樣的?對此有何啟發(fā)?

設(shè)計意圖：強化特殊到一般的化歸思想及分類思想．

反思④：師生共同從知識、方法、數(shù)學(xué)思想等方面小結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．

設(shè)計意圖：“回頭看”和“回頭想”，使課堂教學(xué)前后呼應(yīng)，讓學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)無處不在．

3 對幾何定理教學(xué)的維度思考

3.1 維度一：聯(lián)系與拓展結(jié)合，理解定理本質(zhì)

幾何定理教學(xué)，不僅是幾何圖形顯性表征的探究和幾何圖形特征的理解，也是幾何定理的運用和拓展，或是幾何定理的發(fā)展和演變的教學(xué)．這樣可以將幾何定理的顯性特征和隱形本質(zhì)更好地凸顯出來[1]．本節(jié)課中第一位教師是通過讓學(xué)生自己畫出同一條弧所對的圓周角(圓周角定理的基本模型)，再通過問題串引領(lǐng)學(xué)生利用幾何直觀，觀察概括這些模型的共同特點，從中抽象概括出這一幾何(圓周角)定理的本質(zhì)；第二位教師的設(shè)計很巧妙，通過角的頂點位置的移動完成了一系列探究過程，更突出了幾何定理的聯(lián)系與拓展，不僅為學(xué)生提供了直觀的感性模型，幫助學(xué)生從實例中去理解抽象的圓周角定理的本質(zhì)，而且從變化的角度對圓周角定理進行了有益的拓展和延伸，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和揭示其中蘊涵的數(shù)學(xué)原理，這樣的設(shè)計就更勝一籌．從定理拓展的角度來看，第二位教師甚至可以提出：在優(yōu)弧BC上再取一些點，將該點與B，C連接，然后進行觀察、猜想和驗證，學(xué)生的思維由此拓展開來，更容易理解圓周角性質(zhì)定理的本質(zhì)．因此，在幾何定理探索過程中，教師應(yīng)該多關(guān)注以下兩個方面：①幾何定理的基本性，即構(gòu)成該幾何定理的基本元素和基本特征之間的聯(lián)系；②幾何定理的拓展性，即該定理在整個幾何體系中處在前后有發(fā)展、輻射、貫穿效能的節(jié)點.結(jié)合這兩個方面給出一些幾何定理的例證、變式和拓展等探索實踐活動，這樣，不僅能為學(xué)生搭建一個感性認(rèn)識的平臺，而且還可引發(fā)學(xué)生對幾何定理的一些本質(zhì)屬性和內(nèi)涵規(guī)律更深層次的思考．

3.2 維度二：直觀與思考結(jié)合，深化定理內(nèi)涵

數(shù)學(xué)家克萊因曾說：“數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、定理、證明的直接把握.”直觀即借助經(jīng)驗、觀察、聯(lián)想，對事物關(guān)系產(chǎn)生的直接感知；而幾何直觀是借助見到或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知，即通過直觀能建立起對自身體驗和外物體驗的對應(yīng)關(guān)系.從這個意義上說，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解幾何定理．僅靠幾何直觀，確實可以讓學(xué)生對幾何定理有一個感性的認(rèn)知，但是要進一步地深化幾何定理的內(nèi)涵，真正讓學(xué)生建立幾何定理的感知、理解、掌握、體悟和觀念，還必須輔以理性的思考，讓學(xué)生對幾何定理的認(rèn)識，真正實現(xiàn)從感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的升華[2]．本節(jié)課對圓周角定理的探究中，第一位教師先通過動手畫指定弧所對的圓周角，再通過圖形直觀得到圓周角的特點，最后用幾何畫板驗證，這一設(shè)計不僅帶著明顯讓學(xué)生易于得到圓周角定理而設(shè)計的痕跡，而且看似嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知過程還只是停留在直觀的感性認(rèn)識層面，沒能促成學(xué)生對圓周角定理深層次的思考．因此，這一設(shè)計，從理性思維的角度來看是有所欠缺的．第二位教師的設(shè)計則是先通過操作(畫和量)、猜想，再利用分類畫圖，最后利用完整的推理證明驗證了猜想．這一系列手腦并用的過程，不僅讓學(xué)生的幾何直觀能力有了一定的提升，而且讓學(xué)生的理性思維得到了加強，讓學(xué)生的邏輯思維更為嚴(yán)密，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)對幾何定理從形象思維認(rèn)知向抽象邏輯思維認(rèn)知的跨越．

3.3 維度三：思想與方法結(jié)合，拓展定理外延

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定了數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，通過數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)學(xué)生如何去思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．對幾何圖形思想方法的理解有利于學(xué)生在幾何教學(xué)中對幾何對象的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極的正遷移.如在本節(jié)課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)積累了研究角、三角形、圓、弧、弦、圓心角等幾何圖形的經(jīng)驗，理解了構(gòu)成這些幾何圖形的基本元素，掌握了研究幾何圖形的基本問題、基本思路和基本方法.因此，本節(jié)課的教學(xué)中，教師要充分將學(xué)生已有的學(xué)習(xí)幾何圖形的思想和方法貫穿本節(jié)課的教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生進一步強化這些思想方法．如在這節(jié)課的設(shè)計中，兩位教師都是從圖形的位置關(guān)系探索圖形的數(shù)量關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，運用了實驗和驗證相結(jié)合的方式，即讓學(xué)生通過作圖、觀察、測量、猜想，再利用幾何畫板驗證或邏輯推理進行證明．又如在探究和推導(dǎo)圓周角定理時，第一位教師利用幾何畫板的動畫演示功能，設(shè)計了圓周角的頂點在圓周上運動的動畫，直觀地展示了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系，為圓周角定理的證明創(chuàng)設(shè)了條件，較好地體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．第二位教師則是引導(dǎo)學(xué)生從圓心在圓周角一邊上這種最簡單、最特殊情況出發(fā)，再通過體會一般情況，為后續(xù)兩種情況下的證明提供了思路，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，同時也滲透了轉(zhuǎn)化、分類、化歸等數(shù)學(xué)思想．再如，在課堂總結(jié)時，兩位教師都通過學(xué)生反思、交流、歸納等方式，讓學(xué)生體會幾何定理中蘊含的思想方法，進而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

4 對幾何定理教學(xué)的幾點建議

4.1 注重學(xué)生的自主探究活動

一些教師認(rèn)為教學(xué)時間緊，訓(xùn)練任務(wù)重，因而選擇一種快餐式的幾何定理教學(xué)，簡單說明定理的來由，然后讓學(xué)生記住幾何定理的結(jié)論，不花時間讓學(xué)生去經(jīng)歷幾何定理形成的探索過程．而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》提出:“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進行觀察、試驗、猜想、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動.”但對于學(xué)生而言，事非經(jīng)過終覺淺，動手操作和自主探究對他們理解幾何概念、運用幾何定理都具有積極的意義．本節(jié)課的教學(xué)重點就是圓周角定理的探究過程．因此，在幾何定理的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生采用動手實踐、自主探究方法進行學(xué)習(xí)，使學(xué)生在觀察、實踐、問題轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)活動中體驗探索的快樂，從而使知識和能力得到內(nèi)化，體現(xiàn)幾何能力的提升．

4.2 注重學(xué)生的邏輯推理能力

在研究幾何圖形的過程中，雖然大多數(shù)幾何定理和結(jié)論是通過幾何直觀“看”出來的，而不是“求證”出來的，但不能止步于此，在幾何教學(xué)中，課標(biāo)對學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)是有要求的．幾何教學(xué)要求培養(yǎng)學(xué)生“言之有據(jù)”的推理習(xí)慣，要求學(xué)生具有一定的書寫證明格式的能力，要求從具體的幾何定理證明中掌握推理論證的一般步驟、常規(guī)方法和常用技巧．因此在實際教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，提供相關(guān)推理論證的訓(xùn)練機會，切實提高學(xué)生的邏輯推理能力．如，本節(jié)課中對圓周角定理猜想的驗證，不僅需要借助量角器的度量和幾何畫板的動畫演示驗證，更需要理性、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C．通過細(xì)致的分析和完整的證明，可以進一步培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實的學(xué)習(xí)態(tài)度，有利于學(xué)生的健康成長．

4.3 注重多媒體技術(shù)的恰當(dāng)運用

多媒體技術(shù)的恰當(dāng)運用，能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何定理提供豐富多彩的教學(xué)情境和強大的學(xué)習(xí)平臺．在幾何教學(xué)中，運用多媒體技術(shù)可以靈活地制作圖形，動態(tài)地展示圖形和方便地測量圖形，這樣有利于學(xué)生在圖形的運動變化過程中去發(fā)現(xiàn)圖形中特殊的位置關(guān)系和不變的數(shù)量關(guān)系，從而有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的本質(zhì)屬性，這樣可以使得許多傳統(tǒng)幾何教學(xué)做不到或做不好的事件變得更容易[3]．如本節(jié)課中，教師利用幾何畫板的測量功能測出同弧所對的圓周角和圓心角的大小，通過觀察變化過程中角的大小變化，去發(fā)現(xiàn)圓心角和圓周角的數(shù)量關(guān)系，這樣就比學(xué)生用量角器的度量來得更精確，更有說服力，這正是多媒體技術(shù)的優(yōu)勢所在.但是多媒體技術(shù)只是一種輔助手段，有時過度使用多媒體技術(shù)反而限制了學(xué)生的思考方向，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)不利．