重視概念生長過程 搭建單元知識框架
——“認識分式”(第一課時)教學設計與思考

廣東省深圳市龍華區博雅實驗學校

管志剛

“數學概念是產生數學知識的基礎，是提煉數學思想方法的平臺，是積累數學活動經驗的載體，是數學學習的內核.”[1]數學概念的教學過程，為培養學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界提供了得天獨厚的平臺.所以，數學概念的教學，要重視概念的生長過程，凸顯概念的必要性、必然性和合理性.本文是筆者執教北師大版“認識分式”第一課時的教學設計，以及對概念教學、單元統領教學的幾點思考，與大家探討.

1 教學內容分析

分式和整式都屬于代數式，它們之間有著密不可分的聯系和本質上的區別.二者定義的方式是否一樣，學習的思路是否一致，性質和運算方法是否相同，等等，這些都等待著學生去學習和探索.生長數學教學主張認為，分式概念的主要屬性有：(1)分式表示除法運算(也可以表示成帶有分數線的形式)；(2)被除數和除數都是整式(分子和分母都是整式)；(3)除數中含有字母(分母中有字母).因此，本節課教學的關鍵就是要通過問題情境，讓學生抽象出分式的數學屬性，并在此過程中，讓學生感受概念的生長過程、感悟建立此概念的必要性和必然性.

2 教學活動設計

環節一：導入新課

問題1已知長方形的面積為7 cm2，寬為3 cm,則長方形的長為cm；若寬改為bcm,則長方形的長為cm.

問題2已知長方形的面積為acm2，寬為bcm,則長方形的長為cm；若寬增加2 cm,則長方形的長為cm.

圖1

問題3如圖1，矩形被一直線分成面積為pcm2和qcm2的兩部分，對應的邊長分別為xcm和ycm，則矩形的寬為cm.

環節二：概念生成

問題5你們能否再寫一些滿足這些特點的代數式呢？

問題7這樣的例子有無數多個，我們該怎么刻畫這些特點？

問題8像這樣的式子我們稱為分式，那你現在能給分式下個定義嗎？

環節三：概念辨析

問題9下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？

設計意圖：問題9是第五個環節——“再辨析”.“再辨析”是根據概念的內涵與外延，幫助學生進一步認清概念的本質，以便學生應用概念解決問題. 在這個環節中，教師可設置一些稍有難度、迷惑性較強的代數式讓學生辨別.

環節四：拓展探究

問題11在問題10中可以發現，分式的值可以是正數，也可以是負數.分式的值可以為0嗎？

設計意圖：問題10旨在讓學生了解分式，它的值是隨著字母的取值變化而變化；問題11旨在讓學生自主發現分式值為0的條件；問題12旨在引導學生自主探索分式有意義的條件.之后，教師還需要引導學生發現之前僅從形式上定義分式是不完善的，必須加上分母不為0這個條件.因此，我們用“樣子”+“條件”的方式定義分式，二者缺一不可.

環節五：針對訓練

環節六：結構統領

問題13小明和小紅計劃周末去廣州長隆歡樂世界游玩.已知深圳到廣州的距離約為140 km， 小明選擇自駕前往，汽車的平均速度為xkm/h，小紅選擇高鐵出行，高鐵的平均速度是汽車的3倍多10 km/h.小明和小紅同時出發，小紅比小明提前一小時到達廣州，求汽車和高鐵的速度分別是多少？

設計意圖：引導學生在解決實際問題中抽象出新的模型——分式方程.繼續求方程的解，則有必要先學習分式的性質和四則運算，這樣就能很好地統領整個章節的知識，搭建知識生長的框架.同時，教師還可以引導學生類比整式的學習，發現分式的學習套路和整式的學習套路一脈相承，加深學生對于代數式學習的理解.

3 活動設計的思考

3.1 概念自然生成是概念學習的根本所在

本節課通過“給例子—找屬性—再舉例—下定義—再辨析”五個環節，讓學生經歷了概念的生成過程，感受了建立分式概念的必要性和必然性.具體來說，環節一的問題情境闡明了分式“從哪里來”，即分式是描述現實情境的一種重要模型.環節二讓學生去找這些代數式的共同特點，歸納其共同的數學屬性.待學生有一定的理解之后，環節三再次聚焦相同屬性，讓學生舉出一些具有這些屬性的例子.那些在“找屬性”環節中沒有任何發現的同學往往舉不出新的例子，或者容易寫出錯誤的例子，這些都是對屬性理解不到位和不深刻的體現.厘清分式屬性之后，分式的概念就呼之欲出了，用數學語言將發現的共同屬性表達出來即可.教師可以先讓學生大致地說一說，再細致地優化為教材中的語言.分式相對于整式而言有一個特殊的地方，就是分式在字母賦值的時候可能會導致分式無意義，因此在分式的概念中必須補充這一點，這是概念“精致”的過程.因此，筆者認為概念教學一般要經過大致地描述、細致地優化、精致地補充三個過程.

3.2 巧設問題情境是知識構建的重要途徑

教學是提出問題、解決問題的持續不斷的過程，提問是課堂教學的主要形式，也是師生交流的重要途徑.教師提問，學生作答，這看似平常的教學環節卻關系到課堂教學是否有效、實效、高效.數學課堂上，高質量的提問是學生參與課堂、理解數學概念、參悟數學本質的重要途徑.

3.3 搭建知識框架是點睛之筆

本節課是章節的起始課，在一定程度上起著承前啟后、開山引路的作用.教師在教學時要對整章內容做一個提綱挈領式的“預覽”，搭建知識框架，使學生在開展后續的學習之前對整章內容有一個全局認識，起到統領全章的作用,避免“只見樹木，不見森林”[2].所以本節課在利用分式解決實際問題的環節中，學生抽象出一個新模型——分式方程.而學生在求解分式方程的過程中，會意識到要先學習分式的性質和運算才能解分式方程.通過這樣的設計，學生就能了解本章所有知識的建構過程，整體把握知識間的邏輯結構.同時，教師再加以引導，將 “現實情境—定義—性質—運算—應用”的學習模式和有理數、整式的學習模式統一起來.這樣的引導對學生數學學習能力的培養、學習興趣的提升的和探究精神的養成等都有一定的價值.