立足基礎(chǔ)重能力　聚焦素養(yǎng)勇創(chuàng)新

胡鵬龍　梁凱毓

摘? 要：結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》，對2022年全國各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”相關(guān)試題進行解析，并給出典型試題的解題評析. 對中考評價中需要關(guān)注的重點和難點進行變式和分析，研究試題的創(chuàng)新趨勢，以期對中考復(fù)習教學(xué)提供有效幫助.

關(guān)鍵詞：方程與不等式；解題分析；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在初中階段，“方程與不等式”這部分內(nèi)容隸屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，是一類應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，幫助學(xué)生利用數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)模型解決問題，揭示了數(shù)學(xué)中最基本的相等關(guān)系和不等關(guān)系. 這部分內(nèi)容的學(xué)習有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

“方程與不等式”部分主要包含一元一次方程、分式方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式和一元一次不等式組等內(nèi)容. 根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）的要求，針對這部分內(nèi)容，主要從概念、運算和應(yīng)用等方面考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握情況，從運算能力、推理能力和模型思想等方面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 在新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）中，對這部分內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求略有調(diào)整，這會對未來本部分內(nèi)容的評價趨勢產(chǎn)生影響. 文章通過匯總2022年全國各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分的試題，分析這部分內(nèi)容的評價方法和趨勢，進而改進這部分內(nèi)容的課堂教學(xué)，提升學(xué)科育人價值.

一、試題特點分析

2022年全國各地區(qū)中考“方程與不等式”內(nèi)容的考查遵循《標準（2011年版）》的要求，借鑒《標準（2022年版）》的理念，從初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實際出發(fā)，關(guān)注基礎(chǔ)知識，注重能力掌握，突出聯(lián)系實際. 試題設(shè)置較為新穎，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.

1. 注重面向全體，體現(xiàn)試題考查的基礎(chǔ)性

2022年全國各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分均含有一定比例的基礎(chǔ)題，以考查方程、方程組、不等式、不等式組的解法的試題居多，且方程或不等式中較少出現(xiàn)含有分數(shù)系數(shù)的項，計算的難度不大. 以考查二元一次方程組的解法為例，多數(shù)試題在使用代入消元法解題和使用加減消元法解題的步驟及復(fù)雜程度是相同的，即在解法上沒有傾向性. 在考查一元二次方程的試題中，除考查解法以外，也側(cè)重考查了一元二次方程根的判別式，但也僅是以直接考查為主，并未在計算的復(fù)雜性和思維的綜合性上做太多文章. 針對該部分內(nèi)容，試題的設(shè)計注重通性通法，難度適中，引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)知識.

例1 （浙江·臺州卷）解方程組：[x+2y=4，x+3y=5.]

目標解析：此題主要考查解二元一次方程組，以及學(xué)生的運算能力. 解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：解此題既可以使用代入消元法，也可以使用加減消元法. 例如，可以通過加減消元法消去x，求出y的值，再將y的值代入[x+2y=4]或[x+3y=5]，求出x的值即可得出答案. 原方程組的解為[x=2，y=1.]

試題分析：此題屬于各版本教材中的常見題型. 問題雖然簡單，但是學(xué)生容易在加減消元的過程中出現(xiàn)錯誤. 為了避免出現(xiàn)錯誤，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強調(diào)解題的一般方法，注意消元時兩個方程的運算順序.

類題賞析：（湖北·隨州卷）已知二元一次方程組[x+2y=4，2x+y=5，] 則x - y的值為? ? ? .

【評析】此題無需解方程組，將兩式相減即可得到答案.

例2 （浙江·溫州卷）若關(guān)于x的方程x2 + 6x + c = 0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（? ）.

（A）36 （B）-36

（C）9 （D）-9

目標解析：此題主要考查根的判別式，以及學(xué)生的運算能力和推理能力. 解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時Δ = 0.

解法分析：由方程x2 + 6x + c = 0有兩個相等的實數(shù)根，可知Δ = 62 - 4c = 0. 由此即可計算出c的值為9. 故此題選擇C.

試題分析：此題難度不大，但學(xué)生在計算方程62 - 4c = 0時容易出現(xiàn)錯誤. 教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強調(diào)解一元一次方程的一般步驟，避免學(xué)生出現(xiàn)移項不變號或者系數(shù)不化為1等情況.

類題賞析：（山東·濱州卷）一元二次方程2x2 - 5x + 6 = 0的根的情況為（? ）.

（A）無實數(shù)根

（B）有兩個不等的實數(shù)根

（C）有兩個相等的實數(shù)根

（D）不能判定

【評析】此題雖然與例2的考查方式不同，但都主要考查根的判別式. 解答此類題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的根的情況與根的判別式的關(guān)系.

例3 （江蘇·蘇州卷）解方程：[xx+1+3x=]1.

目標解析：此題主要考查解分式方程，以及學(xué)生的運算能力. 解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的一般步驟，特別要注意解分式方程必須檢驗.

解法分析：先將分式方程兩邊同時乘[xx+1]，化為整式方程[x2+3x+1=xx+1.] 解整式方程，得x[=][-32]，再檢驗即可得答案.

試題分析：此題本身不難，但學(xué)生容易忘記驗根. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)進行分析，對“為什么分式方程必須檢驗”進行解釋說明，以加深學(xué)生對分式方程的解法的理解.

類題賞析：江蘇宿遷卷第20題.

2. 注重知識融合，體現(xiàn)試題考查的綜合性

《標準（2022年版）》優(yōu)化了課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)，指出“以習近平新時代中國特色社會主義思想為統(tǒng)領(lǐng)，基于核心素養(yǎng)發(fā)展要求，遴選重要觀念、主題內(nèi)容和基礎(chǔ)知識，設(shè)計課程內(nèi)容，增強內(nèi)容與育人目標的聯(lián)系，優(yōu)化內(nèi)容組織形式. 設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習活動，加強學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求”. 2022年全國各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分注重數(shù)學(xué)知識之間、學(xué)科之間的相互關(guān)聯(lián)，全面考查學(xué)生的綜合素質(zhì). 既有以其他學(xué)科知識為背景的試題，也有以方程與不等式、方程組與不等式、方程與函數(shù)、方程組與函數(shù)知識融合的試題，要求學(xué)生能夠綜合運用所學(xué)知識解決問題.

例4 （山東·濱州卷）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流I跟導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I[=UR]，去分母得IR = U，那么其變形的依據(jù)是（? ）.

（A）等式的性質(zhì)1

（B）等式的性質(zhì)2

（C）分式的基本性質(zhì)

（D）不等式的性質(zhì)2

目標解析：此題主要考查等式的基本性質(zhì)，以及學(xué)生的運算能力和推理能力. 等式的基本性質(zhì)主要包括如下兩點：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.

解法分析：將等式I[=UR]去分母，得IR = U. 實質(zhì)上是在等式的兩邊同時乘R，用到的是等式的基本性質(zhì)2. 故此題選擇B.

試題分析：此題從數(shù)學(xué)的角度研究導(dǎo)體中的電流I和導(dǎo)體兩端的電壓U、導(dǎo)體的電阻R之間的關(guān)系，既關(guān)注了對等式性質(zhì)的考查，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的融會貫通，體現(xiàn)了綜合與實踐的最新要求. 此題的問題情境來源于物理中的一個常見公式. 如果學(xué)生對等式的基本性質(zhì)或者分式的基本性質(zhì)理解不深刻，易錯選選項A或選項C. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重抓住問題的本質(zhì)進行教學(xué)，以加深學(xué)生對等式的基本性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)的理解.

類題賞析：（吉林卷）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當容器的體積V（單位：m3）變化時，氣體的密度ρ（單位：kg / m3）隨之變化. 已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖1所示.

（1）求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式.

（2）當V = 10 m3時，求該氣體的密度ρ.

【評析】此題與例4均體現(xiàn)了跨學(xué)科（數(shù)學(xué)與物理）之間的融合，問題情境均來源于物理中的常見公式，但此題主要考查函數(shù)知識.

例5 （重慶B卷）關(guān)于x的分式方程[3x-ax-3+x+13-x=]1的解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組[y+9≤2y+2，2y-a3>1]的解集為y ≥ 5，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（? ）.

（A）13 （B）15

（C）18 （D）20

目標解析：此題主要考查分式方程的解、解一元一次不等式組、求一元一次不等式的整數(shù)解，以及學(xué)生的運算能力和推理能力. 正確求解分式方程、一元一次不等式組、一元一次不等式是解決問題的關(guān)鍵.

解法分析：此題需要先解分式方程得出x = a - 2. 然后結(jié)合題意和分式方程的意義求出a > 2且a ≠ 5. 解不等式組得出[y≥5，y>a+32.] 結(jié)合題意得出a < 7. 進而得出2 < a < 7，且a ≠ 5. 繼而得出所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為3 + 4 + 6 = 13. 故此題選擇A.

試題分析：此題雖然難度較大、綜合性較強，但問題的解決仍然離不開教材中對解分式方程、解一元一次不等式組、解一元一次不等式等知識的基本要求. 學(xué)生解題過程中有兩個易錯點：一是容易忽略a ≠ 5，這樣就得到了錯解C；二是錯誤地認為a的值可以是7，這樣就得到了錯解D. 要防范學(xué)生出現(xiàn)錯誤，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注重強調(diào)解分式方程、解一元一次不等式的基本步驟、基本方法和基本原理，避免學(xué)生對這部分知識掌握得含糊不清、模棱兩可.

類題賞析：重慶A卷第11題.

例6 （四川·瀘州卷）某經(jīng)銷商計劃購進A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品. 已知購進A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元.

（1）A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格分別是多少？

（2）該經(jīng)銷商計劃用不超過5 400元購進A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品共40件，且A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍. 如果該經(jīng)銷商將購進的農(nóng)產(chǎn)品按照A種每件160元，B種每件200元的價格全部售出，那么購進A，B兩種農(nóng)產(chǎn)品各多少件時獲利最多？

目標解析：此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用和一次函數(shù)的應(yīng)用，以及學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識. 解此題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出利潤關(guān)于件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

解法分析：（1）設(shè)每件A種農(nóng)產(chǎn)品的價格是x元，每件B種農(nóng)產(chǎn)品的價格是y元. 根據(jù)“購進A種農(nóng)產(chǎn)品2件，B種農(nóng)產(chǎn)品3件，共需690元；購進A種農(nóng)產(chǎn)品1件，B種農(nóng)產(chǎn)品4件，共需720元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組[2x+3y=690，x+4y=720.] 解之即可得出A種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格是120元，B種農(nóng)產(chǎn)品每件的價格是150元.

（2）設(shè)該經(jīng)銷商購進m件A種農(nóng)產(chǎn)品，則購進[40-m]件B種農(nóng)產(chǎn)品，根據(jù)“總價 = 單價 × 數(shù)量”，結(jié)合購進A種農(nóng)產(chǎn)品的件數(shù)不超過B種農(nóng)產(chǎn)品件數(shù)的3倍且總價不超過5 400元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組[m≤340-m，120m+15040-m≤5 400.] 解之即可得出m的取值范圍為20 ≤ m ≤ 30.

設(shè)兩種農(nóng)產(chǎn)品全部售出后獲得的總利潤為w元，利用“總利潤 = 每件的銷售利潤 × 銷售數(shù)量”，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式[w=160-120m+200-150 ·][40-m=-10m+2 000.] 再利用一次函數(shù)的性質(zhì)可知w隨m的增大而減小. 所以當m = 20時，w取得最大值，此時40 - m = 40 - 20 = 20，即可解決問題.

試題分析：此題以日常生活、生產(chǎn)活動中的實際問題為背景命制，雖然綜合性較強，但問題的解決仍離不開教材中對二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，以及一次函數(shù)的應(yīng)用的基本要求. 學(xué)生在解題過程中可能會遇到兩個問題：一是不知道怎樣找等量關(guān)系；二是不知道怎樣列函數(shù)關(guān)系式. 為了解決這兩個問題，建議教師在教學(xué)過程中幫助學(xué)生明確找等量關(guān)系、列函數(shù)關(guān)系式的基本方法，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：四川廣元卷第23題.

3. 注重聯(lián)系實際，體現(xiàn)試題考查的應(yīng)用性

我國偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)對數(shù)學(xué)有過這樣精辟的論述：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻.《標準（2022年版）》中指出：關(guān)注社會生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，主動參與數(shù)學(xué)活動；在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，能夠克服困難，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值，欣賞并嘗試創(chuàng)造數(shù)學(xué)美；養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑的學(xué)習習慣. 在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從學(xué)生的生活背景和已有生活體驗出發(fā)，聯(lián)系生活教數(shù)學(xué)，把生活問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題生活化. 2022年全國各地區(qū)中考試卷中的“方程與不等式”試題也不乏以日常生活、生產(chǎn)活動中的實際問題為背景的試題，注重結(jié)合當?shù)氐纳顚嶋H和文化特色，引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實際，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

例7 （重慶B卷）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹，第一年共植樹400棵，第三年共植樹625棵. 設(shè)該校植樹棵數(shù)的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（? ）.

（A） [6251-x2=400]

（B） [4001+x2=625]

（C）625x2 = 400

（D）400x2 = 625

目標解析：此題主要考查列一元二次方程解決實際問題，以及學(xué)生的推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識. 讀懂題意，找準等量關(guān)系列方程是解決此題的關(guān)鍵.

解法分析：根據(jù)“第三年的植樹量 = 第一年的植樹量 × （1 + 年平均增長率）2”，把相關(guān)數(shù)值代入即可得[4001+x2=625.] 故此題選擇B.

試題分析：此題關(guān)注了社會生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的信息，難度不大. 但學(xué)生如果對年平均增長率的理解不到位，就容易選擇錯誤選項. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)加強學(xué)生對年平均增長率的理解.

類題賞析：重慶A卷第8題.

例8 （山東·泰安卷）泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6 000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5 100元. 求第一次購進的A，B兩種茶每盒的價格.

目標解析：此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，以及學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識. 找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)第一次購進A種茶的價格為x元 / 盒，購進B種茶的價格為y元 / 盒. 利用“總價 = 單價 × 數(shù)量”，即可以得到關(guān)于x，y的二元一次方程組[30x+20y=6 000，20×1+20%x+15×1+20%y=5 100.] 解之即可得出第一次購進A種茶的價格為100元 / 盒，B種茶的價格為150元 / 盒.

試題分析：此題以泰安本地的生活實際為背景進行命制，體現(xiàn)了很強的地域文化特色，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中對家鄉(xiāng)的文化有更多的了解，理論聯(lián)系實際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時培養(yǎng)了學(xué)生對家鄉(xiāng)的自豪感，滲透了德育教育. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確找等量關(guān)系的基本方法，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：浙江舟山卷第8題.

例9 （四川·樂山卷）第十四屆四川省運動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦. 為保證省運會期間各場館用電設(shè)施的正常運行，市供電局為此進行了電力搶修演練. 現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠的市體育館進行電力搶修. 維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時到達體育館. 已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度.

目標解析：此題主要考查分式方程的應(yīng)用，以及學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識. 找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)摩托車的速度為x千米 / 時，則搶修車的速度為1.5x千米 / 時. 根據(jù)“時間 = 路程 ÷ 速度”，結(jié)合騎摩托車的維修工人比乘坐搶修車的工人多用10分鐘到達，即可得出關(guān)于x的分式方程[20x-201.5x=][1060]. 解之經(jīng)檢驗后即可得出摩托車的速度為40千米 / 時.

試題分析：此題同樣體現(xiàn)了很強的地域特色，素材來源于樂山當?shù)氐膶嶋H背景，滲透了德育教育. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生明確“為什么列分式方程解應(yīng)用題要雙重檢驗”，助力學(xué)生理解到位.

類題賞析：吉林長春卷第17題.

4. 注重創(chuàng)新思維，體現(xiàn)試題考查的創(chuàng)新性

根據(jù)《標準（2022年版）》，初中階段核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一就是創(chuàng)新意識. 創(chuàng)新意識主要是指主動嘗試從日常生活、自然現(xiàn)象或科學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題. 初步學(xué)會通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗證；勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數(shù)學(xué)問題. 創(chuàng)新意識有助于形成獨立思考、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度與理性精神. 而中考命題中的創(chuàng)新會給學(xué)生的發(fā)展以方向性的引導(dǎo)，通過創(chuàng)新性試題引導(dǎo)教師注重提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力，鼓勵學(xué)生切合實際的創(chuàng)新性思維. 2022年全國各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分的一些試題通過設(shè)置新穎的呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式，合理創(chuàng)設(shè)情境，有效促進學(xué)生積極思考、學(xué)以致用.

例10 （四川·樂山卷）如果一個矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”. 如圖2所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為? ? ? .

目標解析：此題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，以及學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識，兼顧幾何直觀. 找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

解法分析：設(shè)正方形b的邊長為x，則正方形a的邊長為2x，正方形c的邊長為3x，正方形d的邊長為5x. 利用矩形的周長計算公式，即可得出關(guān)于x的一元一次方程[3x+5x+5x×2=26.] 解之即可求出x = 1. 從而得出正方形d的邊長為5.

試題分析：此題設(shè)置了一個較為新穎的試題呈現(xiàn)方式，新定義了一個“優(yōu)美矩形”，看似無從下手，但其實質(zhì)是考查一元一次方程的應(yīng)用. 只需找準等量關(guān)系，即可解決問題. 教師在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的基礎(chǔ)知識，找到試題與教材知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法解題.

類題賞析：（浙江·寧波卷）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b[=1a+1b]. 若（x + 1）?x =[2x+1x]，則x的值為? ? ? ? .

【評析】此題同樣以新定義的方式設(shè)置了一道較為新穎的試題. 不同的是，此題定義了一種新運算，但其實質(zhì)是考查解分式方程. 只需根據(jù)新定義列出分式方程并解出未知數(shù)的值即可解決問題.

二、優(yōu)秀試題分析

2022年中考諸多“方程與不等式”試題立意明確、背景新穎、選材精當、設(shè)問靈活、層次清晰，且實測難度合適，區(qū)分度優(yōu)秀，較好地實現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)“選拔、評價、引導(dǎo)、反撥”一體化的測評功能，反映了中考數(shù)學(xué)的命題方向.

例11 （吉林·長春卷）不等式x + 2 > 3的解集是（? ? ）.

（A）x < 1 （B）x < 5

（C）x > 1 （D）x > 5

目標解析：此題主要考查解一元一次不等式，以及學(xué)生的運算能力. 熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.

解法分析：直接移項解一元一次不等式即可. 此題選擇C.

試題分析：此題要求學(xué)生能夠運用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式. 試題雖然簡單，但是學(xué)生答題過程中既要知道移項需要變號，又要清楚不等號的方向什么時候需要改變，不失為一道好題.

類題賞析：（湖南·衡陽卷）不等式組[x+2≥1，2x

（A）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（B） [-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（C）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

（D）[-2][-1][0][1][2][3] [4] [-3][-4]

【評析】此題除了要求學(xué)生能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式以外，還要求學(xué)生能在數(shù)軸上表示出解集．具體來講，就是解兩個不等式，然后把每個不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．

例12 （四川·涼山州卷）解方程：x2 - 2x - 3 = 0.

目標解析：此題主要考查解一元二次方程，以及學(xué)生的運算能力. 熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

解法分析：通過觀察方程形式，可用配方法、公式法、因式分解法中的任意一種方法進行解答（此題方程左側(cè)的多項式可用十字相乘法因式分解，《標準（2022年版）》中對此方法未做必會要求）. 例如，此題可以采用配方法，由x2 - 2x - 3 = 0，得到x2 - 2x + 1 = 3 + 1. 從而得到[x-12=4]. 解得[x1=-1，x2=3．]

試題分析：此題雖然簡單，但無論采用哪種方法解題都不會在解題的復(fù)雜性上有太大區(qū)別，體現(xiàn)了解法上的公平性.

類題賞析：（天津卷）方程x2 + 4x + 3 = 0的兩個根為（? ? ）.

（A）x1 = 1，x2 = 3 （B）x1 = -1，x2 = 3

（C）x1 = 1，x2 = -3 （D）x1 = -1，x2 = -3

【評析】此題以選擇題的形式呈現(xiàn)，除了直接解方程外，也可以充分利用選擇題選項的提示功能，將選項依次代入方程得到答案．

例13 （江蘇·揚州卷）某中學(xué)為準備十四歲青春儀式，原計劃由八年級（1）班的4個小組制作360面彩旗，后因1個小組另有任務(wù)，其余3個小組的每名學(xué)生要比原計劃多做3面彩旗才能完成任務(wù). 如果這4個小組的人數(shù)相等，那么每個小組有學(xué)生多少名？

目標解析：此題考查學(xué)生的運算能力、推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識. 要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵和難點.

解法分析：此題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程是解決問題的關(guān)鍵. 設(shè)每個小組有x名學(xué)生，由題意，得[3603x-3604x=3]. 解得x = 10. 檢驗后即可得出答案．

試題分析：此題與一般分式方程應(yīng)用題相比稍顯復(fù)雜，但尋求等量關(guān)系離不開教材中的常見方法. 需要注意的是：此題不僅要解分式方程并檢驗，還要根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理，即需要雙重檢驗.

類題賞析：四川自貢卷第21題．

例14 （吉林卷）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛. 1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛. 根據(jù)題意，可列方程組為? ? ? ? ? ? ? ? ?.

目標解析：此題考查學(xué)生的推理能力、模型觀念和應(yīng)用意識，要求學(xué)生能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組. 找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點.

解法分析：此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解決問題的關(guān)鍵. 1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛，根據(jù)題意，可列方程組為[5x+y=3，x+5y=2.]

試題分析：此題來源于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第八章“二元一次方程組”復(fù)習題第8題. 問題背景取材于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載的典故，引用了體現(xiàn)中國數(shù)學(xué)家貢獻的素材，反映了我國古代數(shù)學(xué)的成就，注重了情境素材的育人功能，增強了學(xué)生的文化自信和民族自豪感，同時很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的傳承與創(chuàng)新.

類題賞析：（浙江·紹興卷）元朝朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之．”其題意為：“良馬每天行240里，劣馬每天行150里，劣馬先行12天，良馬要幾天追上劣馬？”答：良馬追上劣馬需要的天數(shù)是? ? ? ?.

【評析】此題不僅要求學(xué)生能列出方程，還要解方程，并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理．

以上試題中，例11和例12是基礎(chǔ)題，考查基礎(chǔ)知識和基本技能，注重面向全體學(xué)生，兼顧不同層次的學(xué)生，可以客觀、公正地評價每名學(xué)生的學(xué)習水平；例13改編于教材中的習題，例14更是教材中的原題．由以上例題可以看出，2022年中考“方程與不等式”試題的命制注重對核心知識與能力，以及過程與方法的考查，盡可能體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，試題內(nèi)容考查要求及呈現(xiàn)方式力爭符合學(xué)生的年齡特點和認知規(guī)律；重視對基礎(chǔ)題的考查，重視試題與教材的銜接與關(guān)聯(lián). 因此，教師在教學(xué)中要逐漸增加教材選題或以教材中的問題作為生長點變式編題的數(shù)量，將教材中的閱讀與思考和數(shù)學(xué)活動等內(nèi)容作為編題素材，即注重基礎(chǔ)、重視教材．

三、復(fù)習備考建議

1. 關(guān)注課程標準，未雨綢繆

《標準（2022年版）》刪除了《標準（2011年版）》中小學(xué)階段方程的部分，加強了對用字母表達數(shù)量關(guān)系的要求，將小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容整合為“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”，注重在小學(xué)階段的算術(shù)教學(xué)中滲透代數(shù)思維；初中階段增加了“了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”，并要求了解代數(shù)推理. 這些變化呈現(xiàn)出一個明顯特征：以學(xué)科內(nèi)容為核心，實現(xiàn)對小學(xué)與初中內(nèi)容的整體理解. 初中教師應(yīng)該關(guān)注這一導(dǎo)向，調(diào)整以往的教學(xué)思路，制訂符合《標準（2022年版）》的教學(xué)方案，加大對初中方程知識的教學(xué)力度.

2. 回歸教材，夯實基礎(chǔ)

中考試題注重對學(xué)生將來學(xué)習和生活中不可或缺的知識、能力和素養(yǎng)的考查. 無論試題以什么形式出現(xiàn)，都不會脫離數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的核心知識，而核心知識都來源于教材，因此教學(xué)最終應(yīng)回歸教材，極盡夯實基礎(chǔ). 只有根基足夠深厚，才能枝繁葉茂.

綜觀2022年全國各地區(qū)中考“方程與不等式”試題，較少出現(xiàn)單獨考查一元一次方程解法的試題，以考查二元一次方程組、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次方程解法的試題居多. 但仔細思考會發(fā)現(xiàn)：解二元一次方程組需要通過消元化為一元一次方程；解一元二次方程需要通過降次化為一元一次方程；解分式方程也需要通過“去分母”轉(zhuǎn)化為一元一次方程；解一元一次不等式需要遵循解一元一次方程的基本步驟，即去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1. 綜上，以上方程（組）或不等式（組）的解法，均需要從一元一次方程的解法出發(fā)，即一元一次方程的解法仍然是教學(xué)的核心，需要引起重視.

3. 梳理知識，形成網(wǎng)絡(luò)

以“方程和不等式”這部分內(nèi)容為例，其各知識點之間不是孤立的，而是處于知識網(wǎng)絡(luò)當中. 通過前面的例題可以看到，中考中不乏有將方程（組）與不等式結(jié)合、方程（組）與函數(shù)結(jié)合進行考查的試題. 因此，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中形成具有內(nèi)在聯(lián)系的知識網(wǎng)絡(luò).

綜觀2022年中考“方程和不等式”試題，單獨考查一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元一次不等式和一元一次不等式組時，主要以概念、運算和應(yīng)用檢驗學(xué)生對方程與不等式內(nèi)容相關(guān)的基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握情況，以及學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而一元二次方程除上述內(nèi)容外，還要求學(xué)生會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等. 因此，對于“方程與不等式”內(nèi)容，建議抓住“概念—等式（不等式）的基本性質(zhì)—解法—應(yīng)用”這一主線進行教學(xué). 在一次函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式建立聯(lián)系；在反比例函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與分式方程建立聯(lián)系；在二次函數(shù)的教學(xué)中，需要將其與一元二次方程建立聯(lián)系（高中階段還會與一元二次不等式建立聯(lián)系）. 學(xué)生只有厘清這些知識之間的聯(lián)系，才能將頭腦中碎片化的知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

4. 關(guān)注“文化”，聯(lián)系生活

中華文化源遠流長.《標準（2022年版）》中明確指出：注重情境素材的育人功能，如體現(xiàn)中國數(shù)學(xué)家貢獻的素材，幫助學(xué)生了解和領(lǐng)悟中華民族獨特的數(shù)學(xué)智慧，增強文化自信和民族自豪感. 在2022年全國各地區(qū)中考“方程與不等式”試題中，出現(xiàn)了很多以中國古代數(shù)學(xué)文化為背景的試題，需要引起注意.

《標準（2022年版）》指出：注重情境的多樣化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值. 因此，中考試題的命制會關(guān)注與國家經(jīng)濟發(fā)展，科學(xué)技術(shù)進步，生產(chǎn)、生活實際等緊密相關(guān)的內(nèi)容，教學(xué)中應(yīng)避免與之脫節(jié). 生活中的許多事情都與數(shù)學(xué)知識有著千絲萬縷的聯(lián)系，它們貌不相似，神卻相通. 因此，教師在教學(xué)中應(yīng)該多挖掘生活內(nèi)容，將數(shù)學(xué)與生活實際結(jié)合起來，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)之間的距離，鼓勵學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題.

5. 聚焦素養(yǎng)，勇于創(chuàng)新

《標準（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 教師在教學(xué)中應(yīng)該注意制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標，把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)，選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，進一步加強綜合與實踐，改進教學(xué)方式，促進學(xué)生自主學(xué)習. 預(yù)計未來的中考數(shù)學(xué)試題命制仍會將“堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向”作為首要原則，逐漸加大考查學(xué)生探索新方法、積極主動解決問題的能力，鼓勵學(xué)生勇于擺脫思維定式，創(chuàng)新問題的設(shè)問及考查方式，靈活多變，形成對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效考查. 教師在教學(xué)中應(yīng)該鼓勵學(xué)生獨立思考、發(fā)散思維，勇于擺脫思維定式的束縛，不斷創(chuàng)新.

四、典型模擬題

1. 若[m]，[n]是方程[x2-2 022x+1=0]的兩個實數(shù)根，則[m2n+mn2]的值為? ? ? .

答案：2 022.

【評析】此題要求學(xué)生結(jié)合因式分解和一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系來解決問題，注重知識之間的融合，體現(xiàn)了試題考查的綜合性.

2. 俄羅斯當?shù)貢r間2022年2月4日，俄羅斯天然氣工業(yè)股份公司發(fā)布了一份聲明，宣布俄氣公司每年向中國供應(yīng)天然氣480億立方米. 若自2022年起，俄氣公司供應(yīng)的天然氣逐年增加，2024年達到580.8億立方米. 那么，這兩年俄氣公司向中國供應(yīng)天然氣的年平均增長率是多少？

答案：[10%].

【評析】此題以實際問題為背景，體現(xiàn)了試題考查的應(yīng)用性，注重引導(dǎo)學(xué)生理論聯(lián)系實際，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

3. 已知兩個方程組[x+y=5，ax+by=8]和[x-3y=1，2ax+3by=15]的解相同，求[a]，[b]的值.

答案：[a=94，] [b=-1].

【評析】此題的實質(zhì)是要求學(xué)生解方程組，但需要學(xué)生對“方程組的解”有較深的理解. 教師要引導(dǎo)學(xué)生積極思考、學(xué)以致用，體現(xiàn)了試題考查的創(chuàng)新性.

方程與不等式是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，是解決數(shù)學(xué)問題和生活實際問題的有力工具，也是中考考查的重要內(nèi)容. 通過以上的解題分析，我們可以得到以下的思考啟示：立足基礎(chǔ)，注重能力，聚焦素養(yǎng)，勇于創(chuàng)新.

參考文獻：

［1］趙士元.“三會、四能”：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的根本訴求［J］. 數(shù)學(xué)通報，2022，61（6）：38-41，62.

［2］陳玲.“方程與不等式”中易錯點剖析［J］. 中學(xué)課程資源，2022，18（4）：33-35.

［3］彭達浩，李祎. 數(shù)學(xué)解題需要套路嗎［J］. 數(shù)學(xué)通報，2022，61（5）：43-45，51.

［4］陸珺，胡晴穎. 論數(shù)學(xué)解題教學(xué)的教學(xué)［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（2）：55-60.

［5］董健，楊開學(xué). 依標據(jù)本夯實基礎(chǔ)? 學(xué)以致用提升素養(yǎng)：2020年中考“方程與不等式”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（1 / 2）：34-40，56.

［6］孫延洲，柯四清. 落實基礎(chǔ)·加強能力·關(guān)注素養(yǎng)：2021年中考“方程與不等式”專題命題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（1 / 2）：31-40.

基金項目：吉林省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度一般課題——初中數(shù)學(xué)易錯點的成因及應(yīng)對策略的研究（GH22687）；

吉林省教育學(xué)院2022年度院級一般課題——“雙減”背景下初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試評價研究與實踐（JL2022Y16）.

作者簡介：胡鵬龍（1982— ），男，二級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)和考試評價研究；

梁凱毓（1980— ），男，講師，博士研究生，主要從事教育測量與評價和數(shù)學(xué)教學(xué)研究.