基于局部區域與水平集正則化的圖像分割方法

徐智

圖像分割作為計算機視覺的重要方向之一，在工業自動化、圖像編碼、視頻檢驗、遙感和生物醫學圖像分析等領域有著極其重要的作用［1?5］.圖像分割是將圖像分割為具有不同特征的幾個子區域.

閾值法［6?7］是最早提出的分割方法，主要通過將圖像中的像素點劃分為兩個或多個類別，從而得到目標區域邊緣.活動輪廓模型［8］使用能量最小化方法可以準確地分割圖像并得到一個閉光滑輪廓.早期的活動輪廓模型在曲線演化過程中很容易受到初始輪廓、參數及圖像中的噪聲等因素的影響，造成能量泛函最終迭代至局部極小值點，不能準確分割出圖像邊緣.水平集方法［9］的提出解決了早期活動輪廓模型難以自適應變化的問題.之后水平集方法被大量地應用于圖像分割中［10?11］.結合水平集方法，C?V 模型［12］提出用分片常數圖像逼近原圖像，使用圖像區域像素信息，通過能量泛函極小化進行曲線演化，使得處理噪聲圖像取得了良好的效果.但是C?V 模型假設圖像灰度均勻的條件大大地限制了其使用范圍.

一般情況下，現實中的大多數圖像均為灰度不均勻圖像.近年來，灰度局部信息被融入水平集方法中，用以分割灰度不均圖像［13?14］.在C?V 模型的基礎上，LI 等［14］結合高斯核函數首次將圖像局部區域灰度特征應用于活動輪廓模型中，提出RSF 模型，使灰度不均勻的核磁共振醫學圖像取得了顯著的分割效果.但是該方法對于初始輪廓有很大程度的依賴性，且對于噪聲圖像效果不佳.

本文基于圖像局部特征，結合分片常數水平集函數來表示圖像不同區域，通過能量泛函最小化方法，對灰度不均勻圖像，尤其是對被噪聲強破壞性圖像進行分割.

1 預備知識

給定被分割圖像u0:Ω→Rl，其中Ω?R2為圖像定義域.當l=1時，為灰度圖像，當l=3時，為彩色圖像.

定義非負高斯核函數［14］為：

其中：σ為正參數.高斯核函數滿足以下性質：

定義分片常數水平集函數［15?16］為：

函數?的間斷處即為圖像的邊緣處.圖1為一個三像集圖像與其對應的分片常數水平集函數的對應關系.

圖1 三像集圖像與其對應的分片常數水平集函數的關系

2 基于局部區域與水平集正則化的圖像分割方法

為了克服RSF 模型對一些類型圖像輪廓初始化位置較為敏感的問題，本文在RSF 模型的基礎上，引入了分片常數水平集函數（2）.

假設Ω由幾個互不相交的子區域構成.在分割過程中最小化總能量泛函以求得最優水平集函數（2）.特征函數ψi定義為：

如果不同區域Ωi的像素平均值很接近ci且分割輪廓C 位于目標區域的真實邊緣時，那么式（4）可取得最小值.對于圖像中的所有點，得總能量泛函為：

式（5）第二項為使得水平集函數?保持區域內部平滑的正則項，當圖像是二像集時，此項為輪廓長度.

為了保證u的唯一性，即使得函數?中一個常數對應圖像的某一獨立區域，可加入約束條件

為了分割得到最優輪廓，可將分割問題表述為有約束的最小化問題

使用增廣拉格朗日方法，將式（7）轉化為無約束的最優化問題，則對應的拉格朗日函數為：

其中：λ和γ分別為拉格朗日乘子和正懲罰參數.

針對式（8），可使用交替迭代法求解?和ci.首先，選取適當的參數μ和γ，以及時間步長△t，假設和λk?1不變，能量泛函L(ci,?,λ)關于?k的最小化問題滿足梯度流

固定?k，最小化式（8）求解ci，使ci滿足Euler?Lagrange 方程

整理式（12），得：

選取迭代終止條件

或者迭代次數達到預先給定的上限為止.

綜上所述，總結算法如下：

給定初始ci和水平集函數?0，i=1,2,…,

③更 新λk=λk?1+γG(?k)，判斷迭代終止條件式（14）是否滿足.假設不滿足，執行k=k+1，重復以上步驟，直到滿足迭代終止條件.

一般情況下，如果存在比較理想的ci，在算法中可先計算?k，然后依次計算和λk.

3 實驗結果

為了證明本方法的有效性，本文主要針對二像集的人工合成圖像和真實圖像進行分割，并與經典的RSF 模型對比實驗結果.本文所有實驗均在Windows 10 系統，因特爾酷睿i5，3.40 GHz，8 GB RAM，matlab（R2012a）中運行完成.所有實驗中均使用固定步長Δt=1e?5及γ=100.使用matlab 命令phi=rand（m，n），選取與原圖像同等規模的隨機矩陣為初始水平集函數?.

圖2 為兩種方法對于人工合成的紋理圖像的分割結果.從實驗結果明顯看出，即使RSF模型的初始輪廓已經很接近真實輪廓，但是其分割得到的邊緣仍然出現了不光滑的現象，導致分割輪廓不準確，如圖2（e）、圖2（f）所示.本文方法選取參數σ=1，μ=5，分割的最終輪廓光滑性明顯要好很多，尤其是對于輪廓邊緣的處理效果，最終輪廓很準確地分布于兩個不同區域之間.

圖2 本文方法與VRF 模型針對紋理圖像的對比結果

圖3 為四幅強破壞性噪聲圖像的分割對比結果，選取參數μ=4，針對不同的圖像σ選取為1～2 之間的某一個數.圖3 第一列和第二列為原始圖像和本文分割法得到的輪廓邊緣，第三列和第四列分別為RSF 模型的初始輪廓和分割結果.顯然，RSF 模型并不能分割出圖像的邊緣，本文方法較準確地分割出輪廓的邊緣.此外，本文分割法不依賴初始輪廓的定義，對于噪聲圖像具有很強的魯棒性.

圖3 本文方法與VRF 模型針對噪聲圖像的對比結果

4 結語

本文提出了一種基于局部灰度能量，以及分片常數水平集函數正則化的圖像分割方法.獨立水平集的使用避免了分割過程中不斷初始化輪廓的操作.對于灰度不均勻和噪聲圖像，該方法均有良好的分割效果.期望該算法在圖像分割及計算機視覺處理領域會有更廣泛的應用.