具有飽和效應的任意階自催化反應擴散模型的Turing不穩定性和Hopf分支

郭改慧, 郭飛燕, 李紀純

(陜西科技大學 數學與數據科學學院, 西安 710021)

0 引 言

Turing不穩定性是指擴散可能破壞反應擴散系統的穩態平衡, 并導致非均勻的空間模式[1].為驗證該結論, 關于化學和生物背景下反應擴散模型的Turing不穩定性研究得到廣泛關注.如Lengyel-Epstein反應擴散模型[2-3]和自催化化學反應的Brusselator模型[4-5]等.當反應速率相同且反應物初始濃度不變時, 任意階自催化模型可表示為

(1)

其中:Ω?N(N≥1)為具有光滑邊界?Ω的有界開集,υ表示?Ω上的單位外法向量；u,v分別表示反應物和催化劑的無量綱濃度, 通常認為是非負的；d1,d2分別表示反應物和催化劑的擴散系數, 均為正常數；Δ為Laplace算子;a,p均為正常數.

對于系統(1), 文獻[6]以a為分支參數證明了Hopf分支和穩態分岔的存在性, 同時得到了由擴散引起的Turing不穩定性；文獻[7]補充了文獻[6]的結果, 進一步建立了由擴散系數引起的Turing不穩定區域, 同時討論了擴散系數對Hopf分支存在性的影響; 文獻[8]討論了其唯一正常數平衡點穩態分岔的穩定性；文獻[9]證明了當p=2時其非常數穩態解的存在性和不存在性, 并討論了高維情形下其唯一正常數平衡點所產生的局部穩態分岔.

飽和效應是指反應物與生成物之間的飽和程度.由于生物和化學反應過程通常會受飽和效應的影響, 因此研究模型在飽和效應下的動力學行為非常必要.文獻[10]討論了具有飽和效應的Sel’kov模型正平衡點的穩定性及非常數穩態解的存在性和不存在性；文獻[11]研究了具有飽和效應的Sel’kov模型周期解的Turing不穩定性.本文在系統(1)的基礎上考慮一類具有飽和效應的任意階自催化反應擴散模型：

(2)

其中k為飽和系數.本文主要研究系統(2)正平衡點的穩定性、Hopf分支存在性以及由擴散引起的Turing不穩定性.顯然, 系統(2)存在唯一的正平衡點(u*,v*)=(a1-p+ka,a).

1 常微分系統的穩定性和Hopf分支

下面針對系統(2)相應的常微分系統

(3)

給出其正平衡點(u*,v*)的穩定性和Hopf分支的存在性及穩定性.

系統(3)在(u*,v*)處的Jacobi矩陣為

設其特征方程為λ2-Tλ+G=0, 其中

1) 若a>a0, 則系統(3)的唯一正平衡點(u*,v*)局部漸近穩定;

2) 若a

3) 若a=a0, 則系統(3)在正平衡點(u*,v*)處產生Hopf分支, 且當kp<1時, 該Hopf分支方向為次臨界的, 分支周期解漸近穩定; 當kp>1時, 該Hopf分支為超臨界的, 分支周期解不穩定.

證明： 當a>a0時,T<0且G>0, 此時Jacobi矩陣J的特征值均具有負實部, 故正平衡點(u*,v*)局部漸近穩定; 當a0且G>0, 此時Jacobi矩陣J存在具有正實部的特征根, 故正平衡點(u*,v*)不穩定.

當a=a0時,J存在一對純虛根.設λ=α(a)±iβ(a)為J在a=a0附近的一對共軛復根, 其中

計算可得

(4)

方程組(4)可改寫為

(5)

其中F2(u,v,a)=-F1(u,v,a), 且

這里

顯然, 當a=a0時, 有

其中

下面通過計算d(a0)的符號給出Hopf分支方向以及周期解的穩定性[12], 其中

(6)

(7)

將式(7)代入式(6), 并整理得

由于α′(a0)<0, 因此根據Poincare-Andronov-Hopf分支定理[12]可知, 系統(3)在正平衡點(u*,v*)處產生Hopf分支.當kp<1時, 該Hopf分支方向是次臨界的, 且分支周期解漸近穩定; 當kp>1時, 該Hopf分支方向為超臨界的, 且分支周期解不穩定.

2 擴散系統的Turing不穩定性和Hopf分支

下面在一維空間Ω=(0,π)上討論正平衡點(u*,v*)對系統(2)的穩定性, 給出系統(2)的Turing不穩定性及Hopf分支的存在性.

定義實Sobolev空間X={(u,v)∈H2(0,π)×H2(0,π): (ux,vx)|x=0,π=0},X的復延拓空間XC=X⊕iX={x1+ix2|x1,x2∈X}.算子-Δ在齊次Neumann邊界條件下的特征值為μn=n2(n∈0={0,1,2,…}), 且φn=cos(nx)(n∈0)為對應μn的特征函數.系統(2)在平衡點處的線性化算子為

L的所有特征值均可由Ln的特征值給出, 其中

設Ln的特征方程為μ2-Tnμ+Dn=0,n∈0, 其中

注意到二次函數

h(z)=a2pz2-2ap(p+1+kap)z+(1-p+kap)2

的判別式

因此h(z)=0存在兩個實根:

定理2設p>1.當ad1z1時, 系統(2)的平衡點(u*,v*)局部漸近穩定.

下面討論a00, 方程

存在兩個正實根：

(8)

其中

R=d2A+d1N=-(1-p+kap)d1-apd2,D=ap(1+kap)>0.

令

易知當00.因此對于所有的d1>0, 均有K′(d1)>0, 從而μ+(d1,d2)關于d1單調遞增.另一方面, 有

關于d1求導, 可得

定義

Φ1={μ|μ≥0,μ-(d1,d2)<μ<μ+(d1,d2)},Φ2={μ0,μ1,μ2,…}.

下面討論由擴散引起的Turing不穩定性.若使0

對于任意的d1>0, 有0<μ+(d1,d2)<μ*.如果μ1>μ*, 則Φ1∩Φ2=?, 即對所有的n∈,Dn>0且Tn<0, 故系統(2)的正平衡點(u*,v*)局部漸近穩定.從而可得：

證明： 固定d1, 令d2→0, 則

定理5設p>1, 且d1,d2滿足

(9)

則當a=a0時, 系統(2)在(u*,v*)處產生空間齊次的Hopf分支.

證明： 當a=a0時,T0=0且D0>0.因為μn>0(n≥1)且d1,d2>0, 故對于任意的n≥1, 均有Tn(a0)<0.經計算,

當d1,d2滿足式(9)時, 對任意的n≥1, 均有Dn(a0)>0.因此, 當a=a0時, 算子L除一對共軛純虛根外, 其他特征值均具有負實部.令μ=δ1(a)±iδ2(a)為算子L在a=a0附近的一對共軛復根, 則

由Hopf分支定理[12]知, 當a=a0時系統(2)在(u*,v*)處產生空間齊次的Hopf分支.

3 數值模擬

對于常微分系統(3), 取p=2,k=15/49, 則a0=0.875.若取a=1>a0, 則由定理1知, 其正平衡點(u*,v*)局部漸近穩定, 如圖1所示.若取a=0.87

圖1 當參數a=1時系統(3)正平衡點局部漸近穩定Fig.1 Positive equilibrium point of system (3) is locally asymptotically stable when parameter a=1

對于偏微分系統(2), 取Ω=(0,π), 當p=3,k=0.1時,a0=1.220 5,a*=2.714 4.若取a=2, 則z1=0.019 1.當d1=4,d2=7時, 滿足d2>d1z1, 由定理2知系統(2)的正平衡點(u*,v*)局部漸近穩定, 如圖3所示.當d1=1,d2=0.005時, 滿足0

圖2 當參數a=0.87時系統(3)產生穩定周期閉軌Fig.2 System (3) produces stable periodic closed orbit when parameter a=0.87

圖3 當參數d1=4, d2=7時系統(2)的正平衡點局部漸近穩定Fig.3 Positive equilibrium point of system (2) is locally asymptotically stable when parameters d1=4, d2=7

圖4 當參數d1=1, d2=0.005時系統(2)產生非常數穩態分支Fig.4 System (2) produces nonconstant steady-state bifurcation when parameters d1=1, d2=0.005

圖5 當參數d1=4, d2=7時系統(2)產生穩定的分支周期解Fig.5 System (2) produces stable bifurcation periodic solution when parameters d1=4, d2=7

綜上所述, 本文在Neumann邊界條件下研究了一類具有飽和效應的任意階自催化反應擴散模型.以a為分支參數, 分別給出了常微分系統和擴散系統平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性.特別對于擴散系統, 給出了擴散系數對平衡點穩定性的影響.結果表明: 當a較小時, 正平衡點不穩定; 當a較大時, 正平衡點穩定; 當a介于某一范圍內時, 擴散系數的比值d2/d1將影響平衡點的穩定性.當d2/d1適當大時, 平衡點仍然是穩定的; 當d2/d1適當小時, 平衡點可能穩定, 也可能出現Turing不穩定現象; 當d2/d1滿足一定條件時, 系統會產生空間齊次的Hopf分支.