多題一解，培養運算素養
——齊次化在2022年高考圓錐曲線題中的應用

崔 征

?湖北省宜昌市葛洲壩中學

夏詠芳

?湖北省宜昌市夷陵中學

圓錐曲線的相關問題是高考數學考查的一個熱點，這類問題的特點是計算量較大，平時的復習備考不僅要掌握常規方法和基本技能技巧，還要注意歸納總結，對于特定的問題，還要學習一些特定的方法.如果題目中出現兩直線斜率之和或者之積的條件時，常常可以利用齊次化的方法大大降低計算量.接下來我們一起看看2022年的幾道高考題是如何用齊次化的方法簡化計算的.

[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2.

整理雙曲線方程，得

[(x-2)+2]2-2[(y-1)+1]2=2，

即(x-2)2+4(x-2)-2(y-1)2-4(y-1)=0.

將雙曲線與直線方程聯立，構造齊次式得

(x-2)2+4(x-2)[m(x-2)+n(y-1)]-2×(y-1)2-4(y-1)[m(x-2)+n(y-1)]=0，

兩邊同時除以(x-2)2，可得

(-2-4n)k2+(4n-4m)k+1+4m=0.

解得n=m，代入直線l，可得l的斜率為-1.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C，直線AB,AC分別與x軸交于M,N，當|MN|=2時，求k的值.

橢圓方程可變形為x2+4[(y-1)+1]2=4，展開得x2+4(y-1)2+8(y-1)=0，齊次化，可得

由Δ=-32n>0，得n<0.

直線lAB方程為y=t1x+1，直線lAC方程為y=t2x+1，則兩直線與x軸的交點分別為

點評：該題第(2)問的主要線索是|MN|=2，我們可以把|MN|的長度用AB,AC的斜率表示出來，但凡碰到有斜率之和或者斜率之積，或者斜率之差，都可以用這種齊次化的方式來簡化計算.

圖1

(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；

(2)求|CD|的最小值.

其實不僅在2022年的高考中，齊次化能發揮重大作用，在往年的高考中不少圓錐曲線問題都可以用齊次化大大地簡化運算，比如2020年山東卷中解析幾何大題也可以用齊次化法簡化計算，讀者朋友不妨嘗試一下.關于齊次化，大家還需要注意一下幾點：

(1)如果圓錐曲線的題目里出現斜率之和或者斜率之積，或者斜率之差等條件，那么就可以嘗試用齊次化來解決.

(2)如果直線經過的點在曲線外，曲線與直線聯立后往往不僅會剩下一次項，還會剩下常數項，這個時候也可以秉承齊次化的思想加以處理，將1平方就可以構造出二次項了.

(3)齊次化的方法不僅可以解決與橢圓有關的定點定值問題，同樣也適用于雙曲線和拋物線，在這里就不做過多的贅述了.