m-漸近負相協變量的若干強收斂性質

何其慧

隨機變量的收斂性是極限理論中重要的研究方向.依概率收斂、依分布收斂、幾乎必然收斂等都在極限理論和數理統計中起到了極其重要的作用.本文旨在較為寬泛的相依假設下研究隨機變量加權和若干強收斂性質.對于強收斂性，HSU 和ROBBINS 給出了完全收斂性的定義：稱隨機序列{Xn,n≥1}完全收斂于μ>0，若對任給的ε>0，都有.由著名的BOREL?CANTELLI 引理容易得到Xn→μ a.s..此外，利用完全收斂性還可以得到隨機變量加權和的收斂性質及收斂速度.令an>0,bn>0,q>0，若對?ε>0 都有，則稱隨機變量序列{Xn,n≥1} 完全矩收斂于0.完全矩收斂的結果首次由CHOW 建立［2］.完全矩收斂性比完全收斂性更加精確地刻畫了隨機序列部分和或加權和的收斂速度，此外，完全收斂性可由完全矩收斂性得到.完全f?矩收斂性則是一種比完全矩收斂性更強、更寬泛的收斂性，其概念如下：設f:R+→R+為一單調遞增的連續函數且f(0)=0.設{Xn,n≥1}是一隨機變量序列，cn>0，若對任意 的ε>0，,則 稱{Xn,n≥1}是完全f?矩收斂的［3］.

軟管都取出來了，王姐還不死心，纏著段主任說：您別放棄呀，求您再給試試唄。段主任搖頭說：沒必要了。王姐說：那總不能讓我妹夫這樣過一輩子吧？您再給想想別的辦法。段主任說：我這是沒辦法了，你轉到胸外科，看看他們有沒有好辦法吧。王姐說：成，胸外科我也有熟人，您估計他們有什么好辦法？段主任說：開胸。

讀者們可想象一張地圖。你在心情愉悅的情況下打開一張地圖。這張在你凝視下的地圖在漸漸變大，就像一只棘皮動物——海星那樣，始自一個碎片，任意一個碎片，以一個對稱圓形物的方式漸漸地擴展、變大。這其實是一個關于夢想的比喻，即部分來自于全部。當這個夢想屬于畫家時更具野心：一次又一次地，當有人說油畫不能打破它形式上的障礙，障礙消失了；當有人說繪畫沒有界限，繪畫國度的國境線就被挑戰了；當某種藝術形式的拓荒者人頭濟濟，已棲居扎根的移民就會渴望返回。

由于在很多實際問題中數據都呈現出或多或少的相依性，從而獨立的假設在很多時候都是非常不合理的.因此，統計學家們陸續提出各種相依隨機變量的概念并將獨立場合下的結果推廣到這些相依情形下.其中JOAG?DEV和PROSCHAN提出了如下關于負相協（NA）隨機變量的概念[4].稱隨機變量{Xi,1≤i≤n}是NA的，如果對{1,2,…,n} 的任意非空不交子集A與B都有

其中：f1與f2是具有相同單調性且使上式有定義的函數.在NA 的相依假設下，文獻［5］證明了如下結論.

定理1 假設{X,Xn,n≥1} 為NA 隨機序列且具有同一分布，{ani,1≤i≤n,n≥1} 為滿足

的常數列，其中0 <α≤2.記，其中常數γ>0.并且假設當1 <α≤2時，EX=0.如果

則對任意的ε>0，都有

自從文獻［5］建立了定理1 中的結論，很多學者都對其進行了推廣.其中文獻［6］對α>γ時建立了ρ*?混合變量下的結果；文獻［7］在ρ*?混合變量下得到了α=γ時的結果；文獻［8］則在α<γ下將定理1 推廣到了ρ*?混合變量的情形；文獻［9］在負超可加相依（NSD）序列下建立了與定理1 一致的結論；在隨機控制的假設下，文獻［10］將定理1 推廣到漸近負相協（ANA）序列并建立了如下完全矩收斂性的結果：

0)且a?=?aI(a<0).

ANA 隨機變量的概念是由文獻［11］所提出的.定義混合系數

因此當n充分大時，對任意的t≥1 都有

最近，文獻［12］又將ANA 隨機變量的概念推廣到m?ANA，其定義如下：若對于任意n≥2 以及滿足|ik?ij|≥m，1≤k≠j≤n的ik,i2,…,in都有Xi1,Xi2,…,Xin是ANA的，則稱隨機序列{Xn,n≥1} 是m?ANA 的.顯然ANA 為m?ANA 中當m取1 時的特例.

則稱隨機序列{Xn,n≥1} 是ANA的.ANA 是包含ρ*?混合和NA 的一類非常寬泛的相依結構.

政府間事權和支出責任的劃分是個技術性問題，確實需要提出政府間事權和支出責任劃分的具體方式、方法，但其并不僅僅是技術性問題，還是嚴格意義上的制度問題。應通過法律的形式明確界定政府作為整體所應承擔的事權和支出責任邊界、明確各級政府的專有事權和支出責任、細化政府間共同事權和支出責任、規范政府間委托事權和支出責任（李苗、崔軍，2018），形成相對穩定的制度安排并成為各級政府都必須遵守的共同規則，由此才能保證各級政府間的事權和支出責任劃分能落到實處，并有助于在集權與分權之間實現穩定均衡。■

不過，在搭建宮殿之前，大林先要解決早餐。于是，他對倩倩說，爸爸去煮面條，不過，燒水的這段時間我們也別浪費，玩一個短游戲。

本文將定理1 的結果推廣到m?ANA 序列并且得到更強的完全矩收斂性，此外，還將建立更一般的完全f?矩收斂的結果.這些結果推廣并改進了文獻［5?10］相應的結果.在本文中，C始終代表某個大于0 的常數，I(A)=，a+=aI(a≥

俗話說“面由心生”，面部是一個人情緒最直接的外在表現，面部表情是我們傳遞情感的一個方式，通過面部表情可以判定一個人喜悅與否，在與人的交往中我們首先是通過眼神、姿態、語氣語調來感受對方，而舞蹈是通過肢體語言來傳達情感的，在無聲的傳遞中，面部表情顯得尤為重要，它是技術動作的延伸，也是情感的傳遞，起到畫龍點睛的作用，甚至有時會起到舉足輕重的作用。

其中：q<α.

1 預備知識

很快，救護車到了，哎喲一聲那人捂著腦袋被抬上了救護車。警車又到了，一堆燈光又閃爍開來，左小龍恍惚間好像又回到了和泥巴在旅店的二樓看樓下的情景。警察查了半天，現場沒查明白那人是怎么頭破血流的，左小龍也沒犯什么法，只不過當眾爆缸而已，屬于產品使用不當。警察再次驅散了人群，人們歡呼著，睡覺去嘍。

引理2［12］令{Xn,n≥1} 為均值為0 的m?ANA 隨機變量序列且存在p>2 使得E|Xi|p<+∞，則存在僅依賴于m，p及ρ?(?)的正常數C使得對所有的n≥1，

引理3［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 為一滿足式（1）的常數陣列，其中α>0，X為一隨機變量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常數γ>0，則

引理4［8］令{ani,1≤i≤n,n≥1} 為一滿足式（1）的常數陣列，其中α>0，X為一隨機變量.令bn=n1α(logn)1γ，其中常數γ>0，則對任意的q>max(α,γ)，都有

2 主要結果

由引理1 可知，{Yni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系數為{ρ?(n),n≥1} 的m?ANA 隨機變量陣列.容易驗證

炳發呀！我今年是十九歲了，我難道一點兒不知道嗎？每次看到天上的月亮圓了，花園里的花開了，想起我們的青春年少……

由Markov 不等式及引理3 可得：

故下面只需證明I2<∞.首先驗證

最后將證明I22<+∞.由式（1）、Markov 不等式、α≤2 及q>2γ/α，得：

將玫瑰茄凍干花萼粉碎后過 20目篩，按料液比1：30加入60%乙醇浸提過夜（約12 h）。真空抽濾后繼續用 60%乙醇沖洗濾渣，合并兩次濾液。40 ℃下旋蒸并冷凍干燥后得到花色苷粗提物。

如果1 <α≤2，則由EXi=0，式（1）及式（2），可得：

引理1［12］令{Xn,n≥1} 為m?ANA 隨機變量序列，其混合系數為ρ?(n).假設f1，f2，…都為單調非降（或非增）的連續函數，則{fn(Xn),n≥1} 仍然為m?ANA 隨機變量序列，且其混合系數不大于ρ?(n).

因此式（5）成立，這意味著當n充分大時都有取q>max{2,2γ/α}.由Markov 不等式、引理2、Cr不等式及Jensen 不等式，可得：

注意到q>max(α,γ)，由Markov 不等式、引理3 及引理4 可得：

如果0 <α≤1，則由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：

證明 不失一般性，仍然假設ani≥0.注意到

由定理2 可知J1<+∞.因此要證明式（4），只需要證明J2<+∞.對任意t≥1，記

隨機抽取2017年2月-2018年2月至我院接受治療的104例冠心病患者為檢驗組(n=56),再隨機抽取同時期至我院接受健康體檢的健康者為對照組(n=48),檢驗組男33例,女23例,年齡45-70歲,平均年齡(57.58±12.74)歲,病程1-9年,平均病程(3.47±2.39)年;對照組男23例,女25例,年齡47-74歲,平均年齡(57.79±12.83)歲,病程2-7年,平均病程(4.32±2.18)年;將兩組人員年齡、病程、性別等基本資料納入統計學中分析顯示無顯著差異(P>0.05),具有比較意義。

則由引理1 可知，{Zni,1≤i≤n,n≥1} 仍然是混合系數為{ρ?(n),n≥1} 的m?ANA 隨機變量陣列.注意到

由引理3 及式（2）可得：

如果0 <α≤1，則由Markov 不等式、式（1）及式（2）可得：如果1 <α≤2，則由EXi=0、式（1）及式（2）可得：

其中：?是非降函數的集合.若混合系數

取q>max{2,2γ/α}，類似I2的處理可得：

從媒介設計上來說，信息化視域下的旅游景區藝術形象設計需要按照人類行為的感知特征對不同階段的對象進行分類。在宣傳類設施上要統一地域文化的界定范圍。不同地域文化的歷史和景物不同，形成的地域環境和生活習慣的堆積是由各地域的民俗文化傳承堆積而來的，進而在信息化視域下的旅游景區藝術形象設計上需要遵循歷史和景物堆積的人文精神，以此為依據，對歷史文化景區的藝術形象進行設計和提煉。在提煉的過程中需要將所在地域文化的深刻認識保留下來，以圖形和色彩的表現形式設計出來。

集團以打造云南高原特色現代農業的品牌管理商、技術提供商、標準制定商、渠道整合商和市場運營商為目標，組建產業發展平臺，全力提供“放心、貼心、養心”的“三心”綠色食品，扛起了云南“綠色食品牌”領軍企業的大旗。

最后證明J222<+∞.注意到αq/2γ>1，由Cr不等式、Markov 不等式及式（1）可得：

隨著中國儲罐向大型化和集群化方向發展，油庫建設規模不斷擴大，運行管理難度和安全風險增大。目前儲罐火災撲救中存在消防水供給強度低、消防設施維護檢測不及時、缺乏大功率移動式消防設備和應急演練不到位等問題。本文介紹了國內外儲罐火災撲救技術的新進展，如儲罐自動泡沫滅火單元、儲罐罐頂自動消防炮、移動式大流量泡沫炮等。通過借鑒國外儲罐滅火先進技術，對于提高油庫安全性和可靠性具有重要意義。

因此，定理3 是比定理2 更強的結果，此外還推廣了文獻［6?9］相應的結論.然而，相比文獻［10］并不能直接看出定理3 是否改進了其結果，為此先利用定理3 建立如下更為一般的結果.

設f:R+→R+為一單調遞增的連續函數且f(0)=0.令g:R+→R+為f的反函數，即g(f(t))=t,?t≥0.假設存在正常數δ使得

證明 容易驗證

由定理2 即得K1<+∞.下面證明K2<+∞.由Markov 不等式、定理3 及式（5）可得：

在定理4中，若取f(t)=tq,其中0

容易看出，作為定理4 的應用，推論1 即為文獻［10］所建立的完全q?階矩收斂的結果.故而定理3 和定理4 推廣并改進了文獻［10］的結果.

3 結語

本文主要利用m?漸近負相協變量的Rosenthal 型極大值矩不等式建立其加權和的完全收斂性進而得到幾乎必然收斂性，并且在同樣的條件下得到了更強的完全矩收斂性.在此基礎上，本文還進一步建立了更一般的完全f?矩收斂性，所得結果推廣并改進了文獻已有結果.