提供多維支架 促進(jìn)深度理解
——《加法數(shù)量關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

文|江曉麗

【教學(xué)內(nèi)容】

加法數(shù)量關(guān)系“總量=分量+分量”，適用于三年級(jí)學(xué)生。

【教學(xué)過(guò)程】

一、豐富素材，拓寬研究視野

師：課后服務(wù)“15 分鐘教育圈”讓我們的社團(tuán)學(xué)習(xí)從校內(nèi)走向了校外，上周學(xué)校就組織美術(shù)社團(tuán)的同學(xué)去美術(shù)館觀看了主題為“花卉靜物三百年”的展覽。觀展體驗(yàn)非常好，同時(shí)他們還發(fā)現(xiàn)了這樣幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)校美術(shù)社團(tuán)赴美術(shù)館觀展人數(shù)統(tǒng)計(jì)表

問(wèn)題1：版畫社團(tuán)一共有多少人去觀看展覽？

問(wèn)題2：為支持青年藝術(shù)家的創(chuàng)作，美術(shù)館專門開(kāi)辟了一個(gè)青年藝術(shù)家的作品售賣區(qū)，本期藝術(shù)家作品已經(jīng)賣出32 幅，還剩16幅，請(qǐng)問(wèn)原來(lái)有多少幅作品？

問(wèn)題3：展覽后，學(xué)校邀請(qǐng)了一位青年藝術(shù)家到校開(kāi)設(shè)“創(chuàng)意繪畫”專題講座，同學(xué)們報(bào)名的熱情高漲。三（1）班原有33 人報(bào)名參加，后來(lái)又增加了6 人參加，三（1）班現(xiàn)在有多少人參加？

師：你能列式計(jì)算，解決這三個(gè)問(wèn)題嗎？

生：16+23=39（人）。

生：32+16=48（人）。

生：33+6=39（人）。

【設(shè)計(jì)意圖：“15 分鐘教育圈”是南京市玄武區(qū)教育局基于南京豐富的場(chǎng)館資源提出的課后服務(wù)的創(chuàng)新之舉，問(wèn)題情境是學(xué)生生活的真實(shí)事件，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中不僅感受到場(chǎng)館學(xué)習(xí)對(duì)于藝術(shù)素養(yǎng)的熏陶和啟迪，而且能感受到整個(gè)社會(huì)對(duì)藝術(shù)發(fā)展的關(guān)照和支持，以及藝術(shù)是全人類共同語(yǔ)言的美好情感。這樣的問(wèn)題情境容易引發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的親近感，喚醒學(xué)生關(guān)于加法的已有經(jīng)驗(yàn)。從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，本題的三個(gè)情境依次呈現(xiàn)，分別對(duì)應(yīng)著“合并型”“還原型”和“添加型”，拓寬了加法模型的外延。引發(fā)學(xué)生自然地思考：?jiǎn)栴}不同，為什么都可以用加法來(lái)解決呢？背后會(huì)不會(huì)有什么相同的地方呢？事件真實(shí)、數(shù)據(jù)合理、素材多元的問(wèn)題情境有效支持了學(xué)生愉悅且不失挑戰(zhàn)地探尋數(shù)學(xué)與思維之美。】

二、搭建支架，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)

1.解決問(wèn)題，抽象數(shù)量關(guān)系式

師：三個(gè)問(wèn)題各不相同，為什么都能用加法解決呢？我們以第一個(gè)問(wèn)題為例，說(shuō)說(shuō)你的想法。

生：因?yàn)橐蟀娈嬌鐖F(tuán)的人數(shù)，就是要把社團(tuán)里男生的人數(shù)和女生的人數(shù)合起來(lái)。

師：是的，版畫社團(tuán)的人數(shù)=男生的人數(shù)+女生的人數(shù)（板書(shū)呈現(xiàn)此數(shù)量關(guān)系），這就是第一個(gè)加法問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。

師：?jiǎn)栴}2、3 你也能像這樣說(shuō)一說(shuō)它們的數(shù)量關(guān)系嗎？

（先同桌互說(shuō)，再交流匯報(bào)）

生：原來(lái)的作品數(shù)量=已經(jīng)賣出的數(shù)量＋還剩的數(shù)量。

生：現(xiàn)在三（1）班參加的人數(shù)=原來(lái)參加的人數(shù)＋后來(lái)增加的人數(shù)。

2.回歸生活，提取豐富的素材

師：生活中這樣的問(wèn)題還有很多，你能編一道用加法解決的問(wèn)題，并說(shuō)說(shuō)它的數(shù)量關(guān)系嗎？跟你的同桌先交流一下。

（學(xué)生自主列舉一些生活中的加法問(wèn)題）

師：生活中這些加法問(wèn)題都能說(shuō)出像剛剛那樣的加法數(shù)量關(guān)系嗎？

生：能。

師：這些加法數(shù)量關(guān)系說(shuō)得完嗎？

生：說(shuō)不完。

（板書(shū)添加：……）

3.嘗試歸納，自主表征關(guān)系

師：這么多數(shù)量關(guān)系看上去各不相同，可都能用加法解決，它們有沒(méi)有共同特點(diǎn)？你能不能用一個(gè)式子或一幅圖，把這么多的加法數(shù)量關(guān)系的共同特點(diǎn)表示出來(lái)？

（學(xué)生拿出《研究單》，寫一寫或畫一畫。教師巡視，收集并展示三幅典型作品）

師：這三幅作品，都能把數(shù)量關(guān)系的共同特點(diǎn)表示出來(lái)嗎？

要求：選擇一幅作品，具體說(shuō)說(shuō)是怎么表示數(shù)量關(guān)系的共同特點(diǎn)的。

（學(xué)生先獨(dú)立思考，再在組內(nèi)交流，然后全班交流）

生：圖1 是說(shuō)這幾道題都表示把兩個(gè)部分合起來(lái)得到一共的數(shù)量。

圖1

生：圖2 就是把等式換成圓圈和連線來(lái)表示了，圖3 就是把圖1 的文字換成了圖形，其實(shí)三幅圖表示的意思都一樣。

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

4.提取要素，建構(gòu)加法模型

師：真會(huì)比較，是的，這三幅圖有的是用文字來(lái)表示，有的是用圖形來(lái)表示，但是意思確實(shí)一樣。我們先來(lái)看第一個(gè)式子，這里的“一共的個(gè)數(shù)”我們可以叫作“總量”，這“一部分”就是“總量”里的“分量”，“另一部分”也是“分量”。那這三者有什么關(guān)系呢？

生：總量=分量+分量。（板書(shū)）

師：后兩幅作品里能看到總量、分量和分量嗎？與同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：在圖3 里，如果去掉后面兩個(gè)圖，就在等號(hào)左邊這一個(gè)圖里，還能看到總量和分量嗎？

生：能，整個(gè)圓形就是總量，左邊是分量，右邊也是分量。

師：真有洞察力。瞧，數(shù)學(xué)上就是用這樣一幅圖來(lái)表示的，你們的理解很棒！（出示加法模型的集合圖）

師：剛剛我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了這些數(shù)量關(guān)系，找到了它們的共同特點(diǎn)，還用這樣一幅簡(jiǎn)潔的圖來(lái)表示。這就是我們今天研究的加法數(shù)量關(guān)系。（揭示課題：加法數(shù)量關(guān)系）

【設(shè)計(jì)意圖：“三個(gè)問(wèn)題各不相同，為什么都能用加法解決呢？”本環(huán)節(jié)的第一次追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合每一個(gè)問(wèn)題說(shuō)出具體的數(shù)量關(guān)系式。三個(gè)例子喚醒了學(xué)生對(duì)于生活中加法數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生舉例，為接下來(lái)的觀察比較、分析概括、梳理共性積累了更豐富的素材。隨即，教師進(jìn)行第二次追問(wèn)“這么多數(shù)量關(guān)系看上去各不相同，可都能用加法解決，它們有沒(méi)有共同特點(diǎn)？”并通過(guò)《研究單》提供“寫一個(gè)式子”或“畫一幅圖”這樣的思維表達(dá)的支架，支持學(xué)生嘗試自主表征，完成兒童化的抽象。最終學(xué)生在全班交流討論中，共同完成加法模型的抽象，并且驚喜地發(fā)現(xiàn)自己的理解與數(shù)學(xué)家的表達(dá)是如此高度的相似。本環(huán)節(jié)，通過(guò)兩次追問(wèn)搭建了學(xué)生“異中求同”的思維支架，通過(guò)“寫一個(gè)式子”和“畫一幅圖”有效支持了學(xué)生關(guān)于加法數(shù)量關(guān)系的自主建構(gòu)，收獲了與數(shù)學(xué)家“一致理解與表達(dá)”的成就感。】

三、開(kāi)放練習(xí)，在運(yùn)用中深度理解

1.深入理解“總量”與“分量”的關(guān)系

（1）理解“分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分量不同”

師：讓我們帶著對(duì)加法的新認(rèn)識(shí)繼續(xù)來(lái)解決問(wèn)題，回到第一個(gè)問(wèn)題，根據(jù)表格中的信息，你能提出一個(gè)更復(fù)雜的加法問(wèn)題嗎？

生：美術(shù)社團(tuán)一共有多少人參觀？

師：你會(huì)用今天我們研究的加法數(shù)量關(guān)系來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)=線描寫生社團(tuán)的人數(shù)+版畫社團(tuán)的人數(shù)。

生：美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)=男生的人數(shù)+女生的人數(shù)。

師：同一個(gè)總量，為什么會(huì)有不同的分量？

生：因?yàn)橐环N是按照社團(tuán)種類來(lái)分的，一種是按照男女生來(lái)分類的。

生：因?yàn)榉诸惖臉?biāo)準(zhǔn)不同，所以同一個(gè)總量會(huì)產(chǎn)生不同的分量。

（2）理解“不同情境中，此分量可能是彼總量”

師：版畫社團(tuán)的人數(shù)在這里是分量，在上一個(gè)問(wèn)題中卻是總量，這是為什么呢？

生：因?yàn)閮深}的問(wèn)題不同呀，在這道題里，總量是美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)，所以版畫社團(tuán)的人數(shù)是它的分量。

師：是的，同一個(gè)量，什么時(shí)候是分量，什么時(shí)候是總量，需要具體問(wèn)題具體分析。

（3）理解“分量=總量-分量”

師：已知兩個(gè)分量，求總量我們用加法，那如果已知總量和其中一個(gè)分量，求另一個(gè)分量，該怎么辦呢？

生：求其中一個(gè)分量，可以用總量減去已知的一個(gè)分量。

2.感受模型的普適價(jià)值

師：三（1）班有多少人？你能從老師帶來(lái)的信息中選擇兩個(gè)合適的條件并解決這個(gè)問(wèn)題嗎？請(qǐng)仔細(xì)閱讀活動(dòng)要求。

（1）理解“比較型”中的數(shù)量關(guān)系

師：誰(shuí)愿意和大家說(shuō)一說(shuō)你是怎么選的？

生：我選的是①號(hào)和⑥號(hào)。

師：選擇“三（1）班比三（2）班多4 人”和“三（2）班一共有35人”兩個(gè)條件，能解決問(wèn)題嗎？請(qǐng)列式解決，想一想這里把什么看作總量，誰(shuí)是它的兩個(gè)分量？

生：三（1）班人數(shù)是總量，三（2）班人數(shù)是一個(gè)分量，三（1）班比三（2）班多出來(lái)的4 人是另一個(gè)分量。

生：我覺(jué)得不對(duì)，三（2）班的人數(shù)怎么會(huì)是三（1）班人數(shù)的分量呢？

生：你們看這個(gè)線段圖，我覺(jué)得第一個(gè)分量應(yīng)該是三（1）班與三（2）班相等的人數(shù)。

師：借助線段圖，理清了關(guān)系，找到了準(zhǔn)確的說(shuō)法，為你們點(diǎn)贊！

（2）借助乘加問(wèn)題，深入理解加法模型

生：我選②號(hào)和④號(hào)。

師：選擇“三（1）班前3 組每組有10 人”和“三（1）班最后的第4 組有9 人”可以嗎？這個(gè)時(shí)候，分量是誰(shuí)呢？

生：“三（1）班前3 組共30人”是一個(gè)分量，“三（1）班最后的第4 組有9 人”是另一個(gè)分量。

師：看來(lái)，把“三（1）班前3 組每組有10 人”當(dāng)作一個(gè)整體，它就是一個(gè)分量。

（3）感受總量里可以有多個(gè)分量

師：還有不同的選法嗎？

師：“三（1）班周三下午有16人參加舞蹈組”和“三（1）班周三下午有10 人參加體育組”這兩個(gè)信息為什么不選呢？

生：因?yàn)樗鼈兗悠饋?lái)才26 個(gè)人，人數(shù)不夠啊。

生：應(yīng)該還漏了別的信息，三（1）班周三下午應(yīng)該還有人去參加了別的社團(tuán)，比如足球隊(duì)、合唱團(tuán)等等。

師：那樣的話，你覺(jué)得會(huì)有幾個(gè)分量呢？

生：可能是3 個(gè)、4 個(gè)，或者很多個(gè)。

師：很有道理，可是今天學(xué)習(xí)的加法數(shù)量關(guān)系式：總量＝分量＋分量，為什么只有兩個(gè)分量呢？

生：這是一種簡(jiǎn)潔的概括，總量里的分量可以有若干個(gè)，但是寫出2 個(gè)我們就明白意思啦。那要不然寫多少個(gè)合適呢？

生：像上一題的“三（1）班前3組每組有10 人”，其實(shí)就是把3個(gè)小分量合并成了一個(gè)大一點(diǎn)的分量，所以有些分量是可以合并的，關(guān)系式寫2 個(gè)分量就可以啦。

師：道理說(shuō)得很清楚，真棒！

【設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題情境，在“挑選合適條件”的思辨中，逐步理解“總量”與“分量”關(guān)系的特點(diǎn)，比如“因?yàn)榉诸悩?biāo)準(zhǔn)不同，同一個(gè)總量，可以由不同的分量組合而成。”“不同情境中，此分量可能是彼總量”，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，自主推理出“分量=總量-分量”。同時(shí)進(jìn)一步深化對(duì)加法模型內(nèi)涵和外延的理解，比如在練習(xí)中借助“線段圖”這一思維支架，有效突破“比較型”中的兩個(gè)分量如何準(zhǔn)確表達(dá)這個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。理解“乘加混合的數(shù)量關(guān)系”也包含在“總量=分量+分量”這個(gè)加法數(shù)量關(guān)系里，理解一個(gè)總量可以由多個(gè)分量“不重不漏”組成。開(kāi)放情境，開(kāi)放了思維空間，讓不同水平的學(xué)生都可以給出自己的理解，也讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平得以在對(duì)話交流中實(shí)現(xiàn)躍遷，實(shí)現(xiàn)了“在運(yùn)用中深入理解”這一鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)的初衷。】

四、回顧歷程，梳理認(rèn)識(shí)方法

師：一起回顧今天的學(xué)習(xí)歷程。我們先解決了生活中的真實(shí)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了不同的問(wèn)題都可以用加法來(lái)解決；接著通過(guò)觀察比較、自主創(chuàng)造、全班交流，發(fā)現(xiàn)了不同問(wèn)題背后相同的加法數(shù)量關(guān)系；最后在運(yùn)用中又進(jìn)一步加深了對(duì)加法數(shù)量關(guān)系的理解。我們?cè)趯W(xué)習(xí)很多內(nèi)容時(shí)，都會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程。

【設(shè)計(jì)意圖：借助課件，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回顧學(xué)習(xí)歷程，感受認(rèn)識(shí)新事物的一般路徑，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。】