數形結合變視角 合理分類定乾坤
——2022年全國高考乙卷導數壓軸題解法研究

易明交 陳曉寧 劉香杰

?杭州師大附屬阿克蘇市高級中學

1 試題呈現

(2022年全國高考乙卷第21題)已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

本題第(1)問考查函數在某點處的切線問題，利用導數的幾何意義就可以解決.第(2)問考查的是函數在兩個區間上的零點問題，解決函數零點問題的一種方法就是通過研究函數的單調性觀察圖象與x軸交點的個數，另一種是通過分離參數后探究兩個函數圖象交點的個數.

分析：(1)先求f′(x)，f′(0)即為曲線在點(0,f(0))處切線的斜率，進而求出切線方程.

(2)求導,對a進行分類討論,并對x∈(-1,0),x∈(0,+∞)分別研究.

2 試題解析

2.1 第(1)問詳解

2.2 第(2)問詳解

思路一：對參數合理分類，分步研究函數的零點情況.

解法1：因為f(x)=ln(1+x)+axe-x，所以

設g(x)=ex+a(1-x2)，則g(0)=a+1.

①若a>0,當x∈(-1,0)時,g(x)=ex+a(1-x2)>0，即f′(x)>0,所以f(x)在(-1,0)上單調遞增,f(x)

②若-1≤a≤0,當x∈(0,+∞)時,g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增，從而g(x)>g(0)=a+1≥0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,f(x)>f(0)=0.故f(x)在(0,+∞)上沒有零點,與題意矛盾.

③若a<-1,當x∈(0,+∞),g′(x)=ex-2ax>0,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增；又因為g(0)=a+1<0,g(1)=e>0，所以存在x0∈(0,1),使g(x0)=0,即f′(x0)=0.當x∈(0,x0)時，f′(x)<0，則f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0,則f(x)單調遞增.所以，當x∈(0,x0)時，f(x)1>x0，f(e-a)=ln(1+e-a)+ae-ae-e-a>0.所以f(x)在(x0,+∞)上有唯一零點，在(0,x0)上沒有零點,從而f(x)在(0,+∞)上有唯一零點.

若a<-1,當x∈(-1,0)時，g(x)=ex+a(1-x2)，g′(x)=ex-2ax.

圖2

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

思路二：利用參變半分離，研究圖象的切線與直線之間的位置關系，確定零點個數.

解法2：由f(x)=ln(1+x)+axe-x=0，得-ax=exln(1+x)(x>-1).

令h′(x)=0,得x=0.當x∈(-1,0)時，h′(x)<0；當x∈(0,+∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)min=h(0)=1，從而h(x)≥1在區間(-1，+∞)上恒成立.

所以g(x)在(-1，+∞)上單調遞增.又g(0)=0，且g′(0)=1，則g(x)在x=0處的切線方程為y=x.

因為f(x)在區間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個零點，也就是說g(x)與y=-ax在區間(-1,0)，(0，+∞)各恰有一個交點，所以只需要-a>1，即a<-1.(如a=-1或-2時，如圖3，4所示).

所以，a的取值范圍為(-∞，-1).

圖3

圖4

點評：解法2的關鍵是分離參數構造出兩個函數，分析g(x)的單調性，找出g(x)在點(0,0)處的切線，從而只需直線y=-ax的斜率大于1才能使直線與函數g(x)圖象有兩個交點.

思路三：利用參變全分離，準確作出函數的圖象,然后上下移動直線,觀察直線與函數交點個數即可.

令h(x)=(x2-1)ln(x+1)+x，則h′(x)=x[2ln(x+1)+1].

當x>0時,h′(x)>0，則h(x)在(0，+∞)單調遞增，所以h(x)>h(0)=0，從而g′(x)<0，故g(x)在(0，+∞)單調遞減.

所以a<-1時，在(0，+∞)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個交點，因此f(x)在區間(0，+∞)恰有一個零點.

所以g(x)在(-1，x1)單調遞增，在(x1，0)單調遞減，從而g(x)max=g(x1).

又x→-1時，g(x)→-∞,且有

所以只有a<-1時，在(-1,0)上y=a與y=g(x)的圖象只有一個交點，因此f(x)在區間(-1,0)恰有一個零點.(如a=-1或-2時，如圖5，6所示).

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

圖5

思路四：對函數解析式合理變形，零點不發生變化.

解法4：對f(x)=ln(1+x)+axe-x兩邊同乘ex,得exf(x)=exln(x+1)+ax.令g(x)=exf(x),即g(x)=exln(x+1)+ax(x>-1),則g(0)=0，且

又x→-1時,g′(x)→+∞，所以存在x1∈(-1,x0),x2∈(0,-a)，使g′(x1)=g′(x2)=0，且g(x)在(-1，x1)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減，在(x2，+∞)上單調遞增.又因為g(0)=0,所以g(x1)>0,g(x2)<0,于是存在x3∈(-1,0),x4∈(0,+∞),使g(x3)=g(x4)=0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞，-1).

解法5：設y=xe-x,則y′=e-x(1-x).所以，當-11時，y=xe-x單調遞減.

當a≥0時,f(x)在(-1,1)上單調遞增，且f(0)=0，所以f(x)在(-1,0)上無零點，這與題意矛盾.

故a的取值范圍為(-∞，-1).

圖7

圖8

當a≥0時，x∈(-1,1)時，f′(x)>0，則f(x)在(-1,1)上單調遞增.又f(0)=0,則當x∈(-1,0)時f(x)<0，所以f(x)在(-1,0)上不存在零點.

圖9

綜上所述，a的取值范圍為(-∞,-1).

3 鏈接高考

鏈接1(2022年浙江溫嶺中學模擬題)已知函數f(x)=alnx+e-x(x-1).

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)證明：當a≥0時，f(x)有且只有一個零點；

(3)若f(x)在區間(0,1),(1,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

鏈接2(2018年全國高考理科第21題)已知函數f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點，求a的值.

2022年全國高考乙卷第21題在考查導數的基本運算法則、基本性質等知識點的同時，考查學生的運算求解、數學分析等關鍵能力以及轉化與化歸、數形結合等思想方法，較好地考查學生學科核心素養.題目的求解，需要學生有較強的邏輯思維轉換能力與代數計算能力.不難發現，上述解法2和解法3的解答過程都圍繞“分參”展開，歸納起來無外乎兩類：一類是等式關系轉化為參數與函數圖象的交點問題；另一類就是函數的切線與函數圖象的交點問題.通過對分離參數法的再思考，在解決可分參的問題時，指導學生抓住問題的本質，掌握通性、通法，讓學生可以觸類旁通、事半功倍，達成練一題、學一法、會一類、通一片的效果.在解題教學中，教師要有意識地引導學生探究問題的本質，注重解題過程，從繁雜的試題以及多變的解法中，追根溯源，探尋不變的本質，從而真正達到事半功倍的效果.