Cohen-Macaulay局部環(huán)上的Canonical模

路姣姣, 楊曉燕

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

設(shè)(R,m,k)是Cohen-Macaulay局部環(huán),M是有限生成R-模.對Cohen-Macaulay局部環(huán)上的canonical模, 目前已有很多研究結(jié)果： 文獻(xiàn)[1]詳細(xì)介紹了Cohen-Macaulay模、極大Cohen-Macaulay模以及Cohen-Macaulay環(huán)上的canonical模, 并給出了canonical模的等價刻畫; 文獻(xiàn)[2]定義了兩個子范疇ΩDeep(R)和DF(R), 并討論了這兩個子范疇中有限生成模的性質(zhì), 尤其是子范疇ΩDeep(R)中的模與自由模的充分條件; 文獻(xiàn)[3]證明了canonical模ω的內(nèi)射維數(shù)有限等價于ω的投射維數(shù)有限.由canonical模和Gorenstein環(huán)的定義可知, Gorenstein環(huán)上的canonical模是R本身.文獻(xiàn)[4]給出了存在canonical模的Cohen-Macaulay環(huán)是Gorenstein環(huán)的條件; 文獻(xiàn)[5-6]對Cohen-Macaulay環(huán)成為Gorenstein環(huán)進(jìn)行了進(jìn)一步研究.本文主要研究在Cohen-Macaulay局部環(huán)上有限生成模的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)(R,m,k)是諾特局部環(huán),M是有限生成R-模.SuppM={p∈SpecR|Mp≠0}稱為M的支撐, dimM=sup{r|存在長度為r的鏈, 即p0…pr, 其中pi∈SuppM}表示模M的維數(shù), 當(dāng)R本身作為模時, SpecR=SuppR, dimR表示環(huán)R的維數(shù), 其中SpecR表示R的素理想的集合.depth稱為M的深度.因為M是有限生成R-模, 所以depthM也等于極大理想m中M-正則序列的最大長度.對于元素x∈R, 如果xy=0,y∈M?y=0, 則稱x是M-正則的, 若xi是M/(x1,x2,…,xi-1)M-正則的(i=1,2,…,n), 并且則稱序列是M-正則序列.pdM表示模M的投射維數(shù).若M?M**, 則稱M是自反模[7], 其中M**=HomR(HomR(M,R),R).

設(shè)M是有限生成R-模.如果depthM=dimM, 則稱M是Cohen-Macaulay模, 如果depthR=dimR, 則稱(R,m,k)是Cohen-Macaulay局部環(huán).CM(R)表示Cohen-Macaulay局部環(huán)上由極大Cohen-Macaulay模構(gòu)成的模類, 即

M∈CM(R)?dimM=dimR(或者depthM=depthR).

ΩCM(R)={M|0→M→Rn→XM→0,n∈,XM∈CM(R)},

DCM(R)={M|0→R→Mn→XM→0,n∈,XM∈CM(R)}.

如果R是Gorenstein環(huán), 則每個canonical模ω∈ΩCM(R)∩DCM(R).

注1由子范疇ΩCM(R)的定義知,ΩCM(R)由CM(R)的合沖組成.故ΩCM(R)?CM(R).

引理1CM(R)關(guān)于擴(kuò)張和有限直和封閉.

證明: 設(shè)有正合列

0→M′→M→M″→0,

只需證當(dāng)M′,M″∈CM(R)時,M∈CM(R).因為dimM=sup{dimM′,dimM″}=dimR, 所以M∈CM(R).

引理2設(shè)0→M′→M→M″→0是R-模正合列.若M∈ΩCM(R)且M″∈CM(R), 則M′∈ΩCM(R).

證明: 因為M∈ΩCM(R), 所以有正合列

0→M→Rn→XM→0,

其中XM∈CM(R),n∈.考慮如下推出圖:

因為XM,M″∈CM(R), 所以由引理1知P∈CM(R).故M′∈ΩCM(R).

引理3設(shè)0→M′→M→M″→0是R-模正合列.若M′∈DCM(R)且M″∈CM(R), 則M∈DCM(R).

證明: 因為M′∈DCM(R), 所以有正合列

0→R→M′n→XM→0,

其中XM∈CM(R),n∈.考慮如下推出圖:

因為XM,M″∈CM(R), 所以由引理1知M″n∈CM(R), 從而P∈CM(R).故M∈DCM(R).

證明: 因為M∈ΩCM(R), 所以有正合列

0→M→Rn→XM→0,XM∈CM(R).

(1)

用HomR(-,R)作用正合列(1)，得

(2)

從而有如下正合列：

因為XM是自反模, 所以有交換圖:

故M是自反模.

2 ΩCM(R)中有限生成模是canonical模的條件

證明: 取M的極小自由分解

F: 0→Kd→Fd-1→…→F2→F1→M→0.

因為R是Cohen-Macaulay環(huán),M是有限生成R-模, 所以由文獻(xiàn)[1]中習(xí)題2.1.26知, 在M的自由分解中,M的第d個合沖或者是0, 或者是極大Cohen-Macaulay模.當(dāng)Kd=0時,M的極小自由分解為:

F: 0→Fd-1→…→F2→F1→M→0.

(3)

0→HomR(M,N)→HomR(F1,N)→HomR(F2,N)→…→HomR(Fd-1,N)→0.

記HomR(Fi,N)=Nni(i=0,1,…,d), 則有正合列:

0→HomR(M,N)→Nn1→Nn2→…→Nnd-1→0.

(4)

由正合列(4)可得下述兩個正合列:

0→HomR(M,N)→Nn1→K→0,

0→K→Nn2→Nn3→…→Nnd-1→0.

因為N∈ΩCM(R)?CM(R), 并且CM(R)關(guān)于有限直和封閉, 所以Nni∈ΩCM(R)?CM(R).故K∈CM(R).當(dāng)Kd≠0時,M的極小自由分解為

F: 0→Kd→Fd-1→…→F2→F1→M→0.

0→HomR(M,N)→HomR(F1,N)→HomR(F2,N)→…→HomR(Fd-1,N)→HomR(Kd,N)→0.

記HomR(Fi,N)=Nni(i=0,1,…,d), 則有正合列:

0→HomR(M,N)→Nn1→Nn2→…→Nnd-1→HomR(Kd,N)→0.

(5)

由正合列(5)可得下述兩個正合列:

0→HomR(M,N)→Nn1→K→0,

0→K→Nn2→Nn3→…→Nnd-1→HomR(Kd,N)→0.

因為Kd是R上的極大Cohen-Macaulay模, 并且N是有限生成Cohen-MacaulayR-模, 所以由文獻(xiàn)[1]中命題3.3.3知, HomR(Kd,N)是R上的極大Cohen-Macaulay模, 即HomR(Kd,N)∈CM(R), 所以K∈CM(R).由引理2知, HomR(M,N)∈ΩCM(R).

推論1設(shè)(R,m,k)是Cohen-Macaulay局部環(huán),M∈ΩCM(R)是有限生成模.若canonical模ω∈ΩCM(R), 則HomR(M,ω)∈ΩCM(R).

證明: 結(jié)合定理1和引理3可證, 故略.

νd(HomR(M,ω))=μ(M)νd(ω)=μ(M)νd(N).

所以IdRN≤d-1, 并且νd(N)=νd(ω)=1, 因此N是R上的canonical模.

證明: 因為M∈ΩCM(R), 所以有正合列

0→M→Rn→XM→0,XM∈CM(R).

于是0→M/(x1M)→Rn/(x1Rn)→XM/(x1XM)→0正合, 又由depthXM/(x1XM)=depthXM-1, depthR/(x1R)=depthR-1, 且depthXM=depthR, 所以depthXM/(x1XM)=depthR/(x1R), 從而XM/(x1XM)∈CM(R/(x1R)), 進(jìn)而M/(x1M)∈ΩCM(R/(x1R)).同理有正合列