硬質(zhì)路面條件下履帶車輛轉(zhuǎn)向模型分析及驗證

張瑞增，龔建偉，陳慧巖，劉海鷗，盧佳興

(北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081)

0 引言

相比于其他類型車輛，履帶車輛最為顯著的特點是其負(fù)重輪不直接與地面接觸，而是通過履帶與地面接觸。履帶的引入能夠平滑路面粗糙，分散負(fù)重輪壓力，有助于提高附著力，因此履帶車輛的平均地面壓力小，牽引力大，能夠在泥濘、軟質(zhì)沙地、陡峭坡地以及碎石灘等極端野外環(huán)境下行駛［1］，相比于輪式車輛具有適應(yīng)范圍廣、通過性強(qiáng)的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于軍事、救援、工程機(jī)械和農(nóng)業(yè)領(lǐng)域。

履帶在提升車輛適用性的同時也帶來車輛動力學(xué)建模與控制難題。履帶接地形狀為窄長的帶狀，履帶的受力分析必然會用到積分或者求和，這意味著履帶車輛動力學(xué)模型復(fù)雜度較高;履帶分散了負(fù)重輪壓力，在一般路面條件下，實際接地壓力既非集中載荷也非均布載荷，而是一種呈現(xiàn)多峰的分布形式，即在履帶-地面剪切位移積累的過程中垂向負(fù)載持續(xù)變化，這意味著剪切位移的積累并不是簡單的速度對時間的積分，還需要考慮垂向載荷的變化。

現(xiàn)有的履帶車輛轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型按照履帶地面接觸模型分類主要有三種。第一種是經(jīng)驗?zāi)Ｐ停远砹_斯［2-3］學(xué)者尼基金提出的經(jīng)驗公式μ=為最大轉(zhuǎn)向阻力系數(shù)，a為與土壤特性有關(guān)的系數(shù)，R 為轉(zhuǎn)向半徑，B 為履帶中心距) 為代表。該經(jīng)驗公式簡潔，且在工程上應(yīng)用廣泛。但是，該公式為純粹的擬合公式，參數(shù)a 本身沒有明確的物理意義。將其應(yīng)用于履帶車輛動力學(xué)控制的問題是其不能描述滑轉(zhuǎn)滑移和轉(zhuǎn)向過程的轉(zhuǎn)向中心的偏移量，也無法描述履帶車輛側(cè)向動力學(xué)。第二種是基于摩擦理論的模型，實際上能夠符合這種理論的地面非常少，文獻(xiàn)［4］也證明了這種模型的不可行性，此處不再贅述。最后一種是基于剪切應(yīng)力-剪切位移理論的模型，以美國學(xué)者Bekker等［5］和Bekker［6］的研究最具代表性，其研究以微元為基礎(chǔ)，將微元特性積分即得到車輛整體地面特性。由于積分的引入導(dǎo)致其模型復(fù)雜度很高，無法應(yīng)用于履帶車輛實時控制中，多作為分析模型分析車輛性能。

加拿大學(xué)者Wong 等［4］在Bekker 研究的基礎(chǔ)上對地面力學(xué)理論進(jìn)行了完善和發(fā)展。國內(nèi)王紅巖等［7］、魏宸官［8］和余群等［9］都曾對履帶或農(nóng)用輪式車輛的地面作用關(guān)系進(jìn)行過相關(guān)的研究，他們是國內(nèi)相關(guān)研究的先驅(qū)。文獻(xiàn)［7，10］對硬質(zhì)路面高速履帶車輛的轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行了分析，將履帶接地壓力看作連續(xù)線性分布，并將履帶轉(zhuǎn)向極橫向偏移量引入轉(zhuǎn)向模型，取得了較好的驗證效果。文獻(xiàn)［11］將履帶接地壓力看作矩形分布，且分布于負(fù)重輪下方。文獻(xiàn)［12］對履帶車輛轉(zhuǎn)向性能參數(shù)的測試及獲取方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［13 -15］用卡爾曼濾波等方法對履帶車輛轉(zhuǎn)向過程的滑動參數(shù)進(jìn)行預(yù)測，文獻(xiàn)［16］采用GMM-GMR 模型對道路阻力系數(shù)與轉(zhuǎn)向阻力系數(shù)進(jìn)行估計。文獻(xiàn)［17］探究了履帶張力作用對穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向性能的影響。有些學(xué)者也對深海

［18］和農(nóng)用履帶式車輛［19］進(jìn)了相關(guān)的研究。國外近年也針對履帶車輛轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行了一些研究，文獻(xiàn)［4］采用對地面剪切力積分的方法對硬質(zhì)路面的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［20］認(rèn)為履帶接地壓力集中于負(fù)重輪下的單塊履帶板上，并且用離散微元求和的方法對非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向進(jìn)行了分析，而文獻(xiàn)［21］則提出了將履帶看作特殊布置的輪子進(jìn)行多體模型分析的方法。上述研究大都更加關(guān)注履帶與地面之間的剪切關(guān)系，將履帶接地壓力看作連續(xù)線性載荷或者集中載荷。實際上，履帶車輛在常見土壤條件下，接地壓力均呈現(xiàn)多峰分布形態(tài)［22］。

本文主要有以下貢獻(xiàn):1)在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮履帶接地壓力的實際情況，進(jìn)一步完善了基于剪切應(yīng)力-剪切位移理論的履帶車輛動力學(xué)分析模型;2)在上述模型的基礎(chǔ)上，借鑒了輪式車輛輪胎側(cè)偏角的概念，在保證模型精度的基礎(chǔ)上大幅度簡化模型，使其在復(fù)雜度上可以應(yīng)用于無人駕駛履帶車輛軌跡控制方法;3)通過實車試驗對上述模型進(jìn)行了驗證。

1 履帶車輛接地壓力分布分析

1.1 系統(tǒng)描述與模型簡化

履帶接地壓力的分布體現(xiàn)了履帶與地面在垂直方向的交互關(guān)系，垂向壓力分布的大小與形態(tài)會直接影響履帶在水平方向的受力情況，水平方向的受力情況則會直接影響到履帶車輛的驅(qū)/制動和轉(zhuǎn)向性能。因此，為了對履帶車輛轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行分析，必須首先對履帶接地壓力分布進(jìn)行分析。

履帶車輛負(fù)重輪的載荷施加在履帶上后變?yōu)槁膸c地面間的分布載荷，且地面越松軟、履帶張緊力越大，履帶和地面間的載荷分布越均勻。為了研究方便通常假設(shè)履帶接地壓力為連續(xù)線性分布［7］或者呈矩形分布［17］，但是這兩種假設(shè)形式都不能很好的對履帶接地壓力進(jìn)行擬合。Bekker等［5］將車輪和履帶間的作用力看作集中載荷，忽略了車輪的形狀，對負(fù)重輪之間的接地壓力分布進(jìn)行了分析，分析認(rèn)為負(fù)重輪間的履帶方程為懸鏈線。Garber等［22］在Bekker 研究的基礎(chǔ)上，考慮車輪形狀，接地過程中履帶張力的變化，形成了包括車輛質(zhì)量、履帶形狀、負(fù)重輪形狀與數(shù)目、懸掛與履帶張緊裝置剛度、預(yù)緊力等在內(nèi)的15 個車輛設(shè)計參數(shù)和包括地面剛度系數(shù)在內(nèi)的2 個地面參數(shù)的履帶車輛接地壓力方程。本節(jié)對上述研究成果進(jìn)行歸納總結(jié)，在保證模型精度的基礎(chǔ)上，將上述模型簡化為求解三個未知參數(shù)的方程。

為了簡化系統(tǒng)，明確研究對象，做出以下假設(shè):

1) 履帶車輛在硬質(zhì)可形變的平坦路面上行駛，各負(fù)重輪負(fù)重相同;

2) 將履帶看作不可伸長的柔性帶，且忽略土壤剪切力對履帶形態(tài)分布的影響;

3) 忽略由于履帶接地段變形導(dǎo)致的履帶張緊力的變化;

4)土壤壓力-沉降關(guān)系符合Bekker 等［5］提出的土壤壓力-沉降公式p=kzm(p為接地壓強(qiáng)，z為地面沉陷量，k 和m 為接地壓力系數(shù))，且m=1。

履帶局部與地面接觸后的變形如圖1 所示。圖1 中:坐標(biāo)系Oxz 以水平面上兩負(fù)重輪中間位置為原點，l 為輪心到原點O 的縱向距離，s 為履帶最大下沉量，rw為負(fù)重輪半徑，ωw為負(fù)重輪角速度，點M(0，zM) 為履帶接地段的最高點，點C(xC，zC) 和點F(xF，zF) 分別為履帶環(huán)繞負(fù)重輪的部分與負(fù)重輪之間部分和履帶傾斜段的交點;履帶與地面的接觸有三種形式，第一種形式為兩個負(fù)重輪之間的部分，如圖1 中曲線MC 段S1所示;第二、三種形式為履帶環(huán)繞負(fù)重輪的部分，以負(fù)重輪的最低點為界，與點C相連的為S2，與點F 相連的為S3;φ 為履帶與水平面的夾角，φC與φS分別為履帶S2和S3對應(yīng)的輪心角，φF為履帶前段與地面夾角;T 為履帶張緊力，H和V 分別為履帶張緊力在水平和垂直方向的分力，H 為常量。

圖1 履帶土壤接觸變形簡圖Fig.1 Track-ground contact deformation

對于履帶段S1有:

由Bekker 等［5］土壤壓力-沉降關(guān)系公式p=kzm可以得到:

令t(z)=dz/dx 有

由于m=1，對式(6) 積分可得地面沉陷量關(guān)于x 的函數(shù)z(x)，且履帶S1段為懸鏈線曲線，

履帶S1段受到的地面支持力為

對于履帶段S2，地面沉陷量關(guān)于角φ 的函數(shù)為z(φ)，

由于履帶段S2與履帶段S1連接處斜率相同，且履帶不可延伸，有

對于履帶段S3有

根據(jù)車輛垂向受力平衡，可得

式中:W 為車體質(zhì)量;b 為履帶寬度;n 為單側(cè)負(fù)重輪數(shù)量。由式(7)～式(14) 和Bekker 土壤壓力-沉降關(guān)系公式即可求得理想狀態(tài)下履帶接地壓力分布形式。但是上述求解過程復(fù)雜，接地壓力分布為多段式，不利于履帶車輛轉(zhuǎn)向過程的分析。為簡化后續(xù)轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型求解過程，本文結(jié)合履帶車輛接地壓力分布形態(tài)，提出了可以調(diào)整壓力峰在履帶方向上作用范圍的履帶接地壓力假設(shè)對前述復(fù)雜模型進(jìn)行擬合，如式(15) 所示，

式中:Fi為第i 個負(fù)重輪的垂向壓力;S 為Fi作用長度;xi為第i 個負(fù)重輪中心的橫坐標(biāo)。采用余弦函數(shù)擬合履帶接地壓力的原因主要有二，一是其形態(tài)與實際履帶接地壓力分布形態(tài)接近，二是其積分簡單且積分結(jié)果為常數(shù)。

圖2 和圖3 分別為不同類型、不同履帶張緊力的車輛在硬質(zhì)路面接地壓力分布形態(tài)以及采用式(15) 的擬合結(jié)果對比，計算輪距為0.5 m，圖中實線部分為計算曲線，虛線部分為擬合曲線。圖2 為對中間負(fù)重輪接地壓力擬合的效果，圖3 為對外側(cè)負(fù)重輪接地壓力擬合的效果。在中等履帶預(yù)緊力(10%車重) 情況下，從中等硬度路面(土壤剛度5 000 kN/m3)到硬質(zhì)路面(土壤剛度10 000 kN/m3)，余弦曲線對中間負(fù)重輪(圖4 中負(fù)重輪2 至(n-1)) 下的履帶接地壓力都有著很好的擬合效果，對兩側(cè)負(fù)重輪下的履帶接地壓力在形態(tài)上的擬合效果稍差，但是整體上還是有較好的擬合效果，處于可以接受的程度。

圖2 余弦曲線擬合內(nèi)側(cè)負(fù)重輪接地壓力效果Fig.2 Curve fitting of track-ground pressure on the middle road wheel

圖3 余弦曲線擬合兩側(cè)負(fù)重輪接地壓力效果Fig.3 Curve fitting of track-ground pressure on the outer road wheels on both sides

1.2 履帶接地載荷計算

為了降低模型復(fù)雜程度，首先假設(shè)履帶接地壓力為集中載荷，作用點為負(fù)重輪正下方，而后根據(jù)集中載荷的大小對履帶接地壓力載荷分布進(jìn)行估計。

圖4 為集中載荷作用下的履帶接地壓力。圖4 中CG 為車輛重心，i 為負(fù)重輪編號，1 和n特指第1 個和最后一個負(fù)重輪，直線OO1為第一負(fù)重輪前任意一條與車體垂直的直線，LG和Li分別為車輛重心和第i 負(fù)重輪到直線OO1的距離，cx與cy分別為車輛重心到車輛幾何中心的側(cè)向和縱向距離，HCG為車輛重心高度，φf與φr分別為履帶前后傾角，WN、Wγ和Wβ分別為重力作用在車輛垂向、縱向和側(cè)向的分力，ax與ay分別為車輛在側(cè)向和縱向的加速度，F(xiàn)i，i/o為地面給第i 個負(fù)重輪的支持力，下標(biāo)i 和下標(biāo)o 分別代表內(nèi)外側(cè)履帶。

圖4 集中載荷作用下的履帶接地壓力Fig.4 Track-ground pressure under concentrated load

當(dāng)內(nèi)側(cè)履帶驅(qū)動時，

當(dāng)內(nèi)側(cè)履帶制動時，

式中:Ti和To分別為內(nèi)外側(cè)履帶的拉力;t1，i、tn，i和tn，o分別為履帶拉力作用于內(nèi)側(cè)第一負(fù)重輪和內(nèi)外側(cè)最后一個負(fù)重輪的垂向拉力，其與地面支持力共同作用于車輛懸架。

假設(shè)相同懸架位移產(chǎn)生的力相同，且呈線性變化，有δi，i/o=δi/o+kδLi，i/o，其中δi，i/o為內(nèi)側(cè)或者外側(cè)第i 個負(fù)重輪承受的支持力，kδ為斜率。通過式(18) 方程組可以求解出三個未知數(shù)δi、δo和kδ。

式中:B 為履帶中心距。

集中載荷的履帶地面支持力Fi在內(nèi)側(cè)履帶驅(qū)動時和制動時分別為

引入圖5 所示的Oxy 坐標(biāo)系，yi為第i 個負(fù)重輪中心的縱坐標(biāo)，考慮前述接地壓力的分布形式，則第i 個負(fù)重輪下的履帶接地壓力為

2 履帶車輛轉(zhuǎn)向過程分析

2.1 系統(tǒng)描述

為了明確履帶車輛轉(zhuǎn)向過程，做出以下假設(shè):

1) 履帶車輛在硬質(zhì)路面上以固定半徑轉(zhuǎn)向，忽略履帶沉陷以及推土效應(yīng);

2) 履帶與地面的剪切力與該點的剪切位移有關(guān)，且履帶與地面接觸點的切應(yīng)力與該點的滑動速度的方向相反;

3) 忽略剪切位移計算過程中縱向車速的變化;

4) 轉(zhuǎn)向過程中履帶車輛的行駛阻力與直駛時相同;

5) 不考慮車輛懸架以及履帶張緊力對轉(zhuǎn)向過程的影響，履帶接地壓力為多峰的分布形式，峰值位于各負(fù)重輪正下方。

建立圖5 所示坐標(biāo)系。圖5 中，大地坐標(biāo)系為OXY，坐標(biāo)系Oixiyi與坐標(biāo)系Ooxoyo為車體坐標(biāo)系，O'和O″分別為內(nèi)外兩側(cè)履帶的瞬時轉(zhuǎn)向中心，實線部分為車輛當(dāng)前位置，虛線部分為之前某時刻車輛的位置，R 為車輛轉(zhuǎn)向半徑，R'為車輛重心位置在大地坐標(biāo)系x 軸方向的投影，S0為車輛重心到轉(zhuǎn)向中心(軸) 的距離，θ 為某時刻車體坐標(biāo)系x 軸與大地坐標(biāo)系X 軸的夾角，L 為車輛履帶接地長，ψ 為履帶上某點P 的剪切速度vj與xO軸的夾角，F(xiàn)j為該點受到的剪切力，vq為履帶牽連速度，vOo為坐標(biāo)原點Oo的速度。

圖5 車輛轉(zhuǎn)向過程分析Fig.5 Analysis of racked vehicle turning

2.2 地面剪切位移

通常為了簡化模型復(fù)雜度將履帶接地壓力分布看作均勻分布或者長方形分布，這種簡化不需要考慮由接地壓力變化帶來的地面剪切力變化。由前述分析可知，將履帶車輛接地壓力負(fù)載分布看作余弦函數(shù)更符合實際情況，但是在這種條件下，由于垂向壓力連續(xù)變化帶來的地面剪切力變化不可被忽視。

土壤剪切力公式為τ=(c +ptan?) (1 -e-j/K)，當(dāng)忽略土壤內(nèi)聚力和粘附力而只考慮摩擦?xí)r，可以寫為τ=pμ(1 -e-j/K) 。其中:c 為黏聚系數(shù);τ 為剪切應(yīng)力;? 為土壤摩擦角;j 為土壤剪切位移;K 為土壤抗剪模量;μ 為履帶與地面間的摩擦因數(shù)。Garber 等［22］和Wong 等［23］認(rèn)為履帶車輛垂向負(fù)載的變化會影響到名義剪切位移的大小，并且有以下關(guān)系:1) 當(dāng)接地壓力增加時，名義剪切位移變?yōu)閴毫υ黾雍蠹羟星€上相同剪切力對應(yīng)的剪切位移。如圖6 所示，當(dāng)剪切壓力在t1時刻增加到p2時，名義剪切位移由jA變?yōu)閖B;2) 當(dāng)接地壓力減小時，剪切力等比例減小，名義剪切位移不變。即

圖6 垂向負(fù)載-剪切位移變化關(guān)系Fig.6 Relationship between vertical load and shear displacement

式中:k 為k 時刻。

履帶車輛受力情況與履帶和地面間的剪切位移直接相關(guān)，剪切位移是剪切速度的積分，因此首先需要對剪切速度進(jìn)行分析。如式(24)～式(27) 所示，

式中:履帶相對于地面的剪切速度在車體坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系的分量分別為vjx/y和vjX/Y;r 為主動輪半徑;wi/o表示內(nèi)側(cè)或者外側(cè)主動輪轉(zhuǎn)速，(±) 號外側(cè)取(+) 號，內(nèi)側(cè)取(-) 號。

由于忽略了剪切位移計算過程中車速的變化，即認(rèn)為車輛橫擺角速度保持不變，對于θ 有

為便于讀者理解，這里再次對θ 進(jìn)行解釋，為了計算在圖5 實線位置履帶坐標(biāo)系上位置y 處某點與地面的剪切位移，需要對該位置從進(jìn)入負(fù)重輪下壓力區(qū)間開始，到車輛達(dá)到實線位置整個時間區(qū)間內(nèi)與地面的相對速度vj進(jìn)行求和/積分。因此，θ 為實線位置履帶坐標(biāo)系上位置y 處履帶開始進(jìn)入負(fù)重輪下壓力區(qū)間的時刻(對應(yīng)圖5 中虛線位置) 車體坐標(biāo)系x 軸與大地坐標(biāo)系X 軸的夾角。

本文相比之前的研究，最大不同是將履帶接地壓力分布看作多峰值的形式。履帶剪切位移的計算從履帶開始承受垂向載荷到垂向載荷消失為止。將履帶接地壓力看作均勻分布帶來的問題是顯而易見的，即履帶越靠后位置的點剪切位移越大，受力越大，導(dǎo)致轉(zhuǎn)向中心比實際情況后移。實際上在這個過程中垂向載荷已經(jīng)加載、卸載多次。

如圖7 所示，將單個負(fù)重輪下接地壓力不為0 Pa的履帶接地長度分成N 個微元，假設(shè)履帶車輛做穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向運動，履帶通過轉(zhuǎn)過單一微元長度的時間為Δt，有

圖7 履帶微元劃分Fig.7 Infinitesimal analysis of a track

對于N 個微元中任意一個微元ε，從進(jìn)入接地壓力區(qū)域起，運行到當(dāng)前位置需要經(jīng)過的時間為εΔt，ε=1，2，…，N，運行到中間任意位置需要的時間為τΔt，τ=1，2，…，ε。例如，vτjxε表示當(dāng)前履帶第ε 個微元在進(jìn)入接地壓力區(qū)域τΔt 時刻的橫向滑移速度。

因此，式(21)、式(24)～式(28) 可以改寫為在離散條件下，微元ε 在進(jìn)入接地區(qū)域后τ 時刻的狀態(tài)

將式(22)、式(23) 改為遞推的形式，計算履帶微元名義剪切位移，

2.3 剪切狀態(tài)下的履帶作用力與運動方程

由于結(jié)構(gòu)的設(shè)計，履帶或輪胎橫向與縱向有一定的差異性［24］，為了補(bǔ)償這種差異性，在橫向力的計算中引入系數(shù)ζ，因此有

式中:ψiε為履帶上某點的滑動速度與x 軸的夾角;分別為第i 個負(fù)重輪的第ε 個微元的橫向剪切力、縱向剪切力，剪切應(yīng)力、接地壓強(qiáng)和剪切位移i 代表第i 個負(fù)重輪;dA 為微元面積。

對式(39)、式(40) 求和，即可得到履帶受到的地面剪切力的合力

兩側(cè)轉(zhuǎn)向驅(qū)動力矩MD，i/o和阻力矩MR，i/o分別為

式中:yiε為第i 個負(fù)重輪的第ε 個微元在車輛坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

分別在車體坐標(biāo)系的x 軸和y 軸方向建立力平衡關(guān)系，以及對車輛重心建立力矩平衡關(guān)系，可以得到履帶車輛固定半徑轉(zhuǎn)向方程:

式中:m 為車體質(zhì)量;g 為重力加速度;J 為轉(zhuǎn)動慣量;γ 和β 分別為橫向和縱向坡度;Rf，l和Rf，r分別為左右兩側(cè)履帶滾動阻力。

2.4 履帶車輛動力學(xué)簡化模型

第1.1 節(jié)～2.3 節(jié)對履帶車輛轉(zhuǎn)向過程進(jìn)行了詳細(xì)分析，但是其模型為應(yīng)用了遞推與求和的超越方程，難以直接應(yīng)用于履帶車輛的控制。為了提出控制算法適用的履帶車輛動力學(xué)模型，需要對前述模型進(jìn)行簡化。對于硬質(zhì)土路面，雖然履帶使得接地壓力趨于分散，但是壓力仍主要集中分布在負(fù)重輪下方有限的范圍內(nèi)，與輪式車有很大的相似之處。

如圖8 所示，虛線部分為負(fù)重輪的俯視圖，實線部分為假設(shè)的履帶接地壓力范圍，接地壓力范圍內(nèi)各點的平均速度為vO，其在x 軸和y 軸的分量分別為vx和vy。履帶-地面平均剪切速度為

圖8 單個負(fù)重輪下履帶接地狀態(tài)分析Fig.8 Track-groundcontactanalysis for a single road wheel

履帶-地面平均剪切位移為

借鑒輪式車輛動力學(xué)模型中輪胎側(cè)偏角的概念，令履帶車輛每個負(fù)重輪下履帶的側(cè)偏角α(與輪式車輪胎側(cè)偏角概念略有差別) 和滑移率λ 為

因此剪切位移j 可表示為

根據(jù)土壤剪切力公式可以得到單個負(fù)重輪下的履帶-地面作用力為

由此可以得到硬質(zhì)路面上履帶車輛整車模型。硬質(zhì)路面上履帶接地壓力主要集中在負(fù)重輪下方，為了簡化模型，可以將履帶車輛看作具有與負(fù)重輪數(shù)目相同輪子的差速轉(zhuǎn)向的輪式車輛，且簡化模型的單側(cè)輪子具有相同的轉(zhuǎn)速和滑移率。假設(shè)重心在車輛形心，可得

式中:yi，i/o為內(nèi)側(cè)/外側(cè)第i 個負(fù)重輪輪心到車輛重心的縱向距離。輪式車軌跡控制中常常忽略縱向動力學(xué)，以降低模型復(fù)雜度，保證算法的實時性。同樣方法也可以用在履帶車輛中，當(dāng)忽略縱向動力學(xué)并將該模型簡化為單軌模型時，以轉(zhuǎn)向驅(qū)動力矩為控制量，該模型將得到大幅度簡化。

3 結(jié)果分析與驗證

如圖9 所示，為了驗證本文提出的履帶車輛轉(zhuǎn)向模型的準(zhǔn)確性，利用無人駕駛混合動力雙側(cè)電驅(qū)動履帶車在不同類型的路面上進(jìn)行實車驗證。試驗車輛采用雙側(cè)獨立電機(jī)驅(qū)動，實時反饋車輛兩側(cè)主動輪轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩;裝備有GPS 定位系統(tǒng)和高精度慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，實時采集車輛軌跡與位姿信息。試驗數(shù)據(jù)分多次采集自2018 年至2021 年，期間車輛設(shè)備安裝位置略有變動，且由于試驗條件限制，每種場地僅采用一種履帶形式。相關(guān)車輛和道路參數(shù)如表1 所示，路面行駛阻力系數(shù)由車輛在平坦路面上以不同車速往返勻速行駛?cè)y試得到。

表1 試驗相關(guān)參數(shù)Table 1 Test parameters

試驗路面主要有沙石路面(見圖9(b))、硬質(zhì)土路面(見圖9(c)) 和水泥路面(見圖9(d)) 三種路面條件，在沙石路面條件下分類采集車輛在3 km/h、10 km/h 和15 km/h 下的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向數(shù)據(jù)，而在硬質(zhì)土路面和水泥路面采集的數(shù)據(jù)則主要在2.5～10.5 km/h和3～8 km/h 范圍內(nèi)。試驗中車輛在沙石路面和硬質(zhì)土路面上行駛時使用掛膠履帶，在水泥路面上行駛時使用了鋼制履帶。

圖9 試驗采集Fig.9 Test conditions

土壤剛度越大，負(fù)重輪半徑越小，土壤接地壓力分布越集中。不同的壓力分布類型會影響到車輛地面模型的驗證，以及車輛的動力特性。為了對履帶車輛接地壓力進(jìn)行定性測量，將壓力傳感器埋在地表下約5 cm 處，車輛勻速駛過，實時采集壓力傳感器反饋數(shù)值，并根據(jù)反饋車速計算壓力峰之間的距離，圖9(b) 所示沙石路面試驗采集結(jié)果如圖10 所示，其中ω 為主動輪轉(zhuǎn)速。從圖10 中可以看出，履帶接地壓力以多峰的分布形式集中分布在負(fù)重輪下方。

圖10 履帶接地壓力定性測試結(jié)果Fig.10 Qualitative test results of track-ground pressure

圖11～圖15 分別為不同路面、不同車速條件下的模型動力學(xué)和運動學(xué)關(guān)鍵參數(shù)計算結(jié)果和驗證結(jié)果的對比。試驗數(shù)據(jù)中的轉(zhuǎn)向半徑由車輛軌跡GPS 數(shù)據(jù)擬合而來，滑轉(zhuǎn)滑移率由兩側(cè)主動輪轉(zhuǎn)速估計而來。由圖11～圖15 可以看出，隨著車速的增加，相同半徑情況下內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向阻力矩會減小，這主要是由離心力帶來的兩側(cè)履帶載荷轉(zhuǎn)移導(dǎo)致的，在試驗數(shù)據(jù)中也得到了很好的驗證。但是，外側(cè)主動輪施加的驅(qū)動力矩并沒有顯著增加，這是因為隨著車速的增加相同轉(zhuǎn)向半徑的轉(zhuǎn)向阻力矩減小了，這主要是由轉(zhuǎn)向中心的前移導(dǎo)致的。對于滑轉(zhuǎn)滑移率，在較大轉(zhuǎn)向半徑時滑轉(zhuǎn)率大于滑移率，而隨著轉(zhuǎn)向半徑的減小，滑移率超過滑轉(zhuǎn)率，這主要是由于內(nèi)側(cè)輪速減小、除數(shù)減小導(dǎo)致的。不同車速下滑轉(zhuǎn)滑移率的變化并不明顯，但是試驗數(shù)據(jù)也有較好的擬合效果。通過圖11～圖13 與圖14～圖15 的對比可以看出，不同路面的轉(zhuǎn)矩曲線在趨勢形態(tài)上有較大的區(qū)別，區(qū)別主要體現(xiàn)在曲率的變化上，但是滑轉(zhuǎn)滑移率曲線形態(tài)的變化較小。通過圖11～圖15 可以看出，在不同車速、不同路面條件下該模型都有較好的驗證效果。

圖11 砂石路面3 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.11 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 3 km/h

圖12 砂石路面10 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.12 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 10 km/h

圖13 砂石路面15 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.13 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 15 km/h

圖14 硬質(zhì)土路2.5～10.5 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.14 Comparison of calculation and test results on hard dirt road at 2.5～10.5 km/h

圖15 水泥路面3～8 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.15 Comparison of calculation and test results on cement road at 3～8 km/h

簡化模型驗證結(jié)果如圖16～圖18 所示。需要注意的是，在車輛轉(zhuǎn)向過程中，車輛幾何中心側(cè)向速度vx(與轉(zhuǎn)向中心偏移量S0呈比例) 相對縱向速度是個小值，且安裝于簧上部分的慣性導(dǎo)航系統(tǒng)無法在震動顛簸條件下精確測量到簧下部分的側(cè)向速度。為了能夠驗證履帶車輛動力學(xué)簡化模型的準(zhǔn)確性，采用1.1 節(jié)～2.3 節(jié)已驗證過的分析模型輸出的轉(zhuǎn)向中心偏移量和滑轉(zhuǎn)滑移率作為簡化模型的輸入，并與實際采集數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對比。由圖16～圖18 可以看出，簡化模型具有與分析模型相近的精度。側(cè)向力估計在小半徑時預(yù)測精度略有下降，與土壤為非完全摩擦性土壤有關(guān)，即描述摩擦性土壤的地面剪切應(yīng)力-剪切位移公式τ=pμ(1 -e-j/K) 無法描述非完全摩擦性土壤在剪切位移達(dá)到一定程度后，剪切應(yīng)力下降的現(xiàn)象。但是對于車輛軌跡控制而言，適當(dāng)?shù)慕Ｕ`差是可以接受的。另外一個需要特別注意的是在3 km/h時，側(cè)向力估計曲線出現(xiàn)了波動，經(jīng)檢查數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)在極低車速時側(cè)向速度vy很小，在模型求解過程中，由于求解精度問題導(dǎo)致求解出的側(cè)向速度出現(xiàn)波動導(dǎo)致的。

圖16 簡化轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型砂石路面15 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.16 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 15 km/h using the simplified model

圖17 簡化轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型砂石路面10 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.17 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 10 km/h using the simplified model

圖18 簡化轉(zhuǎn)向動力學(xué)模型砂石路面3 km/h 計算結(jié)果與試驗采集結(jié)果對比Fig.18 Comparison of calculation and test results on sand-gravel road at 3 km/h using the simplified model

圖19 為沙土路面下考慮縱向加速度的模型驗證，圖19(a) 為車輛軌跡擬合的效果，從中可以看出在相同轉(zhuǎn)向程度(兩側(cè)履帶轉(zhuǎn)速比值) 下，車速增加對車輛轉(zhuǎn)向半徑的影響不大。圖19(b) 中曲線均為實際采集數(shù)據(jù)，從中可以看出估計結(jié)果與真實值之間的誤差較小。

圖19 砂石路面下存在縱向加速度時模型驗證效果Fig.19 Model verification effect during acceleration on sand-gravel road

總之，本節(jié)試驗測試結(jié)果與計算結(jié)果的對比表明，文中建立的轉(zhuǎn)向模型是準(zhǔn)確可信的。

4 結(jié)論

本文的主要研究目標(biāo)有二。一為提出一個更符合實際情況的履帶車輛轉(zhuǎn)向分析模型，二為在盡可能保證精度的基礎(chǔ)上簡化模型，使得剪切應(yīng)力-剪切位移關(guān)系理論能夠應(yīng)用于履帶車輛控制。得出以下主要結(jié)論:

1) 本文對硬質(zhì)路面下的履帶接地壓力的形式與大小進(jìn)行了分析，根據(jù)分析結(jié)果將履帶接地壓力分布模型簡化為余弦形式。這是本文相比之前的研究的最大不同，也是能夠?qū)?fù)雜分析模型簡化的基礎(chǔ)。

2)基于履帶與地面之間的剪切力-剪切位移關(guān)系理論，以及Wong 等［23］提出的垂向載荷變化過程中剪切位移變化的公式，提出了硬質(zhì)路面條件下的履帶車輛轉(zhuǎn)向分析模型，相比于前人研究更符合路面真實情況。

3) 本文提出了一種全新的履帶車輛動力學(xué)簡化模型，該模型引入了輪式車中輪胎側(cè)偏角和滑轉(zhuǎn)率的概念，使得模型得到大規(guī)模簡化。解決了傳統(tǒng)分析模型復(fù)雜度過高，無法應(yīng)用于履帶車輛實際控制問題。

4) 通過無人履帶平臺對上述模型進(jìn)行了驗證，試驗結(jié)果與計算結(jié)果的一致性表明本文建立的模型是準(zhǔn)確可信的。

5) 本文為無人駕駛履帶車輛軌跡跟蹤控制建模提供了一個全新的思路，即在硬質(zhì)路面上，垂向壓力主要集中在負(fù)重輪下有限的區(qū)域內(nèi)，可以采用平均值替代的方法避免積分，實現(xiàn)模型的大規(guī)模簡化。