拓展思維方向，總結解題規律
——對一道三角形面積題的探究

丁學智

?安徽省銅陵市第三中學

三角形面積問題中經常同時兼備三角形的“邊”與“角”這兩類不同的要素，而涉及三角形面積的最值或取值范圍問題，又進一步融合三角形中“動點”與“靜點”之間的對比與變化，構建相應的定值與最值、取值范圍等變量之間的關系，構成一幅優美的圖片，倍受各方關注，一直是高考數學命題的一個熱點題型.

1 問題呈現

問題(安徽省合肥市2022年高三年級第二次教學質量檢測數學理科試卷第15題)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b+2cosB+bcosA=6，a=2，則△ABC面積的取值范圍為.

此題以簡潔的條件給出三角形中對應邊的長度，以及對應邊與角之間的關系，進而求解三角形面積的取值范圍.正確挖掘題目內涵，構建三角形中的定量、變量等要素間的關系，以及確定三角形的定點、動點等元素，合理推理分析，綜合數學運算、直觀想象等思維方式來分析、處理與應用.

2 問題破解

方法1：三角形面積公式+基本不等式法.

結合余弦定理，可得4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=36-2bc-2bccosA.

解后反思：根據題目條件進行邊與角的相關轉化，進而得以確定兩邊和的關系式，再利用余弦定理確定相關角的余弦值，并利用同角三角函數基本關系式確定對應角的正弦值，由此構建滿足三角形面積公式的條件，在此基礎上構建三角形面積的表達式，最后借助基本不等式來確定最值即可.綜合解三角形、三角函數以及基本不等式等相關知識，是本題的創設本質，也是破解問題最基本的思維方法.

方法2：橢圓軌跡法.

圖1

解后反思：根據題目條件借助余弦定理將三角形中的角化邊，從而確定兩邊和為定值的條件，結合軌跡意識以及橢圓的定義進行數學建模，進而直觀形象地確定三角形面積的變化情況，達到解決問題的目的.借助橢圓定義加以數學建模，可以更加直觀地解決此類與動點有關的軌跡問題.

方法3：海倫公式+二次函數法.

解析：由b+2cosB+bcosA=6，a=2，可得b+acosB+bcosA=6.

結合射影定理acosB+bcosA=c，得b+c=6.

結合三角形的性質，可知c+a=c+2>b=6-c，c-a=c-2

解后反思：根據題目條件進行常數代換，借助射影定理加以轉化，確定兩邊和為定值的條件，利用三角形的基本性質確定相關邊的取值范圍，結合三角形面積的海倫公式構建對應的關系式，通過二次函數的圖象與性質確定三角形面積的變化情況，達到解決問題的目的.利用海倫公式可以合理構建與三角形的邊有關的三角形面積的表達式，將相應的應用問題轉化為函數問題來處理.

3 變式拓展

探究1：保留解三角形問題的創新情境，改變條件中邊與角的關系式，從另一個層面來構建相應的關系式，拓展解題的技巧方法，進而綜合應用，得到以下對應的變式問題.

變式1已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b=2cosB+bcosA，a=2，則△ABC面積的最大值為.

解：斜率的幾何意義法.

由2b=2cosB+bcosA，a=2，得

2b=acosB+bcosA.

結合射影定理acosB+bcosA=c，可得c=2b.

圖2

解后反思：根據變式條件，同樣也可以利用“三角形面積公式+基本不等式法”來處理(這里不加以展示，可以結合原問題的方法1加以分析)，也可以通過“海倫公式+基本不等式法”來解決，而綜合條件拓展出“斜率的幾何意義法”，也是解決此類特殊結構特征最值問題的一種直觀技巧.

4 教學啟示

4.1 面積應用，最值綜合

借助三角形面積這一基本要素，可以巧妙通過三角形面積的夾角公式、高線公式以及海倫公式等的應用，合理構建三角形中相關邊、角等元素之間的關系，結合三角函數、二次函數、基本不等式等相關知識來綜合與應用；也可以巧妙構建三角形中動頂點的軌跡，結合一些特殊的曲線等來化歸與轉化，直觀想象，數形結合，從而實現最值或取值范圍等的確定與求解.

4.2 一題多解，一題多得

借助問題的“一題多解”，正確歸納解決相關類型問題的基本思維方式，總結規律，形成知識體系與思維習慣.在此基礎上，進行“一題多變”“多題一解”等方面的嘗試，真正實現以“一題”帶動“一片”，拓展思維應用，提升解題技能，全面提升能力，擺脫“題海戰術”.