解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題有方法
——從平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題出發(fā)

靜寧縣第三中學(xué)

趙芳寧

平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是初中幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的一類，在很多省市區(qū)中考?jí)狠S題的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中是比較典型的代表[1].解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題，可以從研究平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題出發(fā).這是本文中研究解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題方法的基本思路.希望通過(guò)這樣的研究，一方面對(duì)教師教學(xué)產(chǎn)生有利影響，另一方面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起到一定的促進(jìn)作用.

1 平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決思路

要想解決平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，離不開平行四邊形的性質(zhì)和判定.縱觀平行四邊形的性質(zhì)和判定，都與其邊有莫大關(guān)系，所以解決思路主要集中于平行四邊形的邊.

由于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中常會(huì)出現(xiàn)一個(gè)或兩個(gè)甚至多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此隨著這些點(diǎn)的不斷運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)構(gòu)成的圖形形狀和大小都會(huì)發(fā)生變化.故而，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題首先需要弄清楚點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，并且要學(xué)會(huì)用字母表示出線段的長(zhǎng)度，或用字母表示出角的大小，然后利用平行四邊形的性質(zhì)建立方程并求解[2].

如此看來(lái)，平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題可通過(guò)以下四步解決：

(1)找兩邊相等.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定，可知平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等.通常情況下平行是已知，因此只需找出相等的兩邊.

(2)寫表達(dá)式.找出相等的兩邊后，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，寫出這兩邊的表達(dá)式.

(3)分類討論.一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況比較簡(jiǎn)單，但兩個(gè)或多個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜，所以需進(jìn)行分類討論，且每種情況都應(yīng)畫出相應(yīng)的圖形.

(4)列方程求解.分類討論后，根據(jù)線段相等列出方程并求解.當(dāng)然，列出的方程一定要符合題意，對(duì)于不符題意的值則需舍棄.

2 例題解析

上述內(nèi)容談到，解決平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思路一共分為四步.為了讓這一思路得以更直觀地體現(xiàn)，從而幫助學(xué)生理解和掌握，現(xiàn)結(jié)合相關(guān)例題進(jìn)行分析和說(shuō)明.

圖1

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC且AD=9cm，BC=6cm，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).問(wèn)多長(zhǎng)時(shí)間后線段PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形？

分析：根據(jù)平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決思路，可作如下處理.

(1)找兩邊相等.由于討論的是平行四邊形，所以根據(jù)其性質(zhì)找出相等線段.

(2)寫代數(shù)式.根據(jù)P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，設(shè)時(shí)間為ts后，用含t的代數(shù)式分別表示線段AP,BQ,PD,CQ的長(zhǎng).

圖2

(3)分類討論.根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可分為兩種情況，即AP=BQ(如圖1),PD=CQ(如圖2).

(4)列方程求解.分類討論后，每種情況列出相應(yīng)的方程并求解.

解：設(shè)ts后線段PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形.

依題意可知，AP=t，BQ=6-2t，PD=9-t，CQ=2t.

①當(dāng)AP=BQ時(shí)，t=6-2t,解得t=2.

②當(dāng)PD=CQ時(shí)，9-t=2t,解得t=3.

綜上所述，2s或3s后線段PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形.

圖3

例2如圖3，點(diǎn)F在ABCD的邊AD上，連接BD,BF，已知AF=8cm，BF=12cm，∠FBD=∠CBD，E是BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)以2cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多久時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

分析：根據(jù)平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決思路，可從以下四步進(jìn)行分析.

(1)找兩邊相等.平行四邊形ABCD中AD和BC互相平行，那么只需找出相等線段，即可判斷出以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

(2)寫代數(shù)式.根據(jù)P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，設(shè)時(shí)間為ts后，用含t的代數(shù)式分別表示AP,PF,CQ,EQ的長(zhǎng).

(3)分類討論.根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分為兩種情況，如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

(4)列方程求解.分類討論后，對(duì)每種情況畫出相應(yīng)的圖形并列方程求解.

解：設(shè)ts后線段PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC.

∴∠ADB=∠CBD.

又∵∠FBD=∠CBD，

∴∠FBD=∠ADB.

∴BF=DF.

∵AF=8cm，BF=12cm，

∴AD=BC=20cm,DF=BF=8cm.

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=EC=10cm.

∵以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴PF=EQ.

設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)ts時(shí)滿足條件，根據(jù)題意分析有如下兩種情況.

①如圖4所示，PF=EQ，即8-t=10-2t，解得t=2，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

②如圖5所示，PF=QE，即8-t=2t-10，解得t=6，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6s時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s秒或6s時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

3 解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的注意要點(diǎn)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的類型有很多，雖然動(dòng)點(diǎn)所處的幾何圖形不同，但解決這樣的問(wèn)題都遵循四個(gè)步驟，上面通過(guò)兩道例題已經(jīng)做出了較詳細(xì)的說(shuō)明.在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)需注意以下幾個(gè)要點(diǎn).

首先，熟練掌握分類討論思想，學(xué)會(huì)如何分類討論.以上兩道例題的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)雖不一樣，但都存在一定的規(guī)律，學(xué)生在分析過(guò)程中只需深入挖掘這一規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上用含字母的式子表示出相應(yīng)的線段.需說(shuō)明的是，分類討論時(shí)一定要根據(jù)情況畫出相應(yīng)的圖形以幫助學(xué)生理解問(wèn)題[3].如上述兩個(gè)例題中，都畫出了相應(yīng)情況的圖形，使得動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)非常直觀，更有利于學(xué)生分析問(wèn)題.

其次，牢固掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定及計(jì)算方法.包括平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題在內(nèi)，所有的動(dòng)態(tài)問(wèn)題都需要掌握兩個(gè)方面的內(nèi)容，一方面是相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定，另一方面是方程等的計(jì)算.學(xué)生只有掌握這些基礎(chǔ)內(nèi)容，才能更高效地解決初中幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題[4].

綜上所述，要想解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題，不僅要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還應(yīng)熟練運(yùn)用一些解題思想與方法.所以，對(duì)初中生而言，只有不斷強(qiáng)化知識(shí)和提升學(xué)習(xí)品質(zhì)，才能為日后的數(shù)學(xué)能力提升奠定基礎(chǔ).