例析直角三角形中30°角的作用及構造方法

甘肅省平涼市涇川縣第四中學

呂銀錄

直角三角形中30°角是一個特殊的角，當其出現在一些幾何題中時，往往需利用“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”解題.這一知識點很多學生已經掌握，但在利用時還不夠靈活，只能解決一些簡單的計算或證明題.而對于與其有關的綜合問題，學生則表現得比較被動，尤其是不知如何構造出直角三角形中的30°角.基于此，本文重點談一談這個問題，希望對學生有所幫助.

1 直角三角形中30°角的作用

直角三角形中30°角的出現，往往意味著邊與邊之間存在一定的數量關系，或者角與角之間也存在著某種數量關系[1].直角三角形中30°角的作用主要體現在以下兩個方面.

1.1 求邊長

“求邊長”主要依靠“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”體現，在使用時通常要注意幾個問題：首先，該性質在直角三角形中使用；其次，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，不是其他邊之間的關系.如例題1：

圖1

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AM平分∠BAC交BC于點M，且AM為15cm.求BC的長.

分析：本題有價值的條件較多，其中利用直角三角形中30°角解決問題是關鍵.

解：∵∠C=90°，∠BAC=60°，AM平分∠BAC交BC于點M，

∴∠CAM=∠BAM=30°，∠B=30°.

又∵AM=15，

∴BC=BM+CM=15+7.5=22.5(cm).

如上述，利用“直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”解題時，首先要注意是否在直角三角形中，然后要找準是30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，而不是其他邊等于斜邊的一半.很明顯，從本題的解題過程來看，這兩個方面都處理得當.

1.2 求角的大小

如果一個直角三角形或其他三角形中出現了30°角，那么通常可求出150°，60°，15°等角，其中求出角度為60°的情況居多，因為這可與等腰三角形、等邊三角形等知識點融合起來對學生形成綜合考查.如例題2：

圖2

例2如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB.

求證：(1)AB=2BC；

(2)CE=AE=EB.

分析：(1)要想證明AB=2BC，已知∠ACB=90°，只需證明∠A=30°即可.

(2)利用等腰三角形及等邊三角形的判定定理求證即可.

證明：(1)∵CD，CE三等分∠ACB且∠ACB=90°，

∴∠1=∠2=∠3=30°.

又∵CD⊥AB，

∴∠B=60°.

∴∠A=30°

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴AB=2BC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).

(2)由(1)可知∠A=∠1=30°.

∴CE=AE，∠CEB=∠A+∠1=60°.

又∵∠BCE=∠2+∠3=60°，∠B=60°，

∴△BCE是等邊三角形.

∴CE=EB.

∴CE=AE=EB.

從本題的解題過程來看，直角三角形中30°角的兩大作用在這里得到了充分體現.第(1)小題是利用直角三角形中30°角計算邊長，而第(2)小題是利用其計算角度大小，繼而得出三角形為等邊三角形.

2 直角三角形中30°角的構造方法

由于直角三角形中的30°角具有“它所對的直角邊等于斜邊的一半”的性質，所以常利用構造含30°角的直角三角形，得到圖形中更多的邊角關系.

縱觀這類題目，有些30°是在已知條件中直接告知，有些題目則沒有告知，但是可通過其他途徑構造出30°角.通常有以下幾種情況：

(1)如果題目當中出現了一個角為60°，那么可借助角平分線將該角平分得到30°角；也可通過作垂線等方式構造直角三角形的方式得到30°角，這主要是利用了直角三角形兩銳角互余的性質.

(2)如果題中出現了120°角，那么可以將之視為頂角，然后構造出相應的等腰三角形，這樣也可得到30°角[2]；或者將120°角分為30°和90°兩個角，同樣可以得到30°角.

(3)如果題目條件是150°角，那么直接將這個角的其中一條邊延長，即可得到其補角30°.

(4)如果題中條件是15°，那么可以將之視為底角，然后構造出相應的等腰三角形，這樣得到了頂角的外角為30°的等腰三角形[3].

事實上，無論何種方法，都是從以下兩個方面構造直角三角形中的30°角.

2.1 在三角形內部構造

圖3

例3如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，DE=2.求BC的長.

分析：由AB=AC，∠BAC=120°，可知等腰三角形ABC的兩個底角都是30°，連接AD，得到另一個以30°角為底角的等腰三角形和一個含30°角的直角三角形.

圖4

解：如圖4，連接AD.

∵AB=AC，

∠BAC=120°,

在Rt△DEC中，DE=2,

∴CD=2DE=4.

∵BC垂直平分AC,

∴AD=CD.

∴∠DAC=∠C=30°.

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°.

在Rt△ABD中，∠B=30°，

∴BD=2AD=2CD=8.

∴BC=BD+CD=12.

2.2 在三角形外部構造

圖5

例4如圖5所示，在四邊形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB=30°.求證：AD=2BC.

分析：如圖6,因為AC平分∠BAD，所以根據角平分線的性質可得出CE=CB，再由“兩直線平行，同位角相等”構造出含有30°角的直角三角形，得到CD=2EC，最后由“等角對等邊”得到AD=CD，從而得到AD=2BC.

圖6

解：如圖6所示，過點C作AD的垂線，交AD的延長線于點E.

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC.

∵∠B=90°，

∴CB⊥AB.

∵CE⊥AD，

∴CE=CB.

∵DC∥AB，

∴∠EDC=∠DAB=30°，∠DCA=∠BAC.

又∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠DCA.

∴AD=CD.

在Rt△DEC中，∠EDC=30°，

∴CD=2CE=2BC.

∴AD=2BC.

綜上所述，直角三角形中30°角在實際計算和證明時發揮的作用非常明顯.鑒于該知識點比較基礎，很多學生掌握得較好，所以本文沒有特別深入挖掘，只是重點分析了30°角如何構造.當然，構造方法不局限于此，還有待于后期進一步研究.