構建學習共同體 提升數學學習品質

林曦

“學習”日益成為教育研究的重要領域，教師不能只局限于“教”，不能眼里只有教材和教法，更要看得見“人”，將重心落于如何指導、幫助學生更好地“學”。構建學習共同體，給予學生課堂主體地位，讓學生有公平、潤澤的學習環境，使其在自主學習和合作交流中展開真實、有品質的學習。數學是一門邏輯性、抽象性較強的學科，只有讓數學基礎各異的學生學有所思、學有所獲，體會到學習的樂趣、數學的智趣，才可以為可持續學習打下堅實的基礎。

一、構建學習共同體，創設公平的學習機會

學生經歷六年的小學學習進入初中階段，因為思維能力、學習習慣的不同以及各種非智力因素的影響已經形成不同的數學基礎，而初中階段課業要求加大、節奏加快，使得不同層次的學生均面臨新的學習挑戰。對教師而言，傳統秧田模式的講授課堂和多年課改引進嘗試的小組合作學習，哪個才是公平、高效的？如何才能真正讓學生更好地學習，收獲知識的增長和素養的提升？佐藤學提出：真正好的教育是“公平”與“質量”的兼顧，教師的責任“不是教一節好課，而是保障所有學生的學習權”。秧田模式的講授課堂多數只見教師不見學生，或者課堂只屬于可以呼應教師的部分學生。小組合作學習又往往停留在簡單地分小組，進行表面化的合作學習，更多時候為公開教學的表演而生。而學習共同體是要形成課堂內外長效的學習狀態，讓每個學生在學習共同體中都能感受到被看見、受重視。基礎偏弱的學生覺得課堂也有他們的一席之地，而不是被動地被課堂拋棄；思維靈活的學生感覺學習可控而又有挑戰，不同層次的學生都能感受到公平、安全、滋潤，從而生發出更多的主動性，真實學習而又互相促進。佐藤學將“民主性”“公共性”和“卓越性”作為學習共同體的三大教育哲學，教師構建學習共同體亦要將這個教育哲學付諸實踐。

構建學習共同體的第一步是分組。有的教師會單一以學生在教室的空間位置，如前后桌、同行同列等形式劃分，雖然便于課堂交流，但忽視了其他影響因素。構建學習共同體應結合學生的興趣愛好、性格特征以及成績等多維度進行分組，還應結合每個共同體小組的發展目標來構建。在實踐過程中，不同的班級生情應有不同的策略，在學生程度差異較大的班級甚至可構建多模式的共同體。比如，基礎較好、思維活躍的學生可以招募式自由組合形成3～5人小組，這類共同體可在課堂之外自發地對拓展問題展開鉆研探討，甚至開展一些專題性的研究，成員間的思維碰撞有利于激發更多的學習興趣，提高思維層次。而其他大部分的學生由教師綜合考量后組建共同體，也可征詢學生意見進行個別調整。這種模式的共同體是課堂教學活動關注的主體，教師的教學設計應適合他們的思維能力，充分調動他們的積極性，讓他們在共同體中能開展自我學習，同時獲得幫助和滋養。

二、推進學習共同體，保障真實的學習過程

學習共同體設立后，教與學都應有所調整，以便推進學習共同體的開展，保障真實的學習過程，而不是把共同體作為一種表面存在的形式。以“完全平方公式”教學為例，談談課堂設計與教學如何推進學習共同體的開展。

“完全平方公式”在人教版教材中的設計是通過一組特例的計算、比較、分析、歸納，抽象出一般結論，進而通過符號推理獲得公式的符號表示及語言表述，體現從特殊到一般的思想方法。故從“完全平方公式”的代數運算功效上考慮，筆者在“綜合共同體”中設計了從數字的計算—猜想—簡單驗證—部分抽象驗證—證明，這樣的探究過程（方案1），以期遵循探究數學原理的一般程序：觀察—歸納猜想—驗證—證明，這是初中階段大部分的原理教學采用的探究路徑，特別在幾何的一些定理中，如內角和公式、勾股定理等。數學思維中，歸納推理在于發現結論，歸納能力是創新能力的重要基礎。數學教學過去強調“雙基”，缺少對學生歸納能力的培養，而概念、定理、公式、法則等原理教學的核心就是“歸納”。方案1的設計，旨在讓學生真正經歷“由特殊到一般”公式的發現和歸納過程。

問題：1012=（100+1）2=？

計算猜想：1012=（100+1）2=（100+1）（100+1）=

=

口算驗證：112=

212=

計算驗證：（a+1）2=

一般地：（a+b）2=

從單元整體考慮，在學習本節課之前，學生剛剛學習了“平方差公式”，類似方案1的設計用“平方差公式”來探究比較合適，而在乘法公式的第二節課“完全平方公式”中，教師可以引導“自由共同體”的學生思考知識的生發點。“平方差公式”和“完全平方公式”都是多項式乘法（a+b）（p+q）的特例，因此在方案2中抓住多項式乘法這個知識生發點，引導學生在多項式乘法的基礎上探究特例，切合知識的發生發展過程和內在的邏輯線索，符合學生的認知規律，并且應用與“平方差公式”類比的方法，從符號、文字、圖形角度全面認識“完全平方公式”。這樣的過程，讓學生在參與中更加自然地收獲了公式原理。

方案2：

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

（1）當p=a，q=-b時，（a+b）（p+q）=（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2

（2）當p=a，q=b時，（a+b）（p+q）=（a+b）（a+b）

即（a+b）2=

語言表述：兩個數的和的平方，等于? ? 。

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

（a+b）（a-b）=a2-ab+ba-b2=a2-b2

思考：你能類比以上圖形，畫圖說明“完全平方公式”嗎？（請先獨立思考，嘗試畫圖，再互相討論。）

原理教學中若能讓學生去追尋、探索知識的生發和相關知識的結構關系，就能使學生更加自然地學習相關的知識、原理，同時在“自然而然”中享受“水到渠成”的成就，感受知識生發的魅力。初中數學中“無理數”“直角坐標系”等內容都是人類數學探索歷程中閃亮的火花，教師在指導學生學習時若能讓其體驗它們的生發，在“生發”中掌握相關的知識，同時感受知識流淌、思維前進的美好，這對提升學生學習數學的興趣、增強學好數學的信心無疑有巨大的作用。因此，教師可借助學習共同體，力求讓不同思維和能力的學生都能學好原理，課堂教學的設計要符合不同學生的認知規律，關注學生的“四基”發展，引領學生深度學習，使學生從“學會”到“會學”，優化思維品質，提升學生的數學核心素養和綜合素質。

初中數學有著諸多的公式、定理、規律，要想讓學生在學習過程中獲得知識，并了解知識的產生、發展過程，理解探索知識的研究方法，就要引導學生善于發現問題，學會用數學的眼光看待問題。這節“完全平方公式”知識、技能的掌握是顯性的，是學習的“明線”；而思維的發展是隱性的，是教學中的“暗線”。數學課堂既要“授之以魚”，又要“授之以漁”，離開知識、技能的掌握來說思維的發展是“空中樓閣”，而只有知識、技能的掌握卻不關注思維發展的教學是“鼠目寸光”。知識、技能與思維發展相輔相成、相得益彰。這節課中貫穿著一般到特殊、特殊到一般，既有歸納的合情推理，又有應用的邏輯推理，既有數與形的轉化，又有差與和的轉化，這些都能促進學生的思維發展、學習能力的提升，于學生可終身受益且可持續發展，這樣的教學才是有生命力的，學生在共同體中“雙線”的牽引下的學習才是深入有效的。

當然，不同的共同體采用不同的導學方式，對課堂時間的分配，課堂中各共同體的引導、調動上都是個考驗。日常的教學要根據教材和生情采用分中有合、合中有分的方式推進共同體的每一節課的學習活動，這樣絕大部分的學生可以在自己的共同體中開展真實有效的學習。教學只有適合共同體特質的節奏、梯度、難度才能兼顧“公平”和“質量”。

三、鞏固學習共同體，提升科學的學習品質

共同體的學習包含三個層次的目標：就學生個體而言，學生要能夠安心而真實地學習；就學生群體而言，學生之間相互平等，彼此傾聽，互相學習，從而讓課堂成為“交響樂”；就品質而言，學生的學習應該有更高的品質，學生可以通過完成高挑戰、高質量的學習任務得到全方位的發展，最終成為一個自主的學習者乃至深度學習者和創造者。因此，共同體的學習活動不局限于課堂，課后的學習也可以繼續鞏固、延伸學習共同體的作用。

對于“自由共同體”中的學生，“完全平方公式”這節課中無論是知識的發展還是學習思考的深入都有值得再進一步的價值，而此時若能挖掘好這個價值，無疑對這類學生數學素養的提升有很大的幫助。因此，筆者設計了如下環節。

（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq

當p=a，q=b時，（a+b）2=a2+2ab+b2

“完全平方公式”是多項式相乘的特殊形式，探究將“完全平方公式”特殊化或一般化能得出什么有價值的公式？

（1）兩數和的平方若改成三數和的平方、n數和的平方，如何解決？你能發現什么規律？

（2）兩數和的平方若改成兩數和的立方、兩數和的n次方，如何解決？你能發現什么規律？

當然，這個環節在課堂中因時間原因只能拋磚引玉，教師可以引導學生在課后通過研究性學習活動，形成小組的研究報告。這樣既拓展了課堂的時間，又讓學生對“完全平方公式”有了更完整的認識，既明確它的“源”（多項式乘法），又清晰它的“比”（平方差公式，自身還有和與差兩種形式），還看見它的“展”（n項和的完全平方、兩項和的n次方）。

學生真正經歷這樣的探究，就好像參與到“完全平方公式”的“前世”“今生”和“未來”，充分感受知識生成、發展的魅力，同時學生的符號意識和幾何直觀等數學素養也能得到提升，在感受歸納和演繹的過程中邏輯推理能力和有條理的表達能力得以提升，科學精神和探究品質、創新能力得以升華。數學課堂離不開數學的本源，但數學課堂又不能僅止于數學。教師在整個課堂內外的學習共同體中，也能感受到學生的思考過程，思維的成長變化，進展與卡殼的節點，欣喜和沮喪的真實，于教師也是一個不可復制的過程，是一個與學生發展共育的生命旅程。同樣，對于“綜合共同體”中的學生，通過多種形式的課內自我評價、相互評價及課后互助等多渠道激發學生的自我學習和共同學習，以達到提升學習效率和品質的目標。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調“要讓學生會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界”，通過構建學習共同體，指導不同水平的學生在“生發”處學習認識數學，學生在思考探索的“深化”中把握數學的邏輯，領悟數學思想方法，感悟其間所蘊含的科學方法、理性思維，并在師生的共同學習探索過程中達成素養的“升華”，養成良好的學習習慣，最大限度地收獲學習的價值。

（作者單位：福建省福州第八中學）

編輯：趙文靜