關于“數形結合”思想的再認與拓展

文|陳 昱（特級教師） 齊勝利

在近十年的“數學畫”教學實踐中，我們對賴以指導實踐的“數形結合”思想方法的內涵理解逐漸發生了變化。本文將嘗試論述對此的開拓性思考。

一、“數學畫”中的“形”

作為一種重要的數學學習方式，“數學畫”主要借助數形關系來輔助數學學習。那么，“數學畫”中的“形”到底是指什么？筆者將結合教學實踐針對“數學畫”中“形”的內涵從三個方面重新梳理。

首先，“形”是指有形的具體物，或具體物的形狀、形體，是現實世界中的空間形式進入數學世界之前的樣態，是水平數學化[1]的起點和基礎，是數學抽象的對象。有形的具體物既可以抽象成數學中的形，也可以抽象成數學中的數，比如一串9 顆的葡萄，可以抽象出球形、圓形，也可以抽象出數9 和1。從數學教育的角度看，有關這種水平數學化的教學，著力培育的是學生用數學的眼光觀察現實世界的核心素養。

其次，“形”也是數學中的幾何圖形和函數圖象等。其本身已是抽象概念，指點、線、面、體或者它們的集合[2]，成為數學的研究對象，但是仍然具有直觀性，所以可以利用其幾何直觀來輔助數學學習，尤其是以形助數來理解數方面的概念，或者發現和理解數量關系進而解決問題。比如畫線段圖輔助理解分數計算的算理，或者用矩形來表征乘法結構的方程，即利用矩形的長、寬和面積表征方程中的兩個因數和積，再依據矩形面積等于長乘寬的公式，看未知數x 所在位置是相當于面積還是邊長，再分別選擇除法或乘法來求出x 的值。俄羅斯某套數學教材的實施證實了這樣一個事實：有了線段圖和矩形圖這樣的直觀圖形的輔助，可以大大增進學生的數學理解，二年級學生就可以解出形如ax±b=c±dx 的一元一次方程（系數為正整數）[3]。當然也可以反過來以數解形，在幾何圖形或圖像的學習中引入數，使其量化和能夠被精確把握，比如我們在圖形與幾何領域的學習中大量使用方格紙或點子圖。

最后，“形”是表征思維的一切形狀、線條等，也包括抽象符號在內的一切符號，成為表征工具、表征手段。在這個層面上，作為表征工具的“形”幾乎涵蓋了所有“可視可見”的形象與符號，比如，要表征自然數5，可以畫5 根手指頭、5 個大蘋果，也可以畫5 個三角形、5 條線段，還可以涂抹5 片紅紅的色塊，畫5 個對勾……所以，我們說“畫計算”既可以是“圖形畫”也可以是“數字符號畫”。

二、再認“數形結合”

數形結合思想是通過數和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法，其應用大致可分為兩種情形：或借助于數的精確性、程序性和可操作性來闡明形的某些屬性，或借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：“以數解形”和“以形助數”，數學家華羅庚說過“數形結合百般好，隔離分家萬事休”。數形結合思想在小學數學四大領域的學習中都有非常普遍和廣泛的應用，主要有四個方面：利用“形”作為直觀工具幫助學生理解和掌握數學概念、解決問題，數軸及平面直角坐標系在小學的滲透，統計圖表和幾何概念模型，用代數（算術）方法解決幾何問題等[4]。“數學畫”教學通過五大課型的教學研究將數形結合思想應用到概念教學、計算教學、問題解決教學、復習教學、綜合實踐教學等多領域。

在“數學畫”中“形”的內涵梳理基礎上，反思“數學畫”教學理論依據之一的數形結合思想，可能就不僅僅非得局限于數學內部的數形關系，也可以延伸解釋數學與現實世界的關系，即從現實世界中的“有形具體物”抽象出數學世界的“數與形”及數學模型，再將數學知識應用于現實世界，去解釋和解決“有形”世界的問題。在這樣的不同過程中，“形”的含義也是不同的。這樣的思考并非是模糊不同概念和思想，使其內涵泛化，而是揭示了萬物關聯、萬法同宗、萬理通融的世界本質。

為了論述清晰，我們以兩組問題作為維度從數學內部重新梳理“數形結合”。

第一組問題：數從哪里來？形從哪里來？

顯然，這里的數與形是指數學內部的數形概念，如前所述，數與形均來源于現實世界，即數與形具有同源性。因此，數與形之間存在著天然的聯系，本來就是從不同角度解釋現實世界。

第二組問題：數有什么特點？形有什么特點？

既然數與形是從不同角度解釋現實世界，那它們必然存在差異性，具有各自的特點。一般認為，數具有精密性和內隱性；而形具有模糊性（或者說，形的精確性需要借助數來彰顯）和直觀性，所以數與形不僅存在差異性，而且具有互補性。

有人認為，數比形更加抽象。其實，抽象程度不是它們的本質差異；從某種意義上說，數與形都是抽象的，或者說，進入數學世界的概念必然經由抽象的加工。例如形之點、線、面，例如數之1、2、3。

數與形既有關聯，又有差異，可以相互轉化。這就引出我們十分熟悉的兩種情形，或者說數形結合的兩個方面，即“以形助數”和“以數解形”。前者是借助形的直觀性來克服數的內隱性，后者是借助數的精確性來補足形的模糊性。稍微具體一點說，在教學實踐層面，以形助數做的是輔助概念理解、問題解決和思維進階，形是表，數是里；以數解形指的是洞悉本質，量化而精確把握對象，解是解析。

人的認知存在差異，有人偏向形、敏感形，有人熟悉數、敏感數，數形結合給予不同人全面、深刻理解世界的機會和途徑，而不至于固步自封、囿于狹隘。

三、拓展“數形結合”

從教育理論與教學實踐的關系角度出發，我們希望理論能給予實踐更適切的指引與服務；或者說，基于教學實踐的需要，我們有時候會期望拓展理論的適用邊界，使其匹配實踐的廣度。

在“數學畫”教學實踐中，“形”的內涵已經由數學世界的“幾何圖形和函數圖像”向內外兩個方向作出了延伸。一方面向現實世界延伸出“具體物的形狀、形體”義，一方面向數學世界更高抽象領域延伸到“一切符號”義。

自然地，在“數學畫”教學實踐中，“數”的內涵首先是數概念，以及表征數概念的數字符號。數，是數學中最基本的概念之一，在人類文化發展的最初階段，為了計量物體個數，基于對應原理產生正整數概念，隨著社會生產的發展和人類生活的需要，數的概念不斷推廣，產生分數、零、負數、無理數、虛數等，直到19世紀末，數系理論的建立工作基本完成；數字，亦稱數碼，指用以記數的符號或文字，其產生、形成與統一也經歷了一個漫長的過程[2]。數字具有“數形二重屬性”，即數字既具有數的屬性，又具有形的屬性。舉一個典型的例子，“找規律，寫答案”：1111=0，1289=3，2256=1，3388=4，9090=4，1868=？顯然此例是拋棄了這些數字的數概念屬性，從形上找規律，從而轉變成“數圈圈”游戲。與“形”類似地，“數”的內涵也發生延伸，泛指一切數學知識、數學規律，有時候代指包括數學內部之“形”在內的整個數學世界。

所以，從廣義上說，“數”指包括數學內部之“形”的整個數學世界；“形”指包括現實世界的“形體”“形狀”等有形之物、數學世界的“幾何圖形”“函數圖象”等有形之形，也包括數學世界第一、二次抽象后得到的有形之符號。從廣義上看，“數”與“形”不僅有聯系，也有交叉，在具體的語境中具有不同的具體內涵。

與之相對應的，數形結合思想也需要作出類似的內涵延伸，這也可以在兩個方面進行。

（一）外部延伸：“由形到數”與“由數到形”

數形結合在數學外部方面的延伸主要有兩個方向，一是“由形到數”，即從現實世界具有“形體”“形狀”之有形具體物向數學世界“幾何圖形”“函數圖象”和數概念的轉化。這種轉化也被稱為水平數學化，是從現實世界到數學世界的第一次抽象，這一過程是廣義上的形數轉換。小學數學學習內容中有相當大比重都屬于這一過程，幾乎囊括了小學階段所有的數學概念及數量關系學習、規律認識。比如，由“樹上5 只小鳥，飛走2 只，還剩3 只”的現實故事得出“5-2=3”的算式，以及關于加減法的“拿走”模型[5]；或者由現實生活中習見的國旗、桌面、課本面、門窗等形狀抽象出“長方形”概念。

數形結合在數學外部方面延伸的另一個方向是“由數到形”，即從抽象概括的數學世界的數學模型到有形的現實世界的應用。這一廣義上的數形轉換也涵蓋了小學數學學習中問題解決的所有內容。比如，運用加減法的“拿走”模型解決生活中此類問題，運用長方形概念和特征輔助解決在學校操場布置運動會隔離帶和座椅等問題。

（二）內部延展：“數符演進”

除了外部延伸，數形結合在數學內部的內涵延展表現為“數符演進”，即“在符號的世界里，符號的生成、重塑和被使用[6]”，也就是垂直數學化[1]，是水平數學化之后進行的數學化，是第二次抽象過程。像數字符號一樣，一切數學符號都具有“數形二重屬性”。“數符演進”更多是在數屬性上的更高抽象層次的認知深化過程。

綜上所述，基于“數學畫”教學實踐的現實需求，數形結合思想在原有“以形助數”和“以數解形”基礎上，在“數”與“形”概念內涵的拓展前提下，突破數學內部數形關系的限制，在現實世界與數學世界的背景上延伸出“由形到數”“由數到形”和“數符演進”三種樣態，初步實現其內涵拓展。