透析作業的價值和功能，優化作業設計

江蘇省南京市共青團路小學 劉正娟

數學教育家斯托利亞爾指出，數學教學是數學思維活動的教學，不僅僅是數學活動的結果，也是數學思維的過程。數學教育要遵循學生思維發展的規律，有效促進學生的思維發展，而教師要培養學生的思維能力，首先要讀懂學生的思維，作業既能反映學生的思維，也能反饋學生對知識的掌握程度。因此，優化作業設計的，既能促使學生知識技能的達成，也是學生作業減量增質的關鍵。

一、透析數學作業價值，理解學生的數學思維

“讀”有看、閱讀之意，“懂”有知道、了解之意，“思維”是在表象、概念的基礎上進行分析、綜合、判斷、推理等認識活動的過程。在數學活動中，要讀懂學生數學學習的過程，不但要關注學生數學學習的過程，還要關注他們在數學活動中的思維。

在以往的教學中，教師更關注的是零散知識點的教學，更多追求的是達成課時目標，在課堂上，要想讀懂學生的思維，往往是通過師生交流、生生互動來實現的，但由于授課時間和學生人數影響，教師在課堂上要讀懂每個學生的思維還是有困難的。因此，作業就成為教師檢驗學生學習效果必不可少的方式。數學作業是教師與學生交流的重要方式，是讀懂學生思維的主要途徑，通過作業，教師可以了解學生的思維和其在解題過程中迸發的思維火花。但很多教師在批改作業時，著眼點僅僅放在“對”與“錯”上。學生作業無論對錯，都反映了他在學習過程中的思維活動，尤其是一些具有創新性的作業、一題多解的作業，教師除了要關注學生作業的對錯，還要傾聽學生的不同解題思路，幫助學生養成從不同角度思考問題的習慣，培養學生的創新意識。

教師批閱作業的過程是與學生一對一交流的過程。學生作業中存在大量信息，教師仔細品讀可以發現學生對數學知識和數學問題的理解，如知識、能力、思維方式、思維習慣等信息都可以從學生作業中體現出來。如果教師能注意到這些，就可以更加全面地了解學生的學習過程和思維狀況。

二、透析數學作業功能，讀懂學生的思維活動

在實際教學中，“翻看教材—讀懂教參—研究學生—設計教學流程”是教師備課時的慣用步驟，同時，教師還要參與學生的學習過程，重視對作業的批閱，從中讀懂學生對數學知識的理解。批閱學生的數學作業時，教師可以讀懂學生的以下思維活動。

（一）批閱作業——讀懂學生對數學知識的理解程度

教師批改作業時，可以了解學生對數學知識的理解程度以及運用數學知識解決問題的能力。一般情況下，從作業中能直接看出學生是否掌握了相關數學知識，能否運用數學知識解決實際問題。即便是學生做錯了，錯題中也蘊含著大量的解題信息。

（二）錯誤資源——分析學生數學思維與知識缺乏的原因

仔細閱讀學生作業中的錯誤，我們會發現錯誤有很多類型,如計算錯誤、列式錯誤等，這些都是我們分析學生掌握和理解情況的教學資源，也是我們了解學生學習習慣、思維方式的重要資源。站在學生角度分析學生的作業，仔細品讀，就會發現學生錯誤的原因。

1.解題時，受認知水平以及過往活動經驗的干擾而導致的錯誤

2.解決問題時數據用錯而導致的錯誤

下面的例子反映了學生在解題過程中的思維活動正確，但在提取信息時出現了問題。

已知“方中圓”（見圖1），正方形的面積是40平方厘米，求圓的面積。

圖1

生答： 40÷4=10（厘米）

10÷2=5（厘米）

3.14×52=78.5（平方厘米）

分析學生作業，我們可以發現學生是通過分步來計算圓的面積的，從第二步可以看出學生求出了圓的半徑為5厘米。自上而下可以推斷學生的思維活動：要求圓的面積就要知道圓的半徑。學生第一步先通過正方形的面積40平方厘米，求出正方形的邊長（也就是圓的直徑）40÷4=10（厘米），進而求出半徑為5厘米，最后求圓的面積。縱觀學生的解題過程，思路清晰，卻犯了一個錯誤，學生把正方形的面積看成了周長。

由此分析原因：該生對“方中圓”的特點認識深刻，“正方形的邊長就是圓的直徑”，所以他更多關注的是圖形中的數據，再加上讀題不仔細，導致錯誤。正確的解題思路為：要求圓的面積就得知道圓的半徑，但此題圓的半徑以學生目前的知識水平求不出來，如果把這個正方形平均分成四份（見圖2），不難看出，每個小正方形的面積就是半徑r的平方，即r2，這樣就可以求出圓的面積，即40÷4=10（平方厘米），3.14×10=31.4（平方厘米）。

圖2

三、關注學、教、評一致性，優化作業設計

1.關注教學，精準設計作業內容

小學數學中的很多概念、規律、思想方法比較抽象，學生容易產生“迷思概念”，很難獲得精準的理解。因此，教師需要瞄準時機引入一個話題，讓學生展現內隱的思維，通過對比、分析，突破難點，獲得更深的數學理解。如蘇教版數學四年級下冊“乘法分配律”新授課的課后作業：

乘法有乘法分配律，那么除法是不是也有除法分配律呢？

生1認為有除法分配律，（a+b）÷c=a÷c+b÷c，該生通過列式得出（8+12）÷2=20÷2=10，而8÷2+12÷2=4+6=10，所以是成立的。

生2認 為 沒 有 除 法 分 配 律，12÷（2+4）=2，而12÷2+12÷4=9，兩個式子的得數不相等，所以沒有除法分配律。

乘法分配律相對于其他運算律而言，其算式結構和內在意義比較復雜，學生往往機械記憶“合”與“分”的外形特征。在作業情境中，生1的想法是學生普遍存在的負遷移。完成作業時，學生有的舉例多個算式，不同水平的學生都在原有的基礎上有了新的思維提升，有效地突破了學習難點。

2.關注學情，精準設計作業層次

數學知識是前后相連的,適時設計有層次的作業,把前后連貫性強的知識整合在一起，能增加作業的思維含量。學生在完成練習時，就能對這些知識有更加深刻的理解，起到以點帶面的作用，學生高階思維的能力也能得到一定的訓練。

如在蘇教版數學五年級下冊“解決問題的策略——轉化”中，筆者設計了以下操作性作業，讓學生畫圖并思考：

“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行。”多設計具有可操作性的作業，關注學生的學情，設計層次豐富的作業，在數學學習中注重培養學生的動手操作能力。當動手操作變成學習的一部分，那么學生對知識的掌握就會更好。

3.關注能力，優化作業設計形式

作業可分為課前作業、課中作業、課后作業、課時作業、單元作業、探究性作業、延展性作業等，教師要根據教學內容、教學需要、學生的實際水平，布置適合學生學習、注重能力提升的作業。

安德烈·焦爾當指出，人們是在體驗、檢驗、掂量中學習的。聽一聽別人的經驗，把它們記在大腦里，也就是積攢一些信息，不足以算作學習。教師需要引導學生與現實“對質”，搞清楚一種模型是以什么方式對自己“說話”的，以及一個公式如何概括事情的前因后果。

如蘇教版數學五年級上冊“平行四邊形的面積”的課后作業：

用細木條釘成一個長方形框，長12厘米，寬7厘米。它的周長和面積各是多少？如果將其拉成一個平行四邊形，周長變了沒有？面積呢？（見圖3）

圖3

這一類型的練習確實有一定難度，教師講了很多遍仍然有部分學生會出現錯誤。讓學生利用學具拉一拉，學生發現平行四邊形和長方形的周長是相等的，但它們的面積不相等。學生通過小組合作探究得出：平行四邊形的底是長方形的長，平行四邊形的高卻不是長方形的寬，比長方形的寬短，所以，長方形被拉成平行四邊形后面積變小了，因為高變短了。在此基礎上，有學生提出想法：如果把平行四邊形拉成長方形，長方形面積變大了，因為底不變，高變長了。學生動手操作探究，根據圖形的變形和變形過程中的變化，領悟變與不變在交替過程中的數學思考。此題為學生體驗數學知識的形成過程、檢驗數學猜想提供了平臺，引導學生在“做中學”，通過數學實驗，大膽地與數學現實“對質”，在科學探究中培養理性精神。

讀懂學生作業的真實想法，有助于教師了解學生為什么出錯，有助于教師改進教學，也有助于教師針對教情、學情有針對性地布置作業。在“雙減”政策的背景下，我們不僅要研究教學，還要研究學生的“學”，心中有學生，布置作業時關注學生的水平層次，提高作業的質量，提升教學的實效性。