“畫數(shù)學(xué)”：發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的教學(xué)實踐

江蘇省南京市江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校 劉 婷

一、緣起

（一）學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)的能力亟待提高

教學(xué)中，我們常常要求學(xué)生對較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題采用畫圖的方式來分析和理解，可現(xiàn)實往往并非如此。學(xué)生缺乏主觀能動性，盡管教師一遍遍強調(diào)要多“畫一畫”，但學(xué)生仍然很少畫。其實，學(xué)生沒有真正體會到構(gòu)造幾何直觀對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分借助形象直觀的手段，實現(xiàn)從直觀到抽象的跨越，使抽象的數(shù)學(xué)知識得以形象化、直觀化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力。

（二）基于學(xué)科本質(zhì)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的十大關(guān)鍵能力，同時，幾何直觀在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也發(fā)揮著重要的作用。利用圖形描述來分析問題，有助于學(xué)生把復(fù)雜問題變得簡單、形象，從而直觀地理解數(shù)學(xué)。“畫數(shù)學(xué)”，不僅可以外顯學(xué)生的思維過程，啟迪學(xué)生獲得知識的意義建構(gòu)，而且能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解。

（三）實踐課堂深度學(xué)習(xí)的重要途徑

課堂上的深度學(xué)習(xí)不是把知識直接平移、灌輸，而是讓學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。課堂上引導(dǎo)學(xué)生操作材料，幫助學(xué)生 “經(jīng)歷”知識的發(fā)生、發(fā)展和建構(gòu)的過程，這樣的“重新經(jīng)歷”可以促進(jìn)學(xué)生思考知識發(fā)現(xiàn)與建構(gòu)的社會背景，體驗探索的思想歷程、價值追求、評價知識以及知識的建構(gòu)過程，這樣經(jīng)歷的過程才是實踐深度學(xué)習(xí)的重要途徑。而“畫數(shù)學(xué)”恰好可以讓學(xué)生的思維外顯，描述解決問題的路徑和方法以及存在的疑惑。

二、教學(xué)實踐

（一）多元表征，抵達(dá)概念本質(zhì)

數(shù)是對數(shù)量的抽象，在具體的情境中認(rèn)識數(shù)，有助于學(xué)生理解數(shù)的意義。學(xué)生需要經(jīng)歷從具體到抽象、從數(shù)學(xué)意義的理解到數(shù)學(xué)概念的形成。在小學(xué)階段，學(xué)生的思維主要以形象思維為主，因此教學(xué)中，讓學(xué)生依賴于具體的、形象的支撐可以加深其對數(shù)的意義的理解，從而深刻構(gòu)建概念的本質(zhì)。

教學(xué)片段：“小數(shù)的初步認(rèn)識”

師：想辦法表示0.1元。可以畫一畫、涂一涂。

學(xué)生基于已有的認(rèn)知與經(jīng)驗，畫出對0.1元的認(rèn)識（見圖1）。

圖1

師（追問）：這么多不同的作品中，有什么相同的地方，為什么都平均分成10份？

生在交流中得出：雖然畫出來的圖不一樣，但都是把1元這個整體平均分成了10份，表示其中的一份，也就是1角，即十分之一元，小數(shù)表示是0.1元。

師相機出示圖片（見圖2）。

圖2

師：在這個小長方形里除了可以找到0.1元，還可以找到哪些小數(shù)？在圖上找一找、寫一寫、涂一涂，再說一說。

生交流后發(fā)現(xiàn)：十分之幾就是零點幾。

蘇聯(lián)心理學(xué)家和教育家贊科夫在《和教師的談話》一書中指出，在兒童不能通過實物看見他所要了解的那些事物和過程的情況下，課堂上要賦予直觀教學(xué)以顯著的地位。小數(shù)對學(xué)生而言是抽象的，雖然看得見外在的形式，但摸不著它內(nèi)在的本源，所以追根溯源，構(gòu)建小數(shù)的意義十分重要。數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾曾說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生把自己要學(xué)習(xí)的東西發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來。在上述教學(xué)中，學(xué)生基于已有的認(rèn)知經(jīng)驗實現(xiàn)了再創(chuàng)造，展示豐富的思考結(jié)果，如10個“○”代表1元，每個“○”是1角，就是0.1元；直觀的長方形、正方形以及線段圖，形象、直觀地表示出0.1元的含義。通過不同圖形的比較，學(xué)生直觀地理解0.1元的意義的過程變得生動。形的直觀與數(shù)的巧妙結(jié)合，讓學(xué)生主動溝通了十進(jìn)制分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系，抵達(dá)小數(shù)概念的本質(zhì)——十分之幾就是零點幾，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

（二）畫形明理，內(nèi)化運算法則

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握基本技能的操作步驟與程序，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。因此，在計算教學(xué)中，讓學(xué)生明白算法背后的道理，學(xué)生才能更加靈活地運用運算法則。教師要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知特點以及數(shù)學(xué)本身的特點，采用生動、有效的幾何直觀手段，幫助學(xué)生理解算理，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，提升學(xué)生的運算能力。

如在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”時，教師出示例題，并讓學(xué)生通過幾何模型外顯計算的過程，清晰展示計算的算理。

學(xué)生嘗試畫一畫、涂一涂表示計算的結(jié)果，和同桌交流想法。

學(xué)生呈現(xiàn)圖形（見圖3），并說出思考過程。

圖3

算理是算法的依據(jù)，算法是對算理更高層次的提煉與概括。學(xué)生只有真正掌握了算理，才能在計算學(xué)習(xí)上學(xué)得更扎實、走得更遠(yuǎn)。在教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生知道“是什么”，還要明白“為什么”。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算法則對學(xué)生來說比較容易掌握，學(xué)生即使不接受新課的學(xué)習(xí)，也可以依葫蘆畫瓢，完成計算。可是數(shù)學(xué)教學(xué)絕不僅僅止于會算，還要明白：為什么分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘，分子相乘作為分?jǐn)?shù)的分子，分母相乘作為分?jǐn)?shù)的分母？教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試用圖形描述的乘法意義，直觀形象地理解“分了又分”——分母相乘的積作為分母；“取了又取”——分子相乘的積作為分子，學(xué)生對于算法的掌握和算理理解水到渠成。在計算教學(xué)中，讓學(xué)生借助幾何直觀，可以把抽象的算理直觀化、具體化，從抽象走向具體再到抽象，從而提煉算法，發(fā)展學(xué)生的運算能力。

（三）創(chuàng)造模型，深刻理解運算律

數(shù)學(xué)教學(xué)是為讓學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光觀察、數(shù)學(xué)的思維思考，以及建立模型思想。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程，實際上就是對一系列數(shù)學(xué)模型理解和把握的過程。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)“乘法分配律”的掌握和靈活運用對學(xué)生來說是比較困難的。在教學(xué)實踐中，學(xué)生要親身經(jīng)歷乘法分配律的模型建構(gòu)過程，引導(dǎo)學(xué)生自覺地用數(shù)學(xué)的方法去分析和解決實際問題。

如在教學(xué)“乘法分配律”時，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造幾何直觀模型，溝通“式”與“形”的聯(lián)系。

出示例題情境（見圖4），學(xué)生列式解決，通過計算發(fā)現(xiàn)兩邊結(jié)果相等。

圖4

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（6+4）×24＝6×24＋4×24。教師讓學(xué)生交流：除了可以通過計算發(fā)現(xiàn)兩個算式的結(jié)果，還可以用什么方法說明結(jié)果相等呢？學(xué)生借助直觀的點子圖、矩陣圖得出了結(jié)果相等的結(jié)論（見圖5）。

圖5

將離散的點子圖與圖形面積相結(jié)合，豐富了學(xué)生的直觀表現(xiàn)。

在此基礎(chǔ)上，將長方形的長和寬改為字母（見圖6）。

圖6

這時，乘法分配律的幾何模型應(yīng)運而生，有助于學(xué)生加深對乘法分配律的直觀理解，因為圖中的a、b、c已經(jīng)突破了整數(shù)的局限，長度也可以是小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

徐利治教授認(rèn)為，直觀就是借助經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助基于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生數(shù)量關(guān)系的直接感知。讓學(xué)生嘗試用畫一畫的方式，通過數(shù)形結(jié)合，直觀理解“先和再積”等于“先分別求積再求和”，逐步構(gòu)建乘法分配律的“形”的雛形，接著通過不完全歸納，嘗試總結(jié)、概括出乘法分配律“式”的表達(dá)，抽象出（a＋b）×c＝a×c＋b×c，構(gòu)建出乘法分配律的幾何模型，不斷提升學(xué)生的直觀理解能力。顯然，其他運算律的教學(xué)也可以如法炮制。

（四）豐富評價，提升思維品質(zhì)，形成思考模式

在教學(xué)實踐中，讓學(xué)生通過畫圖等方式參與學(xué)習(xí)的過程，是有視覺參與的一種思維方式。高階思維的一大特征是評價，使思維外顯，反省外顯。評價是基于證據(jù)的推理和判斷，而評價學(xué)生的思維能力，就是需要學(xué)生思維的外顯，以思維品質(zhì)的發(fā)展作為參考，如關(guān)注學(xué)生思維的清晰度、準(zhǔn)確性、關(guān)聯(lián)性以及深度、廣度、邏輯性等方面。

如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法時，學(xué)生不太清楚單位“1”“量”與“率”等問題，教師可以設(shè)計以下題組，讓學(xué)生通過畫圖表示問題中的數(shù)量關(guān)系。（見圖7）

圖7

通過畫對比圖，使學(xué)生的思維更清晰，從而更好地理解知識、掌握方法。（見圖8）

圖8

如學(xué)習(xí)完負(fù)數(shù)，教師可以讓學(xué)生“寫一寫或畫一畫對負(fù)數(shù)的認(rèn)識”，加深對負(fù)數(shù)的理解，發(fā)展思維的準(zhǔn)確性。在數(shù)學(xué)百分?jǐn)?shù)后，教師可以通過問題發(fā)展學(xué)生思維的廣度，如“這個問題與之前遇到的什么問題有關(guān)”，學(xué)生在畫一畫中思考，溝通外聯(lián)，體現(xiàn)思維的廣度，重新建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，針對學(xué)習(xí)中的難點，學(xué)生畫圖分析，呈現(xiàn)思考過程，展示思維的深度。“關(guān)于圓的面積計算公式，教材中將圖形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，還有別的方法嗎？根據(jù)自己的經(jīng)驗，能不能畫圖說明？”這幾個問題關(guān)注了學(xué)生的思維過程，使學(xué)生的思維更具邏輯性……

教學(xué)實踐中，教師讓學(xué)生經(jīng)歷“直觀地看”“豐富地想”“形象地畫”等思維過程，將抽象的數(shù)學(xué)知識等用圖示表征出來，豐富了學(xué)生的個性體驗，幫助學(xué)生積累了課堂學(xué)習(xí)的情感體驗，轉(zhuǎn)變了學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)及幾何直觀能力，增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

幾何直觀能力的培養(yǎng)，有助于提升學(xué)生的直觀感知水平、直觀理解水平，然而“畫數(shù)學(xué)”，不僅能讓學(xué)生的思維可視化，還能培養(yǎng)學(xué)生逐步形成構(gòu)造直觀的能力，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思維方式分析問題、解決問題。縱觀整個小學(xué)階段，其實在一年級的教學(xué)中，很多教師就已經(jīng)讓學(xué)生學(xué)習(xí)用畫圖的方式表示數(shù)，表示計算的結(jié)果，后面的學(xué)習(xí)中讓學(xué)生畫示意圖、線段圖、長方形等圖示表征出對概念、算法及運算律等數(shù)學(xué)知識的理解，借助畫出的“形”來描述和分析，直觀地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)知識。教學(xué)實踐表明，讓學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的過程，就是讓學(xué)生擁有構(gòu)造幾何直觀的能力，也能發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，對提高他們解決問題的能力都有顯著的效果。