一類非線性Riemann-Liouville適型分?jǐn)?shù)階微分方程正解的存在性

彭鐘琪, 李 媛, 畢國健, 薛益民

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽 110870；2.徐州工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 江蘇 徐州 221018)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程在熱力學(xué)系統(tǒng)、材料與機(jī)械系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等[1]工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性研究目前已取得了許多成果[2-6].單調(diào)迭代技巧是研究整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題和邊值問題的有效工具[7-11].文獻(xiàn)[10]研究了如下非線性標(biāo)準(zhǔn)Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

(1)

f(t,y(t))-f(t,x(t))≥-λ[y(t)-x(t)],

其中x0(t)≤x(t)≤y(t)≤y0(t),x0(t),y0(t)分別是問題(1)的下解和上解,λ是一個(gè)常數(shù)且滿足嚴(yán)格的限制條件.

由于分?jǐn)?shù)階微分算子定義的多樣性, 如Riemann-Liouville,Caputo,Hadamard,Caputo-Hadamard型[12-14]等, 因此可選擇最合適的算子描述實(shí)際應(yīng)用中的復(fù)雜問題[15-20].Jarad等[15]建立了Riemann-Liouville適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 文獻(xiàn)[17]用Krasnosel’skii’s不動點(diǎn)定理及Leray-Schauder非線性抉擇理論等方法研究了一類非線性Caputo適型分?jǐn)?shù)階微分方程四點(diǎn)邊值問題解的存在性和唯一性; 文獻(xiàn)[18-19]用單調(diào)迭代技巧和上下解法分別研究了一類Caputo適型和Riemann-Liouville適型分?jǐn)?shù)階微分方程極值解的存在性.

受上述研究工作的啟發(fā), 本文考慮如下非線性Riemann-Liouville適型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

(2)

1 預(yù)備知識

定義1[21]函數(shù)f: [a,∞)→的α階左適型導(dǎo)數(shù)定義為

定義2[15]函數(shù)f: (a,+∞)→的β階左Riemann-Liouville適型積分定義為

(3)

其中β>0,α∈(0,1].當(dāng)α=1時(shí), 分?jǐn)?shù)階積分(3)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分.

定義3[15]函數(shù)f: (a,+∞)→的β階左Riemann-Liouville適型導(dǎo)數(shù)定義為

(4)

定義4如果函數(shù)x0(t)∈C[0,1]滿足如下關(guān)系:

則x0(t)稱為方程(2)的下解.如果函數(shù)y0(t)∈C[0,1]滿足如下關(guān)系:

則y0(t)稱為方程(2)的上解.

引理1[15]若β,γ>0,α∈(0,1], 0

引理2[15]若β>0,α∈(0,1], 則

其中ci∈,i=1,2,3,…,n,n=[β]+1.

引理3設(shè)h(t)∈C[0,1],α∈(0,1],β∈(2,3], 則邊值問題

等價(jià)于積分方程

其中

證明： 由引理2知, 方程(5)可化為

由式(6)可得

所以問題(5)-(6)等價(jià)于

引理4函數(shù)G(t,s)有如下性質(zhì)：

1)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]);

2) ?t,s∈(0,1), 有G(t,s)>0;

證明： 性質(zhì)1)顯然成立.下證性質(zhì)2)～4).當(dāng)00.當(dāng)0

所以?t,s∈(0,1),G(t,s)>0.即性質(zhì)2)成立.

由性質(zhì)1)有

所以

即性質(zhì)3)成立.下證性質(zhì)4).

當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí), 有

令γ(s)=sα(1-sα)β-1, 證畢.

(7)

1) ?x∈V∩?Ω1, ‖Ax‖≤‖x‖, 且?x∈V∩?Ω2, ‖Ax‖≥‖x‖；

2) ?x∈V∩?Ω1, ‖Ax‖≥‖x‖, 且?x∈V∩?Ω2, ‖Ax‖≤‖x‖.

2 正解的存在性

引理6設(shè)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)), 定義算子T:P→E為

青島市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)與文化創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)互動發(fā)展研究…………………………………………………邢崇，韓凌雯（2，81）

則算子T:P→P是全連續(xù)的.

因此T(Ω)一致有界.對任意的x∈Ω, 0≤t1

當(dāng)t2→t1時(shí), ‖Tx(t2)-Tx(t1)‖→0, 所以T(Ω)是等度連續(xù)的.根據(jù)Arzela-Ascoli定理, 算子T:P→P是全連續(xù)的.

為方便, 記

定理1設(shè)b=0,f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).若存在常數(shù)c≥1,r2>r1>1, 滿足下列條件：

1)f0+=0；

2) ?(t,x)∈[0,1]×[0,r2],f(t,x)≤Mr2;

3) ?(t,x)∈[0,1]×[0,r1],f(t,x)≥Nr1.

證明： 由于b=0, 故可定義算子A:P→P為

由引理6知算子A:P→P是全連續(xù)的, 且算子A的不動點(diǎn)即為問題(2)的解.

由條件1)知, 可選取充分小的η滿足

0<η≤M,

(8)

從而存在L>0, 滿足

f(t,x)≤ηxc,t∈[0,1],x∈[0,L].

(9)

令Ωr3={x∈P: ‖x‖

r3

(10)

由式(8)～(10)和引理4知, ?x∈P∩?Ωr3,t∈[0,1], 有

即

‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ωr3,t∈[0,1].

(11)

令Ωr2={x∈P: ‖x‖

即

‖Ax‖≤‖x‖, ?x∈P∩?Ωr2,t∈[0,1].

(12)

令Ωr1={x∈P: ‖x‖

即

‖Ax‖≥‖x‖, ?x∈P∩?Ωr1,t∈[a1/α,(1-a)1/α].

(13)

3 極值解的存在性和唯一性

下面用單調(diào)迭代技巧和上下解方法證明問題(2)極值解的存在性和唯一性.首先給出如下假設(shè).

假設(shè):

(H1) 存在常數(shù)λ<0, 滿足0<-λ

(H2) ?t∈[0,1],x0(t),y0(t)∈P分別是問題(2)的下解和上解, 且x0(t)≤y0(t);

(H3) 常數(shù)λ滿足

f(t,y(t))-f(t,x(t))≥-λ[y(t)-x(t)],

其中x0(t)≤x(t)≤y(t)≤y0(t),t∈[0,1].

引理7若假設(shè)條件(H1)成立, 則?x(t),σ(t)∈E, 邊值問題

(14)

有唯一解.

證明： 由引理3知, 問題(14)等價(jià)于積分方程

定義算子S:E→E為

?x(t),y(t)∈E, 由引理4可得

即

‖Sy-Sx‖≤-λM-1‖y-x‖.

由假設(shè)條件(H1)和Banach不動點(diǎn)定理可知, 問題(14)有唯一解.

引理8若假設(shè)條件(H1)成立, ?x(t)∈E,x(t)滿足如下關(guān)系:

(15)

則?t∈[0,1],x(t)≥0.

(16)

由式(16)、引理3和引理4可得

令t=t*, 得-λM-1≥1, 與假設(shè)條件(H1)矛盾, 因此x(t)≥0.

定理2若假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 則問題(2)在區(qū)間

[x0,y0]={x(t)∈P:x0(t)≤x(t)≤y0(t)}

上有極值解x*(t),y*(t), 且

0≤x0(t)≤x*(t)≤y*(t)≤y0(t).

證明： ?t∈[0,1],n=1,2,3…, 定義

(17)

(18)

由引理7知x1,y1有唯一解, 下面分三步證明問題(2)有極值解.

1) 證明{xn},{yn}是單調(diào)序列.令u(t)=x1(t)-x0(t), 則由式(17)和假設(shè)條件(H2)有

由引理8得u(t)≥0, 即x0(t)≤x1(t).類似可得y1(t)≤y0(t).令r(t)=y1(t)-x1(t), 由式(17),(18)和假設(shè)條件(H3)有

由引理8得r(t)≥0, 即x1(t)≤y1(t).綜上可得x0(t)≤x1(t)≤y1(t)≤y0(t).下面證明x1(t)為問題(2)的下解,y1(t)為問題(2)的上解.由式(17)可得

根據(jù)下解的定義知x1(t)為問題(2)的下解, 同理y1(t)為問題(2)的上解.由數(shù)學(xué)歸納法可得

x0(t)≤x1(t)≤…≤xn(t)≤…≤yn(t)≤…≤y1(t)≤y0(t).

2) 證明xn,yn滿足如下關(guān)系：

(19)

(20)

令F(xn)(t)=f(t,xn(t))+λxn(t), 由假設(shè)條件(H3)易知函數(shù)F連續(xù)且單調(diào)非增.根據(jù)引理3, 式(17)可化為

(21)

由P是正規(guī)錐可知{xn}一致有界.根據(jù)F,G的連續(xù)性, 易知{xn}是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理知{xn}滿足式(19), 同理{yn}滿足式(20).由式(19),(21)和Lebesgue控制收斂定理得

即x*是問題(2)的一個(gè)解, 同理y*也是問題(2)的一個(gè)解.

3) 證明x*(t),y*(t)是問題(2)的極小解和極大解.假設(shè)x(t)∈[x0,y0]是問題(2)的任意一個(gè)解, 且滿足xn(t)≤x(t)≤yn(t).令l(t)=x(t)-xn+1(t), 由式(16)和假設(shè)條件(H3)有

由引理8得l(t)≥0, 即xn+1(t)≤x(t).類似可得x(t)≤yn+1(t).所以xn+1(t)≤x(t)≤yn+1(t).令n→∞, 有0≤x*(t)≤x(t)≤y*(t).證畢.

注2文獻(xiàn)[10]利用單調(diào)迭代技巧證明了問題(1)存在極值解, 并假設(shè)常數(shù)λ>0滿足如下條件：

3) [Kλ+β2(1-β)2]λ(β-1)2<Γ(β)β2(1-β)2.

而本文只需假設(shè)常數(shù)λ<0滿足

與文獻(xiàn)[10]相比, 本文極大簡化了λ所需滿足的限制條件.

假設(shè)：

其中x0(t)≤x(t)≤y(t)≤y0(t),t∈[0,1].

定理3若假設(shè)條件(H1)～(H4)成立, 則問題(2)存在唯一解.

證明： 由定理2知, 問題(2)在區(qū)間[x0,y0]存在極值解x*(t),y*(t), 且x*(t)≤y*(t).因此只需證x*(t)≥y*(t)即可.

令w(t)=x*(t)-y*(t).由假設(shè)條件(H4)得

(22)