“同構法”構造函數(shù)在解題應用中的一點商榷

姚順禹 王恩普

?江蘇省淮陰中學教育集團淮安市新淮高級中學

1 引言

在研究函數(shù)與導數(shù)中的一類恒成立問題時，如果能夠在不等式的兩邊構造出相同的結(jié)構，借助于函數(shù)的單調(diào)性，剝?nèi)碗s的“外衣”，從而簡化運算過程，通常把這種方法稱為“同構”.對于同一個問題，由于角度不同，可能構造出的相同結(jié)構對應的函數(shù)略有差異，正是因為這一點，使得“同構法”引起了很多人的關注與研究.在學習同構法的過程中，有學生對其中的一種借助同構關系構造函數(shù)的解法產(chǎn)生了疑問.筆者查閱了多本期刊和網(wǎng)絡資料，發(fā)現(xiàn)利用同構關系構造函數(shù)解決問題的時候，有些推理過程值得商榷，下面以2020年高考數(shù)學山東卷第20題的第(2)問為例，來做一些研究.

2 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

本文中只研究第(2)問借助同構關系構造函數(shù)的解法，首先來看下面的解析.

解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且a>0.

設g(x)=x-lnx+lna，則

當01時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)min=g(1)=lna.

若x-lnx+lna-1≥0在(0，+∞)上恒成立，則只需g(x)min=g(1)=lna≥0，可得a≥1.

評注：上述過程采用了同構的思路，相比較直接求導研究最值的方法而言，避開了利用隱零點解決問題的過程，相對簡單并且容易理解.

3 問題思考

前文已經(jīng)提到，本題的恒成立問題有很多解決方案，此處僅對上文提及的同構法處理此類問題給出相應的改進方案.

改進方案一：分類討論

解法1：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，且a>0.

以下過程同原解答過程.

解法2：由題可知，函數(shù)f(x)定義域為(0,+∞)，a>0.

當00，g(x)單調(diào)遞增；當x>1時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.所以g(x)max=g(1)=1.

評注：上述兩種解答過程中利用同構“脫去外衣”的前提是在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，如果不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要進行分類討論.由于部分區(qū)間顯然可以保證不等式恒成立，因此只需考慮在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情況，最后將兩類情況綜合即可.

改進方案二：改變同構形式

解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，且a>0.

由f(x)≥1,得aex-1-lnx+lna≥1，于是有ex+ln a-1≥lnx-lna+1，變形得

ex+ln a-1+x+lna-1≥lnx+x.

即ex+ln a-1+lnex+ln a-1≥x+lnx.

設g(x)=x+lnx，則有g(ex+ln a-1)≥g(x).

由g(x)的定義域為(0，+∞),得ex+ln a-1>0，且x>0.

所以ex+ln a-1≥x,即x+lna-1≥lnx在(0，+∞)恒成立.

以下過程同原解答.

評注：這樣的同構形式與原解答的形式的區(qū)別在于，構造后g(ex+ln a-1)≥g(x)中的ex+ln a-1與x恰好都在所構造函數(shù)的同一個單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，可以順利得出ex+ln a-1≥x，進而解決問題.

4 反思

《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》指出：邏輯推理是得到數(shù)學結(jié)論、構建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì).在本文開頭的解法中，如果只看結(jié)果與答案一致而忽視了過程的邏輯性，這對于數(shù)學學習是極其不利的.平時在解題過程中，必須要認真審視每一個步驟是否符合思維邏輯，培養(yǎng)用批判性思維考慮問題的習慣，勇于懷疑，敢于質(zhì)疑，嚴密論證，科學推理，同時也能進一步促進創(chuàng)造性思維的形成.