一些有關q-調和級數的同余式

祁偉偉

（溫州大學數理學院，浙江 溫州 325035）

q-調和級數被定義為同時，有

對任意正整數n，有

q-二項式系數被定義為

對任意正整數n，q-階乘表示為(x;q)n=(1 -x)(1 -xq)(1 -xq2)…(1-xqn-1)，這里(x;q)0=1。

由文獻［1］可得到q-二項式定理：

q-二項式系數滿足遞推關系式：，同時有著名的結果：

文獻［2］中，Shi 和Pan 證明了對任意大于5 的質數，有如下同余關系：。 文獻［3］中，Granville 證明了對任意大于5 的質數有：。文獻［4］中，Pan證明了對任意大于5的質數有：qkp≡1-k(1 -q)[p]q+，其中q-整數定義為：對于n≥1，[n]q=(1 -qn)/(1 -q)。另外，定義分圓多項式為，這里ζ是n次互質單位根。

文獻［2］中，Shi和Pan證明了對任意大于5的正整質數p，有Hp-（1q）與的整除性關系，相似地，也有與的整除性關系。另外，文獻［5］中，Elkhiri等證明了對質數p，一類特殊的q-調和級數與的整除性關系。

受到上文提及之文章的啟發(fā)，本文對q-調和級數與分圓多項式的整除性關系作出進一步的推廣，并結合q-二項式定理建立新的q-調和級數與分圓多項式的整除性關系，同時建立兩類特殊的q-調和級數與分圓多項式間的整除性關系。

1 定理

本文要證明的第一個定理為定理1。

定理1對任意正整數n、m，任意實數x，有

對任意正整奇數n，任意實數x，任意正整數m，有

因此，定理1是上式q-模擬的推廣。

本文要證明的第二個定理為定理2。

定理2對任意正整數n，任意實數x，有

在文獻［3-4］中，有如下整除性關系：

鑒于此，本文進一步得到上式的q-模擬如下：

本文要證明的第三個定理為定理3。

定理3對任意正整數n，任意實數x，有

定理3是上式q-模擬的推廣。

特別地，該定理對文獻［7］中的部分結果作出一般性推廣。

2 一些引理

為了證明上述定理，我們需要如下一些引理：

利用文獻［2］中相同的方法，可以得到引理1。

引理1對任意非負整數n，有

引理2對任意正整數m、n，有

證明注意到對任意正整數m，有

因此，可得

然后，有

引理3對任意非負整數m、n，并且1≤k≤n-1，

證明對式（18）左邊進行處理，有

特別地，當m=1時，可得

顯然，一般地，有

由文獻［5］可以得到引理4。

引理4對任意正整數n，實數x，有

由文獻［8］可得到引理5。

引理5對任意正整數n，實數x，有

3 證明定理1

為了證明定理1，首先我們需要下面一個必要的同余式：對任意實數x，任意正整數n，有

證明設，對xn-1q(n-1)2Tn-1(q)，構建如下調和級數關系：

對式（25）作適當處理，可得

然后，利用引理1、引理2，可得

接著，根據引理5，對任意正整數n，任意實數x，有下面同余關系：

這里第二步直接使用引理3。

對式（28）作一些調整，可得

最后，將式（29）代入式（27）的右邊，有

這里第二步使用引理2，從而證明了式（24）。

然后，根據引理2，有

因此，可得

接著，有

使用引理1 和式（24），有

將式（34）代入式（33），有

最后，在式（35）中取-x→x，將得到式（1）。

相似地，為了證明式（2），我們需要結合式（1）作一些必要的處理，得到

使用引理2，我們有

注意到

由式（1），取m→2m，可得

最后，結合式（36-39），可得

從而完成了對式（2）的證明。

自此，我們完成了對定理1 的證明。

4 證明定理2

為了證明定理2，需要下面兩個同余式：

首先，對任意正整數n，實數x，有

證明使用引理3和引理4，有

然后結合式（24）和引理1，完成式（41）的證明，即

其次，對任意正整數n，實數x，有

證明首先，建立多項式，則有

對式（44）兩邊從i= 1到i=n- 1求和，得到

注意到i=1時，式（45）左邊等于0，因此有

對式（46）作些處理，可得

因此，將i→j，不難得到

最后，結合式（41），證明式（43）成立。

因此，有

運用式（41，43），可得：對任意正整數n，任意實數x，有

從而，完成了對式（3-4）的證明。

另外，有

結合式（44），可得

進而，完成了對式（5）的證明。

特別地，可以直接應用文獻［3］中提到的相似方法，利用q-二項式定理得到下面兩個一般形式的q-同余關系。

同余關系一：對任意正整奇數n，有

同余關系二：對任意正整奇數n，有

一般地，可以得到

然后，使用式（54），可得

同時，結合式（54-56），可以得到

類似地，有

最后，利用式（55），可得

自此，完成了對定理2的證明。

5 證明定理3

首先，對任意正整數n，實數x，有

同時，直接利用式（24），有

然后，結合式（61-62），將得到式（9），即

另一方面，

結合式（24，63），得到式（10），即

自此，證明了定理3。