聚焦圓錐曲線創(chuàng)新題

黃東岳

［摘 要］近幾年，高考數(shù)學(xué)命題發(fā)生了悄然變化，一些注重人文精神、立德樹人，顯現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)滲透的題型應(yīng)運(yùn)而生。圓錐曲線是高考永恒的考點(diǎn)。文章結(jié)合三類圓錐曲線創(chuàng)新題，從三個(gè)方面進(jìn)行分析探討，以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的博大精深和數(shù)學(xué)世界的無限風(fēng)光。

［關(guān)鍵詞］圓錐曲線；創(chuàng)新題；高考；高中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］G633.6［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］?A［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）32-0005-03

隨著課程改革的不斷深化，數(shù)學(xué)試題隨之也發(fā)生了悄然變化，一些注重人文精神、立德樹人，顯現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)滲透的題型應(yīng)運(yùn)而生。筆者結(jié)合數(shù)學(xué)文化題、新定義題和光學(xué)性質(zhì)題三類題探討幾類圓錐曲線創(chuàng)新題，以使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的博大精深和數(shù)學(xué)世界的無限風(fēng)光。

一、圓錐曲線數(shù)學(xué)文化題

這類題目往往以與圓錐曲線有關(guān)的數(shù)學(xué)史（如數(shù)學(xué)家故事）為背景，或以與現(xiàn)實(shí)生活中的圓錐曲線有關(guān)的事件為背景，體現(xiàn)圓錐曲線的由來或在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，充滿數(shù)學(xué)文化味，但本質(zhì)上考查的還是直線與圓錐曲線的相關(guān)問題。

［例1］折紙是我國(guó)的傳統(tǒng)文化，然而，在折紙中卻蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，譬如：取一張圓形紙片，按照以下四個(gè)步驟折紙（如圖1）。

步驟一：以[E]為圓心，在圓形紙片不同于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為[F]。

步驟二：將紙片進(jìn)行折疊，使圓形紙片的圓周恰好通過點(diǎn)[F]。

步驟三：將紙片展開，則會(huì)留下一道折痕。

步驟四：重復(fù)以上步驟二與步驟三，則會(huì)得到越來越多的折痕。

通過折疊發(fā)現(xiàn)，這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓。如果取一張半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)[F]與圓心[E]的距離為[23]，則按上述方法折紙。

（1）以點(diǎn)[F]、[E]所在的直線為[x]軸，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成的橢圓[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓[C]的下頂點(diǎn)為[D]，過點(diǎn)[D]作兩條互相垂直的直線[l1]、[l2]，這兩條直線與橢圓[C]的另一個(gè)交點(diǎn)分別為[M]、[N]。設(shè)直線[l1]的斜率為[k（k≠0）]，[△DMN]的面積為S，當(dāng)[Sk>169]時(shí)，求[k]的取值范圍。

分析：（1）根據(jù)已知條件，用定義法求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線[l1]、[l2]的方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出M、N的坐標(biāo)及弦長(zhǎng)，表示出△DMN的面積，通過不等式[Sk>169]求k的取值范圍。

解：（1）以[FE]的中點(diǎn)[O]為原點(diǎn)，[FE]所在的直線為[x]軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)[M（x，y）]為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知， [MF+ME=AE=4>EF=23]，所以[M]點(diǎn)的軌跡是以[F]、[E]為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)[2a=4]的橢圓，因?yàn)閇2c=23]，[2a=4]，所以[c=3]，[a=2]，則[b2=a2-c2=1]，所以橢圓[C]的方程為[x24+y2=1]。

（2）由（1）知，橢圓C的方程為[x24+y2=1]，[D（0，-1）]，所以直線[l1]：[y=kx-1（k≠0）]，[l2]：[y=-1kx-1]，如圖3所示，設(shè)[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，聯(lián)立[x24+y2=1，y=kx-1，]消去y并整理得[（1+4k2）x2-8kx=0]，所以[x1=8k1+4k2]，所以[y1=8k21+4k2-1]，所以[DM=x21+（y1+1）2=64k2（1+4k2）2+64k4（1+4k2）2=8k1+4k21+k2]，聯(lián)立[x24+y2=1，y=-1kx-1，]消去y并整理得[（4+k2）x2+8kx=0]，所以[x2=-8kk2+4]，所以[y2=8k2+4-1]，所以[DN=x22+（y2+1）2=64k2（4+k2）2+64（4+k2）2=84+k21+k2]，所以[S=12DM·DN=12×8k1+4k21+k2·84+k21+k2=32k（1+k2）（1+4k2）（4+k2）]，由[Sk>169]，得[32（1+k2）（1+4k2）（4+k2）>169]，整理得[4k4-k2-14<0]，得[-740]，所以[0

點(diǎn)評(píng)：本題以折紙為背景引出橢圓，考查直線與橢圓的位置關(guān)系。解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意： （1）注意挖掘題目中的每一個(gè)已知條件，探尋確定直線、橢圓的條件，當(dāng)涉及直線方程的設(shè)法時(shí)務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形；（2）熟練掌握聯(lián)立直線與橢圓方程得出一元二次方程后的運(yùn)算方法，關(guān)注根與系數(shù)之間的關(guān)系、斜率、弦長(zhǎng)、三角形的面積等問題。

二、圓錐曲線新定義題

圓錐曲線新定義題的命制，一般在圓錐曲線的基礎(chǔ)上定義出一種新的曲線，我們只需遵循新定義將新問題直接轉(zhuǎn)化為圓錐曲線問題來解決。這類題型主要考查學(xué)生的理解能力和轉(zhuǎn)化能力。

［例2］我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線。已知橢圓[C1：x24+y2b2=1（0

（1）求雙曲線[C2]的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)[G（4，0）]的動(dòng)直線[l]交雙曲線[C2]右支于[A]、[B]兩點(diǎn)，若直線[AM]、[BN]的斜率分別為[kAM]、[kBN]。（i）試探究[kAM]與[kBN]的比值[kAMkBN]是否為定值。若是定值，求出這個(gè)定值。若不是定值，請(qǐng)說明理由。（ii）求[w=k2AM+23kBN]的取值范圍。

分析：（1）根據(jù)“姊妺”圓錐曲線的定義設(shè)出雙曲線的方程[x24-y2b2=1]，利用[e1e2=154]求得參數(shù)[b]的值，即得答案。（2）（i）設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直線[AB]的方程為[x=ty+4]，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合[kAMkBN]的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)直線[AM]的方程為[y=k（x+2）]，代入雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理可解得[xA=2（4k2+1）1-4k2]，結(jié)合[A]在雙曲線右支，可得[xA>0]，即可求得[kAM]的范圍，同理求得[kBN]的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案。

解：（1）由題意可設(shè)雙曲線[C2：x24-y2b2=1]，則[e1e2=4-b22×4+b22=154]，解得[b2=1]，所以雙曲線[C2]的方程為[x24-y2=1]。

（2）（i）設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，直線[AB]的方程為[x=ty+4]，由[x=ty+4，x24-y2=1，]消元得[（t2-4）y2+8ty+12=0]。

則[t≠±2]，[Δ=16t2+192>0]，

且[y1+y2=-8tt2-4，y1y2=12t2-4，]

[∴kAMkBN=y1x1+2y2x2-2=y1x1+2×x2-2y2=y1（ty2+2）y2（ty1+6）=ty1y2+2y1ty1y2+6y2=12tt2-4-16tt2-4-2y212tt2-4+6y2=-4tt2-4-2y212tt2-4+6y2=-13 ]；

或由韋達(dá)定理可得[y1+y2y1y2=-2t3]，即[ty1y2=-32（y1+y2）]，

∴[kAMkBN=y1x1+2y2x2-2=y1x1+2×x2-2y2=y1（ty2+2）y2（ty1+6）=ty1y2+2y1ty1y2+6y2=-32（y1+y2）+2y1-32（y1+y2）+6y2]? [=y1-3y2-3y1+9y2=-13]，即[kAM]與[kBN]的比值為定值[-13]。

（ii）設(shè)直線[AM]的方程為[y=k（x+2）]，代入雙曲線方程并整理得[（1-4k2）x2-16k2x-16k2-4=0（1-4k2≠0）]，

因?yàn)辄c(diǎn)[M]為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為[-2]，由韋達(dá)定理得：[-2xA=-16k2-41-4k2]，解得[xA=2（4k2+1）1-4k2]。因?yàn)辄c(diǎn)[A]在雙曲線的右支上，所以[xA=2（4k2+1）1-4k2>0]，解得[k∈-12，12]，即[kAM∈-12，12]，同理可得[kBN∈-∞，-12?] [12，+∞]，

由（i）中結(jié)論可知[kBN=-3kAM∈-∞，-12?] [12，+∞]，得[kAM∈-∞，-16?16，+∞]，所以[kAM∈-12，-16?] [16，12]，故[w=k2AM+23kBN=k2AM+23（-3kAM）=k2AM-2kAM]，設(shè)[h（x）=x2-2x]，其圖象的對(duì)稱軸為[x=1]，

則[h（x）=x2-2x]在[-12，-16，16，12]上單調(diào)遞減，故[h（x）∈-34，-1136?1336，54]，故[w=k2AM+23kBN]的取值范圍為[-34，-1136?1336，54]。

點(diǎn)評(píng)：本題是一道新定義題，主要考查學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力。解答本題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解新定義，由此求得雙曲線方程；難點(diǎn)在于（2）中定值的求解以及參數(shù)的取值范圍的確定。解答本題時(shí)要設(shè)直線方程，并將其和雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)求值。本題計(jì)算比較復(fù)雜，要特別細(xì)心。

三、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)題

圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用是教材中圓錐曲線章節(jié)末的閱讀與思考內(nèi)容。將光學(xué)性質(zhì)融入圓錐曲線相關(guān)問題，不僅能讓考生了解光的反射原理，還能考查圓錐曲線的實(shí)用性，并增強(qiáng)試題的綜合性。

［例3］拋物線的光學(xué)性質(zhì)是：位于拋物線焦點(diǎn)處的點(diǎn)光源發(fā)出的每一束光經(jīng)拋物線反射后的反射線都與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合。設(shè)拋物線C：[y2=4x]的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)[（7，0）]的直線交C于A、B兩點(diǎn)，且[AF⊥BF]，若C在A、B處的切線交于點(diǎn)P，Q為[△PAB]的外心，則[△QAB]的面積為? ? ? ? ?。

分析：設(shè)直線[l]的方程為[y=k（x-7）]，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由[AF⊥BF]得[k2=12]，利用弦長(zhǎng)公式求出[AB]，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)及圓的性質(zhì)知[△QAB]是等腰直角三角形，從而求出面積。

解：如圖5所示，易知拋物線C的焦點(diǎn)為[F（1，0）]，顯然當(dāng)[AB⊥x]軸時(shí)，AF不垂直于BF，設(shè)過點(diǎn)[（7，0）]的直線l的斜率為[k（k>0）]。則直線l：[y=k（x-7）]，將[y=k（x-7）]代入[y2=4x]，得[k2（x-7）2=4x]，即[k2x2-2（7k2+2）x+49k2=0]。設(shè)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則[x1+x2=2（7k2+2）k2]，[x1x2=49]，又[FA=（x1-1，y1）]，[FB=（x2-1，y2）]，所以[FA·FB=（x1-1）（x2-1）+y1y2=0]，所以[（x1-1）（x2-1）+k（x1-7）×k（x2-7）=0]，即[（1+k2）x1x2-（1+7k2）·（x1+x2）+1+49k2=0]，所以[（1+k2）×49-（1+7k2）×2（7k2+2）k2+1+49k2=0 ]，即[8k2-4=0]，解得[k2=12]，所以[AB=1+k2x1-x2=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+k2·][2（7k2+2）k22-4×49=1+k2·][16k4+112k2=123=1+k216k4+112k2=123 ]，

設(shè)PA，PB與x軸正方向的夾角分別為[α、β]，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知[∠APB=α+β]，[∠AFB=2α+2β=π2]，故[∠APB=α+β=π4]，且由圓的性質(zhì)可知[∠AQB=2∠APB=π2]，所以[△QAB]是等腰直角三角形，其中[AQ=BQ=22AB]，故[SΔQAB=12AQ·BQ=AQ22=AB24=108]。

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線的光學(xué)性質(zhì)為背景，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，求解這類問題有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。

從上述三類圓錐曲線創(chuàng)新題來看，它們更貼近數(shù)學(xué)，更貼近生活，更符合育人的理念。而理解數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)或?qū)⒊蔀槲磥頂?shù)學(xué)高考命題的方向。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 王立雪.手工活動(dòng)與圓錐曲線［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（7）：22-23，56.

［2］? 應(yīng)麗珍，江智如.素養(yǎng)導(dǎo)向下對(duì)非對(duì)稱韋達(dá)問題的解法探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（11）：20-23.

（責(zé)任編輯? ?黃桂堅(jiān)）