經歷數形結合過程 感悟數形互助內涵
——《數與形》教學

文|戚彩紅 田小紅

【教學內容】

人教版六年級上冊第八單元第一課時。

【課前思考】

《數與形》一課的教學，例題和練習中每道題的規律都不一樣，很容易上成找規律的課。小學數學中“數形結合”思想散落于各個年級之中。如：數量關系通過“數”來描述數與數之間的關系，畫圖分析數量關系就是“形”的表現形式；長度、面積、體積是通過“形”來展現其直觀形式的，而計算公式又是通過“數”來呈現的；在“統計與概率”中，“數”與“形”更加清晰。受小學生的年齡特征和認知特點所限，思想方法常隱含在眾多的數學知識之中。《數與形》一課就是把這層窗戶紙捅破，讓學生體驗“數形結合”的數學思想和方法。《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，學生幾何直觀素養的具體表現之一在于能夠建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。所以本課不應停留在讓學生會用總結得出的規律解決問題，更重要的是讓學生在學習過程中感悟數形結合的思想方法，能用數學的思維解決問題。

為了解不同教材采用的不同圖形中哪種更能引發學生思考，筆者進行了前測（見文末二維碼）。根據前測結果，我們改變教學素材，采用圓點圖，充分發揮學生的自主探究能力。

【教學過程】

一、初步體驗數形結合——數中有形，形中有數

動態依次出示下圖

師：你看到了什么形狀？

生：圓點搭成了三角形。

師：你能計算出這里第六個圖形一共有多少小圓片嗎？說說你是怎么計算的。

生1：1+2+3+4+5+6=21。

生2：1+2+3+4+5+6=（1+6）×6÷2=21。

生3：1+2+3+4+5+6=（1+6）×3=21。

課件演示生2 和生3 的算理：

小結：從1 開始的連續自然數相加的和=（1+末項）×項數÷2，并且末項=項數。

師：像1、3、6、10、15……用圓點表示這些數，我們發現這些圓點都可以擺成等邊三角形。2500多年前的古希臘，數學家畢達哥拉斯，就發現了這些數的特點，他稱這樣的數為“三角形數”。你還能繼續往下找三角形數嗎？你是怎么找到的？

生：三角形數就是從1 開始的連續自然數相加的和。

師：回顧剛才的學習，我們先看到了圖形，接著用算式表示了圓點的總數，然后又用圖形幫助我們找到了簡便計算的方法。有數，也有形；數中有形、形中有數，這節課我們來學習《數與形》。

二、經歷過程，感受數形互助——依數思形，依形思數

1.認識正方形數，感受“以形助數”

教師出示課件，動態演示三角形數，隱去偶數層：

師：你能算出現在這個圖形中小圓片的個數嗎？說說你是怎么算的。

生：1+3+5+7+9+11=36。

師：能不能像剛才那樣用圖形來說明計算的過程？請你擺一擺小圓片，看看有什么發現。

師：生2 的方法中你能找到1+3+5+7+9+11 這個算式嗎？試著找找看。

師：觀察這個圖形，有什么發現？

生：擺成了邊長是6 的正方形，1+3+5+7+9+11=6×6=36。

生：1+3+5+7+9=5×5=25，擺成了邊長是5 的正方形，剛好是5個連續奇數。

師：所以，像1、4、9、16、25、36……這樣的數，叫作正方形數。正方形數可以怎樣得到呢？

生：正方形數是從1 開始的連續奇數相加的和。

小結：從1 開始的連續奇數相加的和=奇數個數的平方。

2.嘗試練習，加深理解

師：想一想，怎樣才能算得又對又快？

1+3+5+7+9+11+13+15=__________________=92

1+3+5+7+5+3+1=__________

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=______________

生：想到這個式子的圖形，計算就快了。

課件演示：

小結：圖形幫助我們解決了計算的問題。

3.探究方陣圖，感受“以數解形”

師：（出示6×6 的方陣圖）你能用哪些算式來計算這里一共有多少個圓點？想到幾種就寫幾種。

（學生獨立操作，交流反饋作品）

師：同學們，回顧一下剛才我們的探究過程。在探究正方形數時，我們從一個算式想到相對應的形，形幫助我們解決了數的計算問題；在探究6×6 方陣圖時，用算式來解決這個形的問題，我們發現可以有很多不同的算法，最終結果都是36 個。現在你們覺得數和形之間有著怎樣的關系呢？

生：數和形關系密切，你中有我，我中有你，互相幫助。

小結：看到數，我們可以想象它對應的形；看到形，我們可以想它對應的數。數形結合，可以幫助我們解決問題。

三、深刻感悟數形內涵——數形緊密聯系、不可分割

1.探究長方形數，解決問題

師：研究了三角形數、正方形數，讓我們猜想一下，有沒有長方形數？五邊形數、六邊形數……這樣的數呢？來看看剛才的作品，有沒有給你啟發的地方？

學生思考后，教師課件演示：

生：作品⑥和作品④去掉6，都可以轉化成2+4+6+8+10 這樣的從2 開始的連續偶數相加。

生：我發現圓點組成了長和寬分別是5 和6 的長方形。

師：你能在長方形圓點圖中找到2+4+6+8+10 這個算式嗎？

生：這樣圖畫得更加清晰一些。

小結：（1）從2 開始的連續偶數相加的和是長方形數。（2）從2開始的連續偶數相加的和=偶數的個數×（偶數的個數+1）。

2.梳理關系，深化理解

師：三角形數、正方形數、長方形數之間有沒有關系？如果有，是怎樣的關系？要尋找它們之間的關系，我們把它們都擺在一起來找找看。

生1：兩個相鄰的三角形數可以組成一個正方形數。

生2：兩個完全一樣的三角形數可以組成一個長方形數。

根據學生的回答，出示課件：

師：畢達哥拉斯學派堅信“萬物皆數”，他們還找到了最完美的數、完全數、親和數、勾股數等。有三角形數、正方形數、長方形數，還有五邊形數、六邊形數等等，同學們可以在課后繼續研究。