以“數量關系”撬動學生數學素養的提升
——兼評兩則《加法數量關系》教學設計

文|周衛東（特級教師）

數量關系是運用數與符號對現實世界中的數量之間的關系、性質或規律的表達，是解決問題的核心。數學課程經歷多輪改革，數量關系始終是數學教學的核心內容。在當前素養導向的新課程改革背景下，數量關系的教學內容做了哪些調整？又承載著怎樣的育人價值？可以通過何種教學路徑達成素養提升呢？

一、厘清數量關系的內涵及其育人價值

（一）數量關系的內涵

數量是現實問題中的客觀存在，任何事物都具有數量屬性。其中量是物質的屬性，量又存在兩種類型，其中廣延量是可以直接度量的量，如長度、高度等；強度量則指無法直接測量的量，如速度、溫度等。而數是經由度量產生的結果，是用來描述量的語言工具。數量之間存在著多元的關系，如大小關系、順序關系、相等關系、包含關系等，其中相等關系和不等關系是數量關系的主要表現形式，小學階段主要探討的是相等關系。

由此可見，數量關系是學生以定量運算的方式在頭腦中建構的關于量之間的關系結構，而數是用來計算量的值的工具。因此，數量關系與數的運算也有著緊密的聯系。如上圖所示，運算的意義是現實問題中數量關系的反映，如加法表示兩個數量的合并，而運算的結果則是以定量的方式實現了問題解決。其中，數量關系是解決問題的核心，是溝通數學與現實世界的橋梁。

（二）數量關系主題的編排特點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中首次以“結構化整合”的方式，將“常見的數量關系”“式與方程”“正比例、反比例”“探索規律”以及運用四則運算的意義解決問題等內容統整為“數量關系主題”，該主題呈現出下面兩個顯著的特征。

1.由零散到結構。原有零散的教學內容以數量關系為主線進行了結構化重組，并依據學生的認知邏輯分為了三個學習階段（如下圖）。第一學段著力于運用運算意義的學習，第二學段著力于數量關系的提煉，第三學段著力于用字母表示關系或規律。其中，“建立模型”階段最為關鍵，既是對前一學段運算學習經驗的概括和總結，也是后續進一步形成一般化表達、發展代數思維的基礎。

2.由內隱到外顯。學習內容的結構化呈現，更加凸顯了原本隱含其中的本質特點，使以“暗線”形式存在的數量關系得以外顯，數量關系的學習過程也更加完備。作為教學任務的數量關系，進一步凸顯了數學模型在解決現實問題中的意義，并關聯抽象和推理能力，促進了學生數學素養的全面提升。

（三）數量關系的育人價值

數量關系的學習使學生能夠以定量的方式認識和理解世界，不僅是有效解決問題的一種方法，更是一種理性思維的體現，有助于學生深刻認識問題本質，對其發展意義重大。從學生學習的過程來看，數量關系學習的核心是模型建構。在小學階段，數學模型的建構不應只是一個以模型為目標的“硬件”，更應該是一個從問題情境中提煉數學要素、確定關鍵元素、發現關鍵元素之間的關聯，并逐步做出數學表達的“軟件”。在這個過程中，數學語言是不可或缺的成分，并且在發現、醞釀、提煉和選擇數學語言，建構數學模型的過程中也離不開抽象和推理能力的支持。因此，數量關系的教學可以以一種完整的方式支持學生數學素養的全面提升，在數量關系的教學中應該著力關系的發現，將生活問題在逐層抽象中完成數學化，培養學生數學的眼光；著力關系的理解，以運算能力和推理意識為底色，發展學生數學的思維；著力關系的應用，以數學的方式描述和認識真實世界，深化學生數學的表達。

二、以“數量關系”撬動學生數學素養的提升

加法數量關系的建構應基于學生已有的、大量的利用加法運算解決問題的經驗。因此，教學的第一步應該是提供一組有關聯但又形式不同的情境，促使學生理解情境、激活經驗、感知關系，發現紛繁復雜的大千世界中蘊含著內在規律，這一抽象的過程發展了學生數學的眼光。在明晰數量關系的階段，學生首先需要借助符號和圖示表征數量關系，經歷運用符號表示數量、關系和一般規律的過程，發展符號意識；而感受幾何直觀在把握問題本質、明晰思維路徑中的價值，則發展了幾何直觀素養；在運用模型解決實際問題的過程中，又進一步培育了應用意識和創新能力。

“加法數量關系”是2022年版課標在第二學段“數量關系”中新增的內容，旨在幫助學生在理解加法運算含義的基礎上，逐步認識并掌握“總量=分量+分量”這一加法模型的本質。顧悅老師的《著力培養學生的模型意識》（后簡稱設計一）和江曉麗老師的《提供多維支架 促進深度理解》（后簡稱設計二），可以讓我們全面而深入地理解“加法數量關系”，進而引發我們進一步思考如何科學且有效地實施“數量關系”的教學。

（一）多層抽象，經歷建模過程

1.基于具體情境和加法學習的已有經驗，完成了對具體數量關系式的抽象。“模型思想就是用數學的語言講述現實世界的故事，數學模型構建了數學與現實世界的橋梁。”兩則設計都以“情境串”的方式把學生帶到具體的現實生活場景中。設計一借鑒了2022年版課標第105 頁例13 中的素材，而設計二則編擬了課后服務“15 分鐘教育圈”美術社團的素材。盡管題材不同，但都以復式統計表呈現的方式，激活了學生已有的加法經驗，在稍復雜的現實情境中激活學生已有的經驗和知識儲備，形成了三道指向具體且各不相同的加法數量關系式，為更為上位的抽象概括和模型建構提供了“結構化”的基礎材料。

2.基于數量關系式共性的提取，完成了對加法模型本質的兒童化表征。數學模型的教學采取“告知”和“灌輸”都是不可取的，必須要有學生的“在場”，以學生理解召喚學科本質。這個階段，學生會形成一些對問題試探性的理解和本真化的表達，是數學模型的“中間”環節。這些多元表征盡管是零散的、粗糙的，卻正是他們對數學本質的首次直覺，包含著豐富的教學價值，是值得珍視和加工的素材。兩則設計深諳此道。設計一，圍繞“星期六上午一共有多少人參觀”，讓學生列式后畫一畫用加法做的道理；設計二，圍繞三個不同的加法數量關系式，提出“它們有沒有共同特點？”這一大問題，讓學生寫一寫、畫一畫，來提取幾道具體數量關系式的共同元素，學生表征的這些“半成品”，都成為教學現場的第一手材料。

（二）多元素材，豐厚模型理解

學生能否理解數量關系取決于是否能經由量的識別與關聯在頭腦中建構起關系網絡，教師在支持學生理解關系的全過程中，應鼓勵學生學會講道理，進行有條理地思考和表達，這些都指向了推理意識的發展。

1.涵蓋全面，注重推理。放眼抽象過程，兩則設計都提供了多元的加法情境，在保留2022年版課標例13“合并型”素材的基礎上，又融入了不同類型，即“添加型”和“還原型”，并在練習中突破“比較型”這一難點。看似不同的素材和類型豐富了學生對加法數量關系的感受，為后續提取共性、建構模型提供了豐富的資源。學生在自主解決這些問題的過程中，初步感知了加法數量關系，形成了提取數量關系的邏輯雛形，為后續引領學生逐步剝離具體情境，在對比分析中接近數學本質提供了經驗支持。兩則教學在環節的設計上稍有不同。設計一在課始提供的三個情境都是“合并型”，而設計二在課始提供的三個情境包含“合并型”“還原型”和“添加型”。兩種設計各有特點，前者聚集同一類型，學生容易理解、發現本質特征，“兒童味”更濃；后者涵蓋的類型多，抽象出來的特征更具有普適性，“數學味”更濃。

2.挖掘價值，深化理解。同樣的素材在不同的視角下會彰顯不同的教學價值。好的教學素材不在于多，而在于精，起到“以一當十”的效果。兩則設計都能充分體現這一特點，在情境串的導引下，讓多種內隱的目標“顯山露水”。第一，讓學生理解“分量的層級累加可以得到更大的分量”。設計一在最后的練習階段，設計了食堂采購魚、肉、雞蛋三種葷菜的情境，讓學生感受分量不止兩個，可以通過分量疊加的方式進行合并，最后得到數學規定中的兩個分量；而設計二則創設了為“三（1）班有多少人”選條件的問題，在條件③和條件⑤中的數據相加得不到全班39 人的沖突狀態下引發學生思考，得到“分量之和必須與總量相等”“一個總量也可以對應多個分量”“分量的層級累加可以得到更大的分量”等高階元素。第二，讓學生理解“相同總量，分類標準不同，分量也不同”。設計一讓學生解答“星期六一共有多少人參觀”，設計二則引導學生思考“美術社團共有多少人參觀”，這兩個問題都可以從不同角度思考，進而讓學生理解“相同總量，分類標準不同，分量也不同”的特點。第三，讓學生理解“同一個數量在不同情境中既可能是總量，也可能是分量”。如設計一讓學生思考“解決第一個問題時，星期六上午的人數是總量，到了第三個問題為什么它卻變成了分量？”“星期六一共參觀的人數還有可能是誰的分量？”等問題，這樣的教學，讓學生對加法模型的理解具體入微、逐漸深入。

（三）多維應用，凸顯模型價值

在應用環節，數量關系的教學應采用多樣的形式促進學生對數量關系的理解走向深入，使其感受數量關系的統攝價值和普適價值，領略數學表達的高度凝練與包羅萬象，進一步提升學生的模型意識和應用意識。

1.減法模型的推衍。在運用環節，相同素材不同維度的深挖，讓模型的普適價值盡顯。如對減法模型的推理和運用。在數量關系中，加法是四則運算的基礎，更是構筑數學知識大廈的基石。兩則設計都以加法數量關系為根基，進一步通過“逆推”的思想延展出減法。當學生借助自主表征，逐步理解加法數量關系的內涵之后，借助模型直接推導分量和總量之間的關系。如設計二，在教學中追問“求總量我們用加法，那如果已知總量和其中一個分量，求另一個分量，該怎么辦呢？”直接推理出“分量=總量－分量”，再引導學生回歸現實素材，將加法問題改編為求分量的兩類減法問題，這樣，讓學生經由逆向推理的過程，進一步勾聯模型的外部關聯。

2.分量類型的拓展。兩則設計都能在練習階段強化數量關系的深刻內涵，讓學生充分感受看似“小兒科”的加法問題后面竟然涵蓋著如此豐富的內涵，從而體會數學的無窮魅力。比如設計二，精心設計了為“三（1）班的總人數”這一總量尋找分量的開放情境，讓學生不僅在“關系識別”中運用了各類“加法模型”，也達成了對乘加的再度理解、對“多個分量”的高度抽象、以及對各分量“不重不漏”的深刻認識。這樣的深度教學，讓學生對加法模型的理解走向深入，并進而震撼于加法模型的統攝價值和普適價值，感慨于數學表達的高度凝練與千變萬化。