復雜函數求最值 同構處理很奇妙

汪亞洲

?湖北省小池濱江高級中學

洪 亮

?湖北省黃梅縣小池鎮一中

同構式是指除了變量不同外，其余地方都相同的式子[1].若方程中出現同構特征，則x1,x2可視為方程的兩個根；若函數中出現同構式，可將相同結構的式子構造成一個函數，再通過求導解決問題.

1 例題展示

例已知函數f(x)=aex-lnx+lna，其中e為自然對數的底數，若對任意的正實數x，都有f(x)≥0成立，則a的最小值為.

2 一題多解

本題是在恒成立的條件下求最值，最初的想法是利用分離變量法，但是變量在多處存在，此法行不通，此時可以考慮求導，得到f(x)的最小值f(x0)，然后令f(x0)≥0，從而求出a的最小值.

解法1：求導法.

解法2：搭建同構式 (朝著tet轉化).

解法3：搭建同構式 (朝著tlnt轉化).

解法4：搭建同構式 (朝著t+et轉化).

由aex-lnx+lna≥0，得aex+lna≥lnx.結合對數恒等式有eln aex+lna≥lnx，所以eln a+x+lna≥lnx.在不等式的兩邊同時加上x，得eln a+x+(lna+x)≥x+lnx.這時可以令φ(x)=x+ex.因為φ(x)=x+ex在(0,+∞)上單調遞增，所以由φ(x+lna)≥φ(lnx)，得x+lna≥lnx，即lna≥lnx-x.

解法5：利用ex≥x+1放縮.

由aex≥lnx-lna，得eln aex≥lnx-lna，故ex+ln a≥lnx-lna.而ex+ln a≥x+lna+1，故只需x+lna+1≥lnx-lna即可，所以2lna≥lnx-x-1.

解法6：利用ex≥x+1，lnx≤x-1同時放縮[2].

3 一題多思

4 變式訓練

(1)(2021年西湖區校級模擬)已知函數f(x)=mln(x+1)-3x-3，若不等式f(x)>mx-3ex在(0,+∞)上恒成立，則實數m的取值范圍是( ).

A.[0,+∞) B.[3,+∞)

C.(-∞,3] D.(-∞,0]

(2)(2021年衡陽雁峰區期中試題)已知函數f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0)，若關于x的不等式f(x)>0恒成立，則實數a的取值范圍是( ).

A.[0,e2] B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

(4)(2021年沈陽一模第12題)已知函數f(x)=alnx-2x，若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立，則實數a的取值范圍是( ).

A.a≤2 B.a≥2 C.a≤0 D.0≤a≤2

(5)(2021年鄂東南聯盟測試第16題)已知x0是函數f(x)=x2ex-2+lnx-2的零點，則e2-x0+lnx0=.

(6)(2021年江淮十校聯考第16題)已知實數α,β滿足αeα=e3，β(lnβ-1)=e4，其中e是自然對數的底數，則α·β=.

5 歸納總結

如果等式或者不等式的兩側呈現同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數，進而與函數的單調性建立聯系，再比較大小或解不等式.

同構的應用：①指對各一邊，參數是關鍵；②常用“母函數”，如f(x)=x·ex，f(x)=ex±x，尋找“親戚函數”是關鍵；③信手拈來湊同構，湊常數、湊x、湊參數；④復合函數(“親戚函數”)比大小，利用單調性求解.