一道解三角形題的探究*

徐志剛

?福建省福安市第一中學

解三角形問題是高考數(shù)學、高中數(shù)學聯(lián)賽中比較常見的一類綜合性應(yīng)用問題，能很好交匯與融合平面幾何與平面解析幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式以及解三角形等相應(yīng)的數(shù)學基本知識，情境創(chuàng)設(shè)多變，思維視角多向，技巧策略多樣，思想方法豐富，具有相對規(guī)律性的思維方式與破解技巧，可以從代數(shù)視角或幾何視角等來切入與分析，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

圖1

2 問題剖析

此題以“布洛卡點”為問題背景，借助平面幾何中的“布洛卡點”加以拓展與情境創(chuàng)新，在正三角形中通過確定點的位置，進而研究相關(guān)線段長度的比值問題.

此題合理把平面幾何與解三角形問題加以融合與交匯，借助平面幾何的直觀想象來創(chuàng)設(shè)，很好考查數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力等，以及邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).此類問題可以給考生提供更多的展示機會與空間，充分展現(xiàn)各自的能力水平，具有較好的選拔性與區(qū)分度.

3 通技通法

掌握破解相應(yīng)的解三角形問題的通技通法，借助對應(yīng)的三角形來構(gòu)建邊與角之間的關(guān)系，同時借助正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等相關(guān)知識，有時還需要根據(jù)題目條件引入邊或角的參數(shù)值，為進一步構(gòu)建關(guān)系提供條件.

方法1：解三角形轉(zhuǎn)化法.

解析：設(shè)正三角形ABC的邊長為2，|CD|=2λ，∠CDP=θ.

解后反思：解三角形問題的關(guān)鍵就是構(gòu)建邊與角之間的關(guān)系，合理引入邊與角的參數(shù)，在不同三角形內(nèi)借助正弦定理或余弦定理構(gòu)建含參關(guān)系式.代數(shù)關(guān)系式的合理恒等變形與轉(zhuǎn)化，以及三角恒等變換的應(yīng)用，是破解此類問題的基本思維方式.這里以其中的一個同角所對應(yīng)的不同三角形來構(gòu)建對應(yīng)的正弦關(guān)系是破解問題的切入點，也是解決此類問題的通技通法.

4 巧技妙法

在實際教學、學習與解題應(yīng)用過程中，既要掌握破解數(shù)學問題的“通技通法”——構(gòu)建參數(shù)思維，結(jié)合對應(yīng)的三角形來分析與求解.同時還要結(jié)合問題或事物自身的特殊性或本質(zhì)屬性，開拓思維，尋求破解問題更為簡捷的方法，優(yōu)化思維，從解三角形思維或平面幾何思維等視角，合理借助巧技妙法來處理該問題，揭開對應(yīng)問題的“面紗”，探尋數(shù)學的奧妙所在.

思維視角一：解三角形思維

方法2：面積轉(zhuǎn)化法.

在Rt△BPC中，|PB|=|BC|cosθ，|PC|=|BC|sinθ.

方法3：正弦定理轉(zhuǎn)化法.

在△ABD中，結(jié)合正弦定理有

解后反思：解三角形問題中構(gòu)建三角形的邊與角的參數(shù)，經(jīng)常還可以在特殊三角形(例如直角三角形、等腰三角形或等邊三角形等)中加以合理構(gòu)建，這樣更加方便構(gòu)建相應(yīng)的邊與角之間的關(guān)系，為目標的破解提供更為有效的手段.方法3就是通過直角三角形中相應(yīng)銳角引入?yún)?shù)，結(jié)合解直角三角形來化歸與轉(zhuǎn)化，從三角形的面積公式或正弦定理的應(yīng)用等思維角度來進一步處理，更加巧妙快捷.

思維視角二：平面幾何思維

方法4：平面幾何旋轉(zhuǎn)法.

圖2

解析：如圖2所示，以點B為中心，將△CPB旋轉(zhuǎn)至△AP1B，連接PP1.

在Rt△PAP1中，

解后反思：涉及解三角形的問題，經(jīng)常可以回歸平面幾何本質(zhì)，通過平面幾何圖形的合理旋轉(zhuǎn)、輔助線的構(gòu)建等，結(jié)合平面幾何的邏輯推理與直觀想象，探究線段長度、相關(guān)角度等的關(guān)系以及三角形的幾何性質(zhì)，從平面幾何視角來分析與處理，從而達到解三角形問題的目的.利用平面幾何思維解決一些解三角形的問題時，要充分利用圖形的直觀性與幾何性質(zhì)來分析與破解.

5 變式拓展

挖掘問題實質(zhì)，探究解析過程，從問題本質(zhì)上進行“一題多變”“一題多拓”等研究，鞏固知識，發(fā)散思維，提升能力，真正掌握解決問題的技巧方法.

探究1：保留原題目條件，結(jié)合問題的解析過程，從另一個角度來確定其他邊長的比值問題，從而得到以下對應(yīng)的變式問題.相較于原題，考查知識點基本相當，試題難度有所降低.

圖3

探究2：根據(jù)平面幾何圖形的對稱性，變換原來問題中三角形的頂點B與C的位置(兩者進行調(diào)換)，其實就是改變其中一個角的度數(shù)，吻合平面幾何的對稱性，可得以下對應(yīng)的變式問題.

6 教學啟示

破解相關(guān)的解三角形問題，關(guān)鍵是合理借助解三角形中的平面幾何性質(zhì)或正弦定理、余弦定理等來化歸與轉(zhuǎn)化對應(yīng)的三角形邊與角的關(guān)系.破解時常見思維視角主要有以下兩種：

(1)代數(shù)角度進行代數(shù)運算

利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式等，合理“化邊為角”或“化角為邊”，尋找關(guān)于三角形中的角或者邊等元素之間的關(guān)系進行合理化簡與轉(zhuǎn)化；或利用平面直角坐標系的構(gòu)建，借助點、直線、角等的坐標形式來尋找三角形的角或者邊等相關(guān)元素之間的關(guān)系，合理代數(shù)運算，巧妙化歸與轉(zhuǎn)化.從代數(shù)角度，綜合解三角形、三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識來分析與處理.

(2)幾何角度進行數(shù)形結(jié)合

利用平面幾何的直觀模型，以及題目條件中涉及的點、線、角的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，直觀想象；通過平面幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、折疊、對稱、變形以及輔助線等的構(gòu)建，合理尋找平面幾何圖形中蘊藏的點、邊或者角等元素之間的幾何關(guān)系與數(shù)據(jù)信息；利用直角三角形(或其他特殊的三角形等)以及平面解析幾何知識等加以邏輯推理、數(shù)形結(jié)合以及數(shù)學運算等綜合分析與求解.