應用聯想發展學生數學思維的探索

唐再清

?重慶市酉陽第一中學校

高中數學內容多，難度高，若學習時不關注知識點間的聯系，不僅會增加學生的學業負擔，而且解題能力也會大大降低.數學各模塊、各分支緊密聯系，相互依存，若學習時不關注聯系就很難建立起一個完整的知識體系，那么學生在知識遷移時將會遇到較大的障礙，這將直接影響解題的準確率和效率.對于知識體系的建構，筆者認為除了夯實基礎外還應會聯想.如學生在學習新知時，通過聯想相關的舊知，將新知向熟悉的知識轉化，這樣可以降低學生對新知產生的畏難情緒，這樣通過聯想不僅復習了舊知，對新知的內化也有著積極的意義.又如，在解題時，通過對典型題的聯想有利于學生找到解題的方向，使解題過程更具目標性，大大提升解題效率.另外，通過聯想可以充分發揮個體思維差異的優勢，將多角度觀察和多方位思考的成果轉化為學生的創新思維，進而提升學生的創新能力.為了發揮聯想的優勢，筆者結合教學實踐談幾點自己的認識，以期幫助學生啟動聯想，實現知識的轉化和能力的提升.

1 新舊對比，啟動思維

溫故知新既是一種學習方法也是一種學習習慣，通過溫習與新知相關聯的舊知，為新知的學習掃清障礙，進而為新知的探究奠定基礎.借助新舊知識的對比，使學生更關注二者的區別和聯系，有利于培養思維的深刻性.同時，從學生熟悉的舊知入手，更容易啟發學生的思維，使學生迅速進入學習狀態，有利于課堂效率的提升.

案例1二次函數與一元二次方程.

師：下列題目你們會解嗎？(教師PPT展示題目)

已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，頂點縱坐標為2，方程f(x)=0的兩個根分別為1和3.

(1)寫出不等式ax2+bx+c>0的解集；

(2)若方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根，你能求出實數k的取值范圍嗎？

為了幫助學生理解二次函數與一元二次方程的關系，教師設計了這樣兩小問讓學生進行對比，促使學生通過對舊知的鞏固來實現新知的遷移.教師讓學生以合作探究的方式解決問題，是為了通過合作實現優勢互補，完成知識的系統建構.

生1：由方程f(x)=0的兩個根分別為1和3，得拋物線的頂點坐標為(2,2)，求得拋物線的解析式f(x)=-2(x-2)2+2.利用已知條件畫出函數f(x)的圖象，根據圖象可知不等式的解集為{x|1

師：很好，通過聯想和遷移將求不等式ax2+bx+c>0的解集問題轉化成了函數問題.你能詳細說明一下是如何觀察的嗎？(教師發現有些學生存在疑惑，放慢速度，給學生一定的思考空間，引導學生通過聯想將問題串聯.)

生1：對于二次函數y=ax2+bx+c，令y>0，可得到不等式ax2+bx+c>0，不等式ax2+bx+c>0的解即為函數在x軸上方圖象上點的橫坐標.

師：說得很好！發現了函數與不等式的關系，那么方程ax2+bx+c=k與函數圖象又有什么關聯呢？

通過爭辯和聯想，學生驚奇地發現第(2)問可以轉化為已知二次函數y=ax2+bx+c圖象與直線y=k有兩個交點，求實數k的取值范圍.結合函數f(x)的圖象，容易得出當k<2時，直線y=k與拋物線f(x)=-2(x-2)2+2有兩個交點，即當k<2時，方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根.

通過師生的共同努力，將方程、不等式與二次函數聯系起來，借助數形結合降低了解題難度.同時，通過這樣的對比學習，學生更關注三者之間的聯系，這對知識的鞏固及知識體系的建構都有很大的幫助.

2 數形聯想，發展思維

數與形有效結合更能凸顯問題的本質，有利于學生更好地認清已知，并結合圖形中反饋的信息找到解題的靈感，進而找到解題的切入點，成功解決問題[1].

案例2求|x-1|+|x-2|+|x-3|(x∈R)的最小值.

這道題看上去條件簡單，數值較小，感覺容易求解，然真正去做就感覺無從下手.案例2為一道抽象的代數問題，若想輕松求解需要進行數形聯想，通過幾何建模實現問題的轉化，進而找到解題的思路.

解析：本題求解時可以聯想數軸，將問題轉化為在數軸上找一個數x對應的點使得它到數1，2，3所對應的點的距離和最小.通過觀察數軸，很容易得出當x=2時，|x-1|+|x-2|+|x-3|取最小值，且最小值為2.

為了讓學生更好地理解該知識點，并能總結歸納出問題的一般規律，教師可以帶領學生繼續分析并求解|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值，及|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+……+|x-an|的最小值.通過數形結合，不斷聯想、升華，學生不僅領悟了解決此類問題的精髓，而且總結歸納出了一般規律，提升了學生的思維品質.

圖形并非解決幾何問題的專利，其在處理代數問題中也至關重要，尤其在解決函數問題時其作用更為突出，將已知條件用圖形方式表達不僅可以提供解題思路，還可以減少大量的復雜計算，這對提升解題效率、降低運算錯誤都有積極的意義.因此，在教學中，教師要引導學生應用數形結合的方法去思考和探究問題，進而提升數學素養.

3 歸納推理，拓展思維

數學是一門嚴謹的學科，直覺聯想為解題提供方向.若解題單憑直覺顯然存在一定主觀性，不具備足夠的說服力，因此，合理的推理就尤為重要了，只有二者有機結合才能達到事半功倍的效果[2].

案例3證明：函數f(x)=x6-x3+x2-x+1(x∈R)的值恒為正數.

解析：顯然本題求解時可以通過對x的不同取值逐一證明，進而推理得出最終的結論.通過觀察不難發現，當x<0時，x6，-x3等各項的值均為正數，即f(x)>0；當0≤x≤1時，x6-x3≤0，x2-x≤0，難以求解，故將f(x)=x6-x3+x2-x+1進行變形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x)，因為1-x≥0，故f(x)>0；當x>1時，同樣直接觀察不能判定值的正負，將f(x)=x6-x3+x2-x+1變形得f(x)=x3(x3-1)+x(x-1)+1，變形后可知各項均大于0，故f(x)>0.綜上可知，函數f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒為正數.

本題的推理過程實為從特殊到一般的驗證，例如，本題將x∈R分為x<0，0≤x≤1，x>1三類特殊情況，通過對特殊情況的分析推理歸納出了結論.當解題遇到難以求解的問題時，往往可以通過分類討論化難為簡，進而通過推理分析得到最終的結果.另外，在解填空或者選擇題時，通過聯想和類比，應用歸納推理有時會收獲意外驚喜.

4 動靜結合，突破思維

學生在面對動態問題時往往無從下手，動態問題是公認的難點問題.對于此類問題的求解要善于動靜結合，從“動”中發現“靜”，進而通過對“靜”的分析與轉化解決“動”的問題，進而消除學生的畏難情緒，幫助學生找到解決問題的切入點和突破口，從而順利解決問題.

案例4已知函數f(x)=x2+mx-1對于區間[m,m+1]上的任意x，f(x)<0均成立，試求實數m的取值范圍.

案例4中借助“動靜結合”，厘清了知識點間的關系，挖掘出了問題的本質，為問題的解決找到了恰當的切入點，使問題迎刃而解.動靜結合是一種典型的解題方法，其在高中數學，尤其在解決動態問題時有著廣泛的應用，在教學中應注意引導和滲透，進而通過動靜轉化提升學生的思維品質，促進解題能力提升.

總之，“聯想”表面上看是一種直覺思維能力，然其卻有著強大邏輯思維能力的支撐，它是重要的思維方法.高中數學教學中應重視學生聯想能力的培養，只有這樣，學生在面對復雜的問題時，才能借助合理的聯想全方位地思考問題，進而提升解題能力和思維能力.