單元視角下多邊形面積教學路徑新探索
——“多邊形面積”單元教學內容分析與關鍵課例課堂實錄

文|沈 強

一、單元教材分析

（一）依據圖形之間的聯系安排教學順序，進行面積公式推導

翻閱國內各個版本的小學數學教材，多邊形面積單元教學的順序都是按先學“平行四邊形面積”，再學“三角形面積”，最后學“梯形的面積”。平行四邊形面積計算主要有兩種方法，一種是直接度量，另一種是間接度量。直接度量是將平行四邊形放在格子圖中，通過數格子直接數出面積。間接度量是將平行四邊形通過剪拼轉化成長方形，利用長方形面積公式推導出平行四邊形面積公式。三角形面積公式推導則主要采用倍拼法，用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，利用平行四邊形面積公式推導出三角形面積公式。教材還在“你知道嗎”欄目中介紹《九章算術》中的“方田章”，詳細論述平面圖形面積的算法。而梯形面積公式的推導方法與三角形相似，也采用倍拼法。教材又在“你知道嗎”欄目中介紹數學家劉徽利用出入相補原理來計算平面圖形的面積。

（二）通過計算組合圖形和不規則圖形面積，培養解題思路和估測能力

在組合圖形面積計算中，將其分解成若干個基本圖形的能力是最基本能力，在保證數據完整性的多種分法中選取較優方法是較高能力。在計算組合圖形面積中，既要保證學生達到基本能力，又要努力促進學生較高能力的發展。

在實際生活中，經常會測量各種不規則圖形，它們往往無法分解成基本圖形。學生需要根據圖形的形狀，靈活運用各種策略和方法估計出圖形的面積，以提高估測能力和解決問題的能力。

二、單元課時劃分

（一）教材中多邊形面積公式推導方法較為單一

從教材編寫來看，平行四邊形面積公式推導采用剪拼法，三角形和梯形面積公式推導采用倍拼法，其他推導方法只作為課后簡單了解，推導方法顯得比較單一。

（二）學生較難自發聯想到剪拼法和倍拼法

在平行四邊形面積公式推導中，受長方形面積公式和四邊形活動框架的影響，學生很容易想到面積是“鄰邊相乘”。且在學生心目中，學具是不能隨意破壞的，學生不敢隨意去剪平行四邊形的紙片進行拼搭，較難自主聯想到剪拼法。同樣，三角形（或梯形）面積公式推導，如果只提供一個三角形（或梯形），學生是較難聯想到用倍拼法來進行推導的。在實際課堂教學中，教師經常會提供多個完全相同的三角形或梯形，學生在隨意拼搭中拼成已學過的平行四邊形，所以倍拼法受學具的暗示性較強。

提出設想：能否將三角形面積公式推導作為單元起始課？

筆者一直在思考：若沒有平行四邊形面積公式的支撐，只學習長方形面積公式，三角形面積公式可否進行推導？學生會把三角形面積轉化成什么圖形來推導？學生如何想到把三角形面積轉化成長方形面積？帶著這些問題進行教學嘗試，希望能另辟一條教學新路徑。那么如果將之作為單元起始課，會有什么優勢？從理論上來講，三角形是最基本的圖形，平行四邊形和梯形都可將其分割成兩個三角形進行公式推導，其他多邊形也都能分割成若干個三角形進行面積公式推導。也就是說最基本圖形的面積公式已知后，所有的多邊形（包括圓形）都能借助基本圖形進行面積公式推導。

基于以上的分析和思考，對本單元的教學順序進行重構。單元重構著重體現兩點想法：一是把三角形面積作為單元起始課；二是將平行四邊形和梯形面積整合為一課時，因為這兩個面積公式推導具有很強的相似性，既可以分割成兩個三角形，利用乘法分配律進行推導，梯形又可以通過倍拼法轉化成平行四邊形。圖1是整合后的單元編排結構圖。

圖1

圖2

圖3

三、關鍵課例設計

【第1 課時：三角形的面積】

（一）總體框架（表1）

表1

（二）教學實錄

●學習任務（一）：畫三角形，使三角形面積是長方形面積的一半

1.呈現任務，嘗試畫圖

提出任務：在長方形里畫一個三角形，使三角形面積是長方形面積的一半。呈現學生的作品。

師：你有什么辦法說明三角形面積是長方形面積的一半？

生：可以沿著長方形對角線剪開，將兩個三角形疊在一起，看看是不是一樣大。

學生動手操作，得出結論：沿著長方形的對角線剪開，兩個三角形的面積一樣大。

2.多元表征，表達畫法

師：你還能畫出不一樣的三角形嗎？

學生動手操作，組內交流。呈現學生的作品。

師：說一說你是怎么畫的？

生：圖4 先在長方形的上邊找到中點，再畫一個三角形。

圖4

生：圖5 在長方形上邊任意找一個點，然后畫一個三角形。

圖5

3.引出高線，便于說理

師：關于圖4 你有什么辦法說明三角形面積是長方形面積的一半？

生：可以在三角形的中間添上一條線。

讓學生上臺，在三角形中添線（如圖6 不出示①②③④），教師追問：這條線畫的時候有什么要求？

圖6

生：這條線要與下面的邊互相垂直。

師：你發現所畫的這條線就是三角形的什么？

生：三角形的高。

師：繼續說一說你的想法。

生：我把四個三角形標一下，①號和②號面積相等，③號和④號面積相等，所以三角形面積是長方形面積的一半。

師：你們發現要說清楚，必須做什么？

生：必須畫高。

對于圖5，讓學生添上高線后互相說一說。

●學習任務（二）：量出數據，計算三角形的面積

1.提出問題，嘗試解決

呈現《學習單》上的三角形，提出任務：測量邊線的長度，計算出三角形的面積。

2.呈現作品，反饋交流

呈現作品1：只測量三條邊線的長度（如圖7）。

圖7

師：你是怎么想的？遇到了什么困難？

生：我想三角形的面積應該跟三條邊的長度有關，但測量出長度后就不知道怎么做了。

呈現作品2：計算三角形的周長。

師：你們看懂這位同學是怎么做的了嗎？

生：他算的是三角形的周長，而我們要求三角形的面積，所以不對。

呈現作品3：利用面積公式計算（如圖8）。

圖8

師：你是怎么想的？

生：我測量了三角形的底和高，利用三角形面積=底×高÷2，算出來是6×4÷2=12（cm2）。

師：原來你已經知道了三角形面積的計算方法，那你知道為什么這么算嗎？

生：我看了書上的公式，但不清楚為什么要這樣算。

呈現學生作品4：利用長方形和三角形之間的面積關系來計算（如圖9）。

圖9

師：有誰看懂他的方法了？

生：在三角形外面畫了一個長方形，長是6cm，寬是4cm，所以長方形的面積是24cm2。剛才我們知道三角形的面積是長方形的一半，所以24 再除以2 等于12cm2。

生：他利用了任務（一）中的結論，先算出長方形面積，再除以2 就是三角形面積。

3.公式推導，得出結論

師：6×4÷2，誰來說一說這里的6 和4 分別表示什么意思？

生：6cm 是長方形的長，也是三角形的底。

生：4cm 既長方形的寬，又是三角形的高。

師：那你覺得三角形的面積公式可能怎么表達？

生：長方形面積÷2=三角形面積。

生：底×高÷2=三角形面積。

師：這兩個公式都正確，你覺得以后用哪個公式更方便？

生：用下面的公式，因為我們推導的過程是用上面的公式，要求三角形的面積就要用三角形的底和高。

板書公式：底×高÷2=三角形面積。

●學習任務（三）：提供數據，鞏固三角形面積計算方法

1.提供數據，列式計算

呈現3 個沒有數據的三角形，思考：要計算三角形面積，你需要老師提供哪些數據？

生：需要知道底和高。

教師呈現底和高的數據（如圖10），計算3 個三角形的面積。

圖10

生：10×4÷2=20（cm2），4×6÷2=12（cm2），7×6÷2=21（cm2）。

2.提出思考，回顧推導

師：請你想一想算式中的“10×4”“4×6”“7×6”分別是在算什么？你能把這個長方形畫出來嗎？

通過課堂實踐，發現把三角形面積作為單元起始課是可行的，學生也能順利地進行面積公式推導，并理解其中的道理。同時，將平行四邊形和梯形面積公式推導放在“例2”，教學實踐效果也較好。在“例3”專項鞏固練習中，繼續開展三角形、平行四邊形和梯形面積其他的推導方法，豐富推導方法，滿足不同層次學生的需求。在不斷思考和教學實踐中，找到了多邊形面積教學的新路徑，我們不比哪個學習路徑更好，而是在單元視角下打開教學研究的一種思路，提升研究能力和實踐能力。