培養想象能力 發展空間觀念
——《長方體的表面積》素養進階習題展評與教學建議

文|王靈勇

一、習題展示

●習題一

1.習題內容

下圖的長方體中擺了6 個1立方厘米的小正方體，這個長方體的表面積是（）平方厘米。

2.能力指向

史寧中教授在《基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題》一書中指出，面積是對二維空間圖形的度量。本題注重引導學生靈活運用空間想象能力，通過數學想象和推理，在頭腦中建構完整的立體圖形的過程，強化學生獲得部分數學信息時對它進行深度加工，溝通一維、二維與三維空間之間的聯系，讓學生明白計算長方體的表面積需要度量出它的長、寬、高。本題注重考查學生的空間想象、幾何推理和應用意識。

3.學情分析

測查了城區學校2 個班92名學生，鄉鎮學校3 個班144 名學生，測評統計結果顯示大約67.8%的學生能正確完成。分析學生的解題過程，并對錯誤的學生進行訪談，學生出現錯誤主要有以下原因：（1）空間觀念薄弱，沒理解題意，不能通過正方體度量出長方體的長、寬、高，尤其是寬，部分學生認為寬是3 厘米或2 厘米；（2）對長方體表面積本質概念沒有理解，計算能力薄弱，表面積計算錯誤。

●習題二

1.習題內容

人工智能時代已經來臨，越來越多的人工智能走進了我們的生活。“掃地機器人”就是其中之一。根據統計，全球個人及家用服務機器人2020年銷售額約65億美元。2020年～2023年全球服務機器人銷售總額將達到345 億美元，其中個人及家用服務機器人銷售總額為274 億美元。

請為某品牌“掃地機器人”設計一個長方體包裝盒，至少要用多少紙板？（粘貼處忽略不計）

某品牌掃地機器人技術參數

2.能力指向

哈爾莫斯指出，“數學是一種別具匠心的藝術”。通過本題考查學生的數學閱讀能力、空間想象能力、數學創新應用能力、長方體的表面積計算知識。某品牌掃地機器人的參數信息標注的眾多數據形成了數據干擾，學生應根據需要尋找有價值的數學信息，從而解決問題；其次為圓柱體設計長方體包裝盒，需要借助一定的空間想象能力，學生在解決問題的過程中頭腦經歷了從二維平面空間向三維立體空間的轉化，真正讓學生在想象操作中培養空間觀念。

3.學情分析

抽樣測查了城區、鄉鎮學校的學生，測評統計結果顯示大約65.8%的學生能提取有價值的數學信息，借助掃地機器人的直徑和高度數據，通過空間想象構建出長方體包裝盒，并進行正確計算。大約25.5%的學生不能從商品信息中提取出有效的數據并進行分析整理，嘗試解決。另有大約8.7%的學生計算過程出現了錯誤。

●習題三

1.習題內容

學校科學創作小組的同學設計了一款機器零件中的電池，用棱長為1 厘米的小正方體電池拼成一個長方體電池（如下圖），后來小設計師們發現，如果去掉1、2、3、4、5 中的幾個小正方體電池，不僅不影響電池使用效果，還能節省資源，增大電池的接觸面（即表面積比原來增加了）可以增強電池性能。如果你是設計師，你覺得可以去掉哪幾個小正方形，具體有哪幾種可能？哪種表面積增加最大？可以畫一畫或者說一說你的理由。

2.能力指向

此題具有一定的開放性，學生能正確理解長方體、正方體表面積的概念，目的在于發展學生空間想象能力，培養學生的創新意識和應用能力。探索正方體個數與表面積兩者之間的內在聯系。小正方體個數減少，表面積可能增加、也可能不變，學生能根據題意，提取有效的信息進行分析，培養學生進行有序思考，規范答題的習慣，發展幾何直觀和推理能力。

3.學情分析

根據學生解決問題的具體表現，劃分為四個水平層次，如表1。

表1

測評統計結果顯示：測試學生的水平大多集中于水平0、水平1、水平2。大約52.4%的學生能夠簡單闡述或直觀說明自己的結論，但是思考的過程比較零散，缺少整體性。大約15%的學生只作答了其中的一個問題。只有大約5%的學生能進行有序思考，通過數形結合對比每一種方法，具有嚴謹的解決問題思路。

二、教學建議

1.加強操作想象，豐富活動體驗，培養空間觀念

空間觀念對于學生來說比較抽象，要形成豐富的操作活動經驗，還需依賴于表象。如習題1，教師在教學中需要加強操作體驗活動，精心準備教具、學具供學生動手操作，同時可以借助多媒體———如幾何畫板的動態演示給予學生更直觀的觀察和認識。同時教師應注重想象和推理活動的設計，如：擺一擺小正方體活動，提供部分小正方體擺一擺（出現長、寬、高），為學生搭建完整的長方體架構提供幫助。也可以設計拆一拆活動，讓學生想一想長方體中最多拆掉幾個小正方體仍然能想象出長方體原來的模樣（留下長、寬、高）。在操作體驗、觀察想象中，重點引導學生觀察長方體的長、寬、高和小正方體之間的關系，說說自己是怎么想的，尤其是長和寬如何得到的。幫助學生加強對圖形內在關系的認知，建立正確的圖形表象，培養學生的空間觀念。

2.注重生活應用，加強數學閱讀，培養創新意識

教學中需要讓學生嘗試解決一些創新性的習題，學生在掌握知識技能的同時，經歷綜合運用與想象推理的過程，特別是綜合運用信息讀取能力、空間想象推理能力等多種能力。如習題2，教學中需加強數學閱讀，培養學生信息提取能力，綜合運用相關數學信息解決問題的能力。針對每個專題的數學教學內容，教師向學生推薦適合本學段學生年齡特點的數學百科課外知識，搭建展示交流的平臺，引導學生養成邊閱讀邊思考的好習慣。復習中，注重數學與生活的聯系，培養學生的創新意識和應用意識。針對某品牌“掃地機器人”設計長方體包裝盒，至少要用多少紙板的問題，讓學生想象包裝好以后的形狀，需要用到哪些數據。有效選擇相關的數據信息，根據數據信息想象出長方體長、寬、高。學生通過想象與說理，培養創新意識。

3.設計開放習題，滲透有序思維，培養推理能力

教學中要有意識地設計有一定思維含量的練習，讓學生體會思維的有序性與想象推理的作用。如習題3，此題是一個開放題，是長方體表面積知識的拓展運用，探索小正方體數量與長方體表面積之間的關系。首先，用幾個規格相同的小正方體拼一拼、看一看、說一說，拼的過程中仔細觀察，小正方體個數和表面積是怎么變化的。其次，從大長方體中去掉1、2、3、4、5 中的一個小正方體，發現表面積和個數是怎么變化的。如：去掉第1 個時，由于在頂點處，減少3 個面，同時也增加3 個面，其實就是表面積不變，第5 個和第1 個同理，表面積不增加的一個個逐一排除，表面積增加的一個個羅列出來。隨后繼續探討去掉2 個、3 個、4 個、5 個的情況，過程中引導學生想象去掉1個正方體的方法策略，反思去掉哪幾種可以增加表面積，對之前的學習經驗進行遷移運用。通過開放性練習，滲透有序思維，培養推理能力。