初值含Dirac函數的一個簡化趨化性模型的Riemann問題

孫寅酉, 郭俐輝, 劉冬冬

(新疆大學 數學與系統科學學院, 烏魯木齊 830046)

0 引 言

趨化現象源于細胞或細菌的趨化性, 是一種基本的生物學現象, 趨化性是指單細胞或多細胞生物在化學信號的作用下, 沿化學信號的濃度梯度做定向運動的特性.Keller和Segel[1]提出了刻畫細胞或者細菌趨化性的Keller-Segel模型, 也稱為趨化性模型.本文考慮由縮化趨化方程組[2]

(1)

簡化而得的一維非嚴格雙曲守恒律方程組

(2)

其中：p(≥0)表示細胞密度；q=-ν/ν,ν表示化學物質濃度；參數ε是一個反映細胞和化學物質之間反應程度充分小的正數.事實上, 方程組(2)可由方程組(1)令ε→0得到, 即在方程組(2)中, 化學反應過程消失.

目前，關于Dirac激波和趨化模型的研究已有很多結果[2-14].文獻[3]證明了含三片小擾動初值的非嚴格雙曲守恒律方程組Riemann解的穩定性, 其Riemann解中包含Dirac激波.文獻[2]構造了方程組(2)帶有初值

(3)

的Riemann解.

近年來, 含Dirac初值相關問題的研究得到廣泛關注[15-18].Wang等[15]研究了帶有Dirac初值的一維Chaplygin氣體方程組, 利用廣義Rankine-Hugoniot條件和熵條件得到了Riemann問題的整體解, 并證明了解的穩定性.本文利用文獻[15]的方法, 研究一維非嚴格雙曲守恒律方程組(2)帶有初值

(4)

的Riemann解, 其中δ表示Dirac函數,m0,q0,p±,q±是任意常數, 且滿足p±≥0.本文分析當p±>0時所有情形的全局Riemann解, 由于當p±=0時全局解的構造過程類似, 故只給出結果.

1 預備知識

下面簡述Riemann問題(2)-(3)的解, 詳細過程參見文獻[2,19].Riemann問題(2)-(3)的基本波為駐波

(5)

和接觸間斷

J(p-,q-):λ2=σ2=-q=-q-.

(6)

當q±<0時, Riemann問題(2)-(3)的解為SW+J; 當q±>0時, 其解為J+SW; 當q->0>q+時, 其解為J+SW+J; 而當q-<0

(7)

其中x(t),uδ(t)和β(t)分別為DSW在t時刻的位置、波速和權重.

2 帶有Dirac初值的Riemann問題

2.1 當p±>0時, Riemann問題(2)-(4)的解

當p±>0時, 根據q±,q0和0之間的大小關系, 將該問題分為以下5種情形討論.

情形1)q-≤0且q0,q+<0(若q-,q0>0且q+≥0, 構造解的過程類似).

首先考慮方程組(2)和初值

(8)

的全局解, 其中ε>0且充分小.基于弱解的穩定性理論, 當ε→0時, 由問題(2)-(8)的整體解可得問題(2)-(4)的整體解.

由q-≤0且q0,q+<0知, 從(-ε,0)發出一個SW1和一個J1, 從(ε,0)發出一個SW2和一個J2.當時間t足夠小時, 問題(2)-(8)的解如圖1(A)所示，其結構為

(p-,q-)+SW1+(p1,q1)+J1+(m0/(2ε),q0)+SW2+(p2,q2)+J2+(p+,q+),

其中(p1,q1)和(p2,q2)分別滿足(p1,q1)=(p-q-/q0,q0)和(p2,q2)=(m0q0/(2εq+),q+).由J1的傳播速度為-q0>0且SW2的傳播速度為0知,J1和SW2會在點(x1,t1)=(ε,-2ε/q0)處發生相互作用.在t=t1時刻, 又產生一個新的Riemann問題, 其初值為

(9)

由于q1=q0<0且q2=q+<0, 故此Riemann問題的解由SW3,J3和中間狀態(p3,q3)構成, 其中(p3,q3)=(p-q-/q+,q+).由J2和J3的傳播速度均為-q+知, 它們不會發生相互作用.從而當t>t1時, 問題(2)-(8)的解可表示(見圖1(A))為

(p-,q-)+SW1+(p1,q1)+SW3+(p3,q3)+J3+(p2,q2)+J2+(p+,q+).

(10)

當t>0時,δJ的位置、權和傳播速度分別為

x(t)=-q+t,β(t)=m0,uδ(t)=-q+,

(11)

其初值為

(x,β,uδ)(0)=(0,m0,0).

(12)

易證δJ滿足廣義Rankine-Hugoniot條件(7), 其中[p]=p+-p3.

圖1 當q-≤0且q0,q+<0時，Riemann問題(2)-(8)的解(A)和Riemann問題(2)-(4)的解(B)Fig.1 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-≤0 and q0,q+<0

情形2)q-,q0>0且q+<0(若q->0且q0,q+<0, 則解的構造過程相似).

分析方法與情形1)相似, 可得Riemann問題(2)-(8)的解如圖2(A)所示.令ε→0, 則問題(2)-(4)的解如圖2(B)所示，可構造為

(13)

其中(p3,q3)和(p4,q4)分別滿足

(p3,q3)=(0,q+), (p4,q4)=(0,q-).

(14)

當t>0時,δJ的位置、權和傳播速度分別為

x(t)=-q-t,β(t)=m0,uδ(t)=-q-,

(15)

且其初值為式(12).易證δJ滿足廣義Rankine-Hugoniot條件(7), 其中[p]=p4-p-.

圖2 當q-,q0>0且q+<0時，Riemann問題(2)-(8)的解(A)和Riemann問題(2)-(4)的解(B)Fig.2 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-,q0>0 and q+<0

情形3)q-≤0,q+≥0且q-,q0和q+不同時為零.

由于q0是任意常數且當q0=0時, 其不能為分母, 故需分q0≠0和q0=0兩種情形構造全局解.

①q-≤0,q0<0且q+≥0(若q-≤0,q0>0且q+≥0, 解的構造過程相似).

此時, 從(-ε,0)發出一個SW和一個J, 從(ε,0)發出DSW1.當時間t充分小時, 問題(2)-(8)的解如圖3(A)所示，其結構為

(p-,q-)+SW+(p1,q1)+J+(m0/(2ε),q0)+DSW1+(p+,q+),

其中(p1,q1)=(p-q-/q0,q0).

由J的傳播速度為-q0>0且DSW1的傳播速度為0知,J和DSW1會在點(x1,t1)=(ε,-2ε/q0)處發生相互作用.當t

(16)

在t=t1時刻, 產生了一個新的Riemann問題, 其初值為

(17)

由q0<0≤q+知, 該Riemann問題的解為一個DSW2, 它連接了(p1,q1)和(p+,q+)兩個狀態, 其位置、權和傳播速度分別為

(18)

從而當t>t1時, 問題(2)-(8)的解如圖3(A)所示，其結構為

(p-,q-)+SW+(p1,q1)+DSW2+(p+,q+).

至此, 已完全得到問題(2)-(8)的整體解.令ε→0, 則Riemann問題(2)-(4)的解如圖3(B)所示，可構造為

(19)

當t≥0時,DSW的位置、權和傳播速度分別為

x(t)=0,β(t)=(p+q+-p-q-)t+m0,uδ(t)=0,

(20)

其初值為式(12).易證DSW滿足上述廣義Rankine-Hugoniot條件(7), 這里[p]=p+-p-.

②q-≤0,q0=0,q+≥0且q-,q0和q+不同時為零.

由于q0=0, 故此時不會出現波的相互作用, 于是有：

(i) 若q-<0,q0=0且q+≥0, 則從(-ε,0)和(ε,0)分別發出一個Dirac駐波DSW1和DSW2.令ε→0, 便得到問題(2)-(4)的全局解為式(22), 如圖3(B)所示.

(ii) 若q-=q0=0且q+>0, 則從(-ε,0)和(ε,0)分別發出一個SW和DSW.當ε→0時, Riemann問題(2)-4)的全局解為式(22), 如圖3(B)所示.

圖3 當q-≤0, q0<0且q+≥0時，Riemann問題(2)-(8)的解(A)和Riemann問題(2)-(4)的解(B)Fig.3 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q-≤0, q0<0 and q+≥0

情形4)q->0,q0≤0且q+≥0(若q-≤0,q0≥0且q+<0, 解的構造過程相似).

分析方法與情形3)中①類似, 可得Riemann問題(2)-(8)的解如圖4(A)所示, 令ε→0, 則Riemann問題(2)-(4)的解如圖4(B)所示，可構造為

(21)

其中(p1,q1)=(0,q-).當t≥0時,DSW的位置、權和傳播速度分別為

x(t)=0,β(t)=p+q+t+m0,uδ(t)=0,

(22)

其初值為式(12).易證DSW滿足上述廣義Rankine-Hugoniot條件(7), 其中[p]=p+-p1.

圖4 當q->0, q0≤0且q+≥0時，Riemann問題(2)-(8)的解(A)和Riemann問題(2)-(4)的解(B)Fig.4 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q->0, q0≤0 and q+≥0

情形5)q->0,q0=0且q+<0.

此時從點(-ε,0)發出一個J1和一個SW1, 從點(ε,0)發出一個SW2和一個J2, 沒有波的相互作用發生.問題(2)-(8)的解如圖5(A)所示，其結構為

(p-,q-)+J1+(p1,q1)+SW1+(m0/(2ε),0)+SW2+(p2,q2)+J2+(p+,q+),

其中(p1,q1)和(p2,q2)分別滿足

(p1,q1)=(0,q-), (p2,q2)=(0,q+),

J1和J2的傳播速度分別為-q-和-q+.令ε→0, 則m0/(2ε)→∞, 此時形成一個DSW, 從而Riemann問題(2)-(4)的解如圖5(B)所示，可構造為

(23)

當t≥0時,DSW的位置、權和傳播速度分別為

x(t)=0,β(t)=m0,uδ(t)=0,

(24)

其初值為式(12).顯然DSW滿足上述廣義Rankine-Hugoniot條件(7), 其中[p]=p2-p1.

圖5 當q->0, q0=0且q+<0時, Riemann問題(2)-(8)的解(A)和Riemann問題(2)-(4)的解(B)Fig.5 Solutions of Riemann problem (2)-(8) (A) and Riemann problem (2)-(4) (B) when q->0, q0=0 and q+<0

2.2 當p-=0或p+=0時Riemann問題(2)-(4)的解

由于當p±=0時的全局Riemann解可以由p±→0(00時所有情形的Riemann解, 所以易得p±=0時的解.先給出當p-=0時問題(2)-(4)的全局Riemann解.

1) 若q-,q0>0且q+≥0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為δJ+SW;

2) 若q0,q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為SW+δJ;

3) 若p+>0,q-,q0>0且q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為δJ+SW+J;

4) 若p+>0,q-≤0,q0≥0且q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為DSW+J; 當p+>0,q->0,q0=0且q+<0時, Riemann問題(2)-(4)的全局解也為DSW+J;

5) 若q-≤0,q+≥0且q-,q0和q+不同時為零, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為DSW; 當q->0,q0≤0且q+≥0時, Riemann問題(2)-(4)的全局解也為DSW.

下面給出p+=0時的全局解.

1) 若q-,q0>0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為δJ+SW;

2) 若q-≤0且q0,q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為SW+δJ;

3) 若p->0,q->0且q0,q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為J+SW+δJ;

4) 若p->0,q->0,q0≤0且q+≥0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為J+DSW；當p->0,q->0,q0=0且q+<0時, Riemann問題(2)-(4)的全局解也為J+DSW;

5) 若q-≤0,q0≥0且q+<0, 則Riemann問題(2)-(4)的全局解為DSW; 當p->0,q-≤0且q+≥0時, Riemann問題(2)-(4)的全局解為DSW; 當p-=0,q->0,q0=0且q+≥0時, Riemann問題(2)-(4)的全局解也為DSW.

3 數值實驗

下面利用迎風格式的數值模擬[20]驗證上述結果的正確性.僅對情形1)、情形3)中①和情形5)在ε=0.01和ε→0時做數值模擬, 其余情形類似.

例1為驗證情形1)中δJ的形成, 給定初值

(p-,q-)=(5,-0.5), (m0/(2ε),q0)=(300,-2), (p+,q+)=(10,-1).

情形1)在ε=0.01和ε→0時的數值模擬結果分別如圖6和圖7所示.對比圖6和圖7可見,ε→0時比ε=0.01時p值大很多, 且隨著ε的減小p值趨于無窮大, 這與情形1)中p2→∞一致, 從而數值模擬結果與情形1)的全局Riemann解相符.

圖6 例1中當ε=0.01時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.6 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 1

圖7 例1中當ε→0時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.7 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 1

例2為驗證情形3)的①中DSW的形成, 給定初值

(p-,q-)=(4,-2), (m0/(2ε),q0)=(300,-5), (p+,q+)=(2,1).

情形3)中①在ε=0.01和ε→0時的數值模擬結果分別如圖8和圖9所示.由圖8和圖9可見,ε→0時比ε=0.01時p值大很多, 表明在x=0處出現了一個DSW.

圖8 例2中當ε=0.01時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.8 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 2

圖9 例2中當ε→0時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.9 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 2

例3為驗證情形5)中DSW的形成, 給定初值

(p-,q-)=(4,2), (m0/(2ε),q0)=(300,0), (p+,q+)=(2,-2).

情形5)在ε=0.01和ε→0時的數值模擬結果分別如圖10和圖11所示.當ε=0.01時, 由圖10可見，p值在x=0處有一個明顯的跳躍變化.當ε→0時, 由圖11可見, 兩條線在x=0處重合,p值明顯增大, 表明在x=0處出現一個DSW.

圖10 例3中當ε=0.01時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.10 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε=0.01 in example 3

圖11 例3中當ε→0時Riemann問題(2)-(4)中p和q的值Fig.11 Values of p and q in Riemann problem (2)-(4) when ε→0 in example 3