行列式計算的分塊方法教學研討

王啟明，時正華

（河海大學 數學學院，江蘇 南京 210098）

1 研究背景及綜述

高階行列式計算通常是大學線性代數學習中學生面臨的一大難題[1-2]。很多學生針對高階行列式往往通過對于低階行列式的直覺，試圖將一個行列式通過分塊的方式轉換為一個低階的行列式，從而化簡運算。例如學生熟悉二階行列式的計算公式，教學中看到一個四階行列式也是希望通過分塊的方式轉換為，通常每個子塊的行列式的值易得，從而直覺認為行列式的值為a2d2-b2c2.這種直覺顯然在這里是錯誤的，但是對線性代數教學來說，直覺對于學習很多知識是必要且重要的[3]。教學過程中，如果直接批判和否定，不利于后續線性代數知識點的掌握[3-4]，因此保留和培養學生的直覺思維，同時告訴學生所需要避免的問題在線性代數教學中尤為重要[5]。

根據《線性代數》本科課程中實踐經驗，從行列式計算的分塊方法入手，探討如何以直覺思維為前提，幫助學生理解和掌握行列式分塊計算方法，為復雜的行列式計算提供一些有效的計算思路和途徑?？傮w教學結構設計如圖1 所示。

圖1 教學結構設計圖Fig.1 Design of teaching structure

2 行列式2×2 分塊計算方法的教學設計

由于學生對于2 階行列式較為熟悉，工科專業講授行列式計算分塊方法時，主要提及特殊含零子塊的2×2 分塊矩陣的性質，較少采用引導方式予以解讀。本節采用的步進式思路，采用正反例結合方法，深入講解行列式2×2 分塊的計算方法和性質。

考慮到學生直覺思考方法，開始階段不直接引入拉普拉斯展開的一般形式定理，而是通過若干引例，引導學生思考能否借助分塊方法化簡行列式計算，而后再給出常用的分塊方法。

例1 計算如下四階行列式的值

對于例1 求解，顯示了對于一部分的行列式分塊計算方式符合學生的直觀認識：通過分塊將高階行列式將為簡單的低階行列式計算，大大簡化了行列式的計算。同時很多同學認為這種方式適用于各種行列式，因此這里需要緊接著加入反例，引導學生思考這樣方式的限定條件。

例2 計算如下四階行列式的值

分析：很多學生根據上述的直觀認識，認為

顯然這個結果是錯的，根據行列式性質有：

在例2 錯誤計算的分析后，介紹行列式能夠通過分塊方式進行化簡的典型形態。

定理1[6]若A11，A22分別為m 階，n 階方陣，則有

這里要強調0 子矩陣在行列式計算中作用，同時引導學生思考針對沒有0 子矩陣會有什么樣的結論呢？即針對這樣的行列式，應該將其轉化為上述的形式進行分析。

推論1[7]A11,A12分別為m 階，n 階方陣，

（1）若A11可逆，則有

（2）若A22可逆，則有

說明：教學設計主要考慮講授如何將待求行列式將其轉化為定理1 對應形式的方法。因此講授時僅證明（1）即可。

證明：（1）由

兩邊取行列式有：

通過這樣的算法，介紹如何通過矩陣乘法實現將不具有0 子矩陣的分塊矩陣轉化為帶有0 子矩陣形式，同時理解一般情況下行列式分塊計算方法能夠化簡計算需要具有0 子矩陣。回到例2，如果利用到分塊矩陣方法，正確的解法為：

進一步地，含有0 子矩陣形式的分塊方法能夠很好地化簡行列式計算，單位陣E 也是非常特殊的矩陣，根據直覺，引導學生思考含有單位陣E 子矩陣是不是也有同樣的性質呢？

推論2若A22是m 階方陣，E 為n 階單位陣，則：

證明根據推論1 得到：

推 論3若A11，A22，A12，A21是n 階方陣，E 為n階單位陣，則有

左邊取行列式得到：

根據推論2 右邊取行列式得

因此得

左邊取行列式得

根據推論2 右邊取行列式得

因此得

（3）當推論3（2）中取A12=E 即得。

（4）當推論2 中取A22=E即得。

這四個結論與定理1 中結論與二階行列式的計算方式非常類似，在直覺上學生樂于接受和使用這樣的方法將高階行列式通過分塊方法化簡運算。同時需要結合推論1，多次強調對于這樣化簡方式來說，特殊子塊（0 子塊和E 子塊）的重要性。

另一方面，強調對于0 子塊不需要是一個方陣，尋找0 子塊對化簡運算更加靈活，也更有意義。

3 典型例題

例3 計算行列式

解：（1）由于0 子塊的存在，根據定理1 有

（2）E 子塊存在，需依據推論3 有

說明：需要提醒學生注意，即使行列式特征產生細微變化，計算的依據和結果也會有巨大的不同，這也是行列式計算的難點。

例4 若A，B 為n 階可逆矩陣，E 為n 階單位陣,證明

兩邊同時取行列式，有：

例5 計算2n 階行列式

例6[7]設A 為n 階可逆矩陣，α、β 均為n 維列向量，證明

4 總結

行列式計算是《線性代數》教學中的難點和重點，靈活、準確運用分塊方法能有效化簡高階行列式的計算。教學中應以直覺分塊方式為抓手，采用步進式方法引導學生逐步掌握常用的分塊方式和技巧。