發(fā)展量感三部曲：建構(gòu)—體驗(yàn)—想象
——以“大面積單位”教學(xué)為例

文|俞可揚(yáng)

建立并發(fā)展量感是學(xué)生形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在課堂教學(xué)中，學(xué)生對(duì)無(wú)法直接體驗(yàn)的大計(jì)量單位接受程度不高。那么，如何在“大面積單位”教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的量感呢？下面筆者以“公頃和平方千米”教學(xué)為例，依據(jù)教材編排的一致性和學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展性，試圖在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建構(gòu)、體驗(yàn)、想象中逐步發(fā)展量感；在聯(lián)結(jié)體驗(yàn)、推想疊加中探尋大面積單位量感建構(gòu)的教學(xué)策略。

【問(wèn)題背景】

“公頃”和“平方千米”作為極大的面積單位，由于學(xué)生體驗(yàn)少，日常使用頻率低，與學(xué)生實(shí)際生活關(guān)聯(lián)性低，因而教學(xué)效果不佳。根據(jù)筆者在教學(xué)“公頃和平方千米”后的學(xué)情后測(cè)情況分析，主要有以下問(wèn)題：

一是單位感知難。對(duì)于平方米等較小的面積單位，學(xué)生感知較為清晰，但對(duì)較大的面積單位概念則比較模糊，特別是“公頃”和“平方千米”這兩個(gè)單位易混淆，估測(cè)能力較弱。

二是名數(shù)換算難。學(xué)生對(duì)同屬性跨度較大的名數(shù)換算較困難，會(huì)受單位前數(shù)據(jù)特點(diǎn)的干擾，相隔較遠(yuǎn)的單位之間的換算要考慮中間單位，十分易錯(cuò)。

三是序列建立難。作為面積單位教學(xué)的結(jié)束課，近40%的學(xué)生沒(méi)有將公畝納入其中，不理解公頃和平方米之間的進(jìn)率為什么是10000，存在遺漏、順序錯(cuò)誤、進(jìn)率標(biāo)注錯(cuò)誤等情況。

【歸因分析】

計(jì)量單位本身很抽象，尤其是大計(jì)量單位，學(xué)生接觸機(jī)會(huì)少，經(jīng)驗(yàn)積累缺乏，教材編排分散。在人教版數(shù)學(xué)教材中，大計(jì)量單位的教學(xué)主要分布在三年級(jí)和四年級(jí)上冊(cè)，涉及“千米、噸、公頃、平方千米”這幾個(gè)單位。

從度量對(duì)象和度量單位選擇看，千米和噸都是可直接感知的熟悉的素材，公頃和平方千米卻沒(méi)有相應(yīng)的生活具象作為支撐，需要間接描述，借助度量單位累加來(lái)建立大單位的概念。但從度量結(jié)果呈現(xiàn)看，千米和噸能夠通過(guò)組織實(shí)地感知來(lái)積累相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，但公頃和平方千米組織實(shí)地感知難度較大，教學(xué)中僅依賴(lài)面積單位界定的一致性去機(jī)械理解。

【策略探尋】

一、有效建構(gòu)，把握大面積單位量的概念

度量單位的形成主要有兩類(lèi)途徑：一類(lèi)是通過(guò)抽象得到,是人思維的結(jié)果；另一類(lèi)是借助工具得到,是人實(shí)踐的結(jié)果。因而建構(gòu)量感需要一定的經(jīng)驗(yàn)積累，汲取原有面積單位學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，致力充分體驗(yàn)，清晰建立“量”的表象。

1.課始聯(lián)結(jié)，激活大面積單位的方法意識(shí)

課堂伊始，梳理已學(xué)面積單位，將零散的“點(diǎn)”狀知識(shí)，放入知識(shí)“軸”中，開(kāi)展聯(lián)結(jié)，在知識(shí)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程中讓學(xué)生感受需要更大面積單位的必要性。

【片段一】

師：學(xué)校占地面積大約是3（），你能填上合適的單位嗎？

預(yù)設(shè)：公頃或平方千米。

師：為什么不用之前的面積單位呢？以前學(xué)過(guò)哪些面積單位？

學(xué)生依次介紹學(xué)過(guò)的面積單位的大小、進(jìn)率，教師板貼（圖1）：

圖1

師：大家都認(rèn)為已經(jīng)學(xué)過(guò)的面積單位都太小了，這節(jié)課我們就來(lái)認(rèn)識(shí)比它們更大的面積單位：公頃和平方千米。

學(xué)生介紹已學(xué)的面積大小的過(guò)程，實(shí)際上也是一個(gè)回顧面積知識(shí)框架的過(guò)程，由點(diǎn)連軸，發(fā)現(xiàn)面積單位界定的一致性，喚起學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激活方法意識(shí)。

2.課末聯(lián)結(jié)，完善量的結(jié)構(gòu)體系

大計(jì)量單位的教學(xué)都是該屬性單位教學(xué)的結(jié)束，往往與前面其他單位的學(xué)習(xí)有一個(gè)間斷過(guò)程，需要將大計(jì)量單位納入到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，強(qiáng)調(diào)“計(jì)量單位”的產(chǎn)生與關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化思維。

【片段二】

師：現(xiàn)在把這兩個(gè)新學(xué)的面積單位也放入面積單位軸里，你能把它們的進(jìn)率補(bǔ)充完整嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

小結(jié)：相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率都是100，只是生活中不太常用公畝，所以只記憶平方米到公頃的進(jìn)率。它們的進(jìn)率是多少？（10000）你記住了嗎？

展示板貼：

在全課總結(jié)環(huán)節(jié)，再次聯(lián)結(jié)，將課堂開(kāi)頭的“面積單位軸”（圖2）補(bǔ)充完整。這樣既溝通了面積單位之間的關(guān)系，也理清了一維的長(zhǎng)度和二維的面積之間的關(guān)系，形成整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過(guò)系統(tǒng)化感悟和體驗(yàn)，為體積單位的學(xué)習(xí)積累了經(jīng)驗(yàn)。

圖2

二、三重體驗(yàn)，建立大面積單位的真實(shí)表象

量感是由情境決定的。在具體教學(xué)中，從學(xué)生身邊最熟悉、可感知的事物出發(fā)，通過(guò)三次由淺入深的體驗(yàn)活動(dòng)，親歷由較小面積到較大面積的累加過(guò)程，為“1 公頃”和“1 平方千米”的自主建構(gòu)積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。

第一重體驗(yàn)——課件出示：40 名同學(xué)圍成邊長(zhǎng)10 米的正方形，面積是1 平方十米（圖略）。引導(dǎo)性問(wèn)題：用這樣的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，微格教室大約有多大？

第二重體驗(yàn)——課件出示：沿跑道走400 米，需要6 分鐘，圍成的面積就是1 公頃（圖略）。引導(dǎo)性問(wèn)題：用剛才的“1 平方十米”去鋪，需要鋪幾個(gè)？

第三重體驗(yàn)——課件出示：學(xué)校東門(mén)→游泳中心→鄞州公園→明州醫(yī)院→學(xué)校東門(mén)，圍成的面積是1 平方千米，需要走1 小時(shí)（圖略）。引導(dǎo)性問(wèn)題：現(xiàn)在你知道平方千米有多大了嗎？

“圍出1 平方十米、在操場(chǎng)上走100 米、從學(xué)校出發(fā)走1 千米”，在這三次課前體驗(yàn)活動(dòng)中，較短的路程通過(guò)視覺(jué)感知，較長(zhǎng)的路程通過(guò)記錄時(shí)間感知，感受所圍成面積的大小。前兩次體驗(yàn)通過(guò)感知相對(duì)較小的面積單位，引發(fā)學(xué)生思考：“幾個(gè)這樣的面積單位可以鋪成一個(gè)較大的面積單位？”充分感知公頃這個(gè)面積單位之大，借助與平方米之間的關(guān)系，建立公頃表象。第三次體驗(yàn)，幫助學(xué)生建立1 平方千米的表象，再與公頃比較，促進(jìn)兩個(gè)單位量感的良好建構(gòu)。

三、想象疊加，深化大面積單位本質(zhì)

1.四次想象，錨定大面積單位量的基本模型

公頃和平方千米“有多大、大到怎樣的程度”，在學(xué)生表象形成后，面對(duì)“10000”“1000000”這樣的數(shù)字，很難感知實(shí)際數(shù)值的大小。因此，在教學(xué)中對(duì)公頃和平方千米各進(jìn)行了兩次想象感受活動(dòng)，通過(guò)對(duì)比聯(lián)系，分享感受，感悟大面積單位之“大”。

想象→教師提問(wèn)→學(xué)生感想

第一次想象——教師提問(wèn)：這一塊圍起來(lái)的正方形面積就是1 公頃，大約有大半個(gè)健康園大。閉上眼想象一下，你有什么感受？學(xué)生感想：原來(lái)大半個(gè)健康園的面積將近1 公頃，1 公頃可真大！

第二次想象——教師提問(wèn)：全鄞州區(qū)的小朋友大約是16 萬(wàn)人，也只能剛剛站滿(mǎn)1 公頃，你有什么感受？學(xué)生感想：1 平方米已經(jīng)能站下16 個(gè)人了，1 公頃能站這么多的人，1 公頃確實(shí)很大。

第三次想象——教師提問(wèn)：想象從學(xué)校出發(fā)走1 個(gè)邊長(zhǎng)為1 千米的正方形，你有什么感受？學(xué)生感想：走1 千米已經(jīng)很累了，沿著1 平方千米的邊緣走一圈，這個(gè)范圍太大了！

第四次想象——教師提問(wèn)：1 平方千米大約是33 個(gè)我們學(xué)校、25 個(gè)天一廣場(chǎng)、5 個(gè)院士公園的面積。看了這些數(shù)據(jù)，你有什么感受？學(xué)生感想：在我眼中這三個(gè)地方已經(jīng)很大了，有好多個(gè)這樣的地方才是1 平方千米，真是非常大啊！

第一、三次想象，借助每日所處地點(diǎn)想象，描述感受；第二、四次想象，用人數(shù)和熟悉場(chǎng)所的面積個(gè)數(shù)描述公頃和平方千米。通過(guò)多維想象，建立基本模型，后續(xù)會(huì)自主將一個(gè)新的面積與已有熟悉的面積聯(lián)系。在選擇合適單位時(shí)，也會(huì)把所建立的面積單位模型作為參照系篩選正確單位，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)量的估測(cè)意識(shí)。

2.推算疊加，豐富大面積單位量的認(rèn)知

大面積單位之大無(wú)法直接感知，其本質(zhì)是單位面積的累加過(guò)程。借助熟悉素材，經(jīng)歷“認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)、借助原有單位推算、估計(jì)疊加”的探究過(guò)程，逐步建立公頃和平方千米的概念。

公頃探究流程——素材：學(xué)校航拍圖；認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)：大半個(gè)健康園；借助原有單位推算：①微格教室（100 平方米），②尼克圖書(shū)館（200 平方米），③里奧體育館（500 平方米）；估計(jì)疊加（鋪一鋪）：①以學(xué)校（3 公頃）為標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)南部商務(wù)區(qū)的面積，②以南部商務(wù)區(qū)（70 公頃）為標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)首南街道的面積。

平方千米探究流程——素材：鄞州區(qū)地圖；認(rèn)識(shí)標(biāo)準(zhǔn)：首南街道部分區(qū)域；借助原有單位推算：①學(xué)校（3 公頃），②天一廣場(chǎng)（4 公頃），③院士公園（20 公頃）；估計(jì)疊加（鋪一鋪）：小組合作，自主確定熟悉的參照物，在地圖上畫(huà)一畫(huà)1 平方千米和幾平方千米的范圍。

在公頃學(xué)習(xí)過(guò)程中，先借助三個(gè)單位量推算幾個(gè)這樣的面積是1 公頃；從1 公頃到幾公頃，經(jīng)歷逐步疊加的過(guò)程，并應(yīng)用幾公頃估計(jì)更大的面積。同樣地，在平方千米探究中，也借助單位量進(jìn)行推算疊加。

【片斷三】

教師在鄞州區(qū)地圖上圈出了3 個(gè)大約1 平方千米的面積，引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)無(wú)論是什么形狀，面積不變。安排操作活動(dòng)，用彩筆圈一圈。

根據(jù)老師圈的大小，在地圖上用彩筆圈1～2個(gè)1 平方千米。

說(shuō)一說(shuō)圈出的范圍內(nèi)有哪些你熟悉的地方。

挑戰(zhàn)圈一圈幾平方千米。

學(xué)生交流分享。

小結(jié)：我們不僅可以量一量、畫(huà)一畫(huà)，生活中很多時(shí)候是以馬路為邊界來(lái)劃分區(qū)域，像這些不同形狀的約1 平方千米的圖形，還可以是通過(guò)幾個(gè)1 平方千米拼組得到。

用“學(xué)校、天一廣場(chǎng)、院士公園”的面積去推算1 平方千米的大小，建立1 平方千米標(biāo)準(zhǔn)后，在地圖中以已知范圍大小為標(biāo)準(zhǔn)估測(cè)其他的1平方千米和幾平方千米，在由此及彼的過(guò)程中，豐富了學(xué)生對(duì)這兩個(gè)量的認(rèn)知，促進(jìn)疊加量量感建立。

綜上所述，教師要正確把握量的內(nèi)涵，設(shè)計(jì)有效活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)適宜量感生長(zhǎng)的環(huán)境，提高學(xué)生對(duì)量的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)量的體驗(yàn)，拓展學(xué)生對(duì)量的想象，真正將量感內(nèi)化于心、外化于形，促進(jìn)量感素養(yǎng)的形成。